平面幾何歷史“名題”視角下的解析幾何

沈海全 裘孟超

(1.浙江省紹興市越州中學(xué) 312000；2.浙江省嵊州市城關(guān)中學(xué) 312400)

在解析幾何教學(xué)中，常常有教師把“解析幾何教學(xué)”僅簡(jiǎn)單地理解為“用坐標(biāo)法求解幾何問(wèn)題”，因而，常常忽視對(duì)其作為幾何圖形的特征和性質(zhì)的分析，忽視幾何方法的運(yùn)用.其實(shí)，解析幾何的建立是數(shù)與形有機(jī)結(jié)合的標(biāo)志，是數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化、轉(zhuǎn)化化歸思想的集中體現(xiàn)，有的解析幾何問(wèn)題還蘊(yùn)含豐富的平面幾何歷史“名題”背景，如“圓冪定理”、“燕尾定理”、“蝴蝶定理”、“梅涅勞斯定理”、“托勒密定理”等. 筆者認(rèn)為，解析幾何教學(xué)除了“坐標(biāo)法”思想外，也要重視引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何的視角分析，重視運(yùn)用平面幾何知識(shí)，做到幾何方法與代數(shù)方法的有機(jī)結(jié)合，甚至還可以挖掘問(wèn)題所蘊(yùn)含的平面幾何歷史“名題”背景.下面筆者結(jié)合實(shí)例談?wù)劷馕鰩缀沃械钠矫鎺缀螝v史“名題”，供讀者賞析，不當(dāng)之處請(qǐng)讀者斧正.

一、解析幾何中的“圓冪定理”

圓冪定理若過(guò)定點(diǎn)P作一動(dòng)直線與半徑為R的圓O相交于A,B兩點(diǎn)，則PA·PB=|OP2-R2|(把常數(shù)|OP2-R2|叫做定點(diǎn)P對(duì)于定圓O的冪).

圓冪定理是一個(gè)總結(jié)性的定理，是對(duì)相交弦定理、切割線定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納，證明如下.

證明當(dāng)點(diǎn)P在圓O外時(shí)，如圖1所示，過(guò)P作圓O的切線PT，由切割線定理及勾股定理可得PA·PB=PT2=OP2-R2；當(dāng)點(diǎn)P在圓O上時(shí)，不妨設(shè)P與A重合，易得PA·PB=0=OP2-R2；當(dāng)點(diǎn)P在圓O內(nèi)時(shí)，如圖2所示，過(guò)P作圓O的直徑ST，由相交弦定理可得PA·PB=PS·PT=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2.

綜上PA·PB=|OP2-R2|，證畢.

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解(1)限于篇幅，略.

評(píng)注本題秉承了浙江試題的特色，素材樸素，內(nèi)涵豐富，較寬的切入口給不同層次的學(xué)生提供了思考的空間，但方法不當(dāng)會(huì)計(jì)算量較大耗時(shí)較多甚至很難解出來(lái). 實(shí)際上本題命題者以拋物線為載體，以平面幾何歷史名題“圓冪定理”而命制的試題，若能從本題幾何背景即圓冪定理入手，可發(fā)現(xiàn)解法新穎別致、賞心悅目.

二、解析幾何中的“燕尾定理”

燕尾定理如圖5在△ABC中，AD,BE,CF相交于同一點(diǎn)O，那么S△ABO∶S△ACO=BD∶DC.

燕尾定理將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度比，因?yàn)椤鰽BO,△ACO的圖形形狀很像燕子的尾巴，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，為三角形面積比與對(duì)應(yīng)的底邊比提供了互相聯(lián)系的途徑.

試題賞析(2019浙江高考第21題)如圖7，過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè))．

(1)求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程；

解(1)限于篇幅，略.

又注意到，y3=-(y1+y2)④，

評(píng)注命題者以拋物線為載體，平面幾何歷史“名題”燕尾定理為幾何背景而命制解析幾何試題，考試院給出的答案是利用點(diǎn)參數(shù)來(lái)表示面積之比從而求得最小值，利用“坐標(biāo)法”思想須較強(qiáng)的運(yùn)算功底.但若利用燕尾定理將面積之比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度之比，從而很快可用點(diǎn)坐標(biāo)表示(即數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合)，有效避開(kāi)了設(shè)點(diǎn)求其他點(diǎn)的過(guò)程，大大減少運(yùn)算量.更可貴的是挖掘了試題的本質(zhì)，站到了命題者的高度.

三、解析幾何中的“蝴蝶定理”

蝴蝶定理如圖10，設(shè)AB是已知圓的弦，M是AB的中點(diǎn)，弦CD,EF過(guò)點(diǎn)M，弦CF,ED與AB分別相交于P,Q兩點(diǎn)，求證：PM=MQ.

以上問(wèn)題的圖形，像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶，這正是該命題被冠以“蝴蝶定理”美名的緣由.

證明(1983單墫教授給出的證明)如圖11，以M為原點(diǎn)，弦AB所在直線為x軸，視圓O為單位圓，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)圓O的方程為x2+(y-a)2=1，直線的方程分別為y=k1x,y=k2x，由圓和直線組成的二次曲線系方程為μ[x2+(y-a)2-1]+λ(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0，則xP,xQ滿足方程(μ+λk1k2)x2+μ(a2-1)=0，由于x的系數(shù)為0，結(jié)合韋達(dá)定理可得xP+xQ=0，即xP=-xQ，故PM=MQ.

試題賞析(2003年北京理科高考18題)如圖12，已知橢圓的長(zhǎng)軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心M(0,r)(b>r>0).

(1)寫出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)C,D,G,H，設(shè)CH交x軸于P點(diǎn)，GD交x軸于Q點(diǎn)，求證：|OP|=|OQ|.(證明過(guò)程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形).

所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|.

評(píng)注高考命題者將這只“蝴蝶”飛入了橢圓，使得問(wèn)題和圖形都顯得非常漂亮. 本題實(shí)質(zhì)是蝴蝶定理的推廣，是變異了的“蝶形”.下面請(qǐng)看蝴蝶定理的推廣，證明同上問(wèn)題，留給讀者證明.

蝴蝶定理推廣在圓錐曲線中，過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作兩條弦CD,EF，直線CE和DF交直線AB于點(diǎn)P,Q，則有MP=MQ.

四、解析幾何中的“梅涅勞斯定理”

試題賞析(2012年北京理科高考第19題)已知曲線C：(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)

(1) 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2) 設(shè)m=4，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G. 求證：A,G,N三點(diǎn)共線 .

評(píng)注命題者以橢圓為載體，以平面幾何歷史名題“梅涅勞斯定理逆定理”為背景而命制的試題，若能從幾何背景入手，解法新穎別致，明顯優(yōu)于利用斜率、向量來(lái)證明.

五、解析幾何中的“托勒密定理”

托勒密定理在圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和.如圖16，設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，則有AB·CD+AD·BC=AC·BD.

由①+②得AB·CD+AD·BC=AC·BD.

托勒密定理逆定理兩組對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線之積的凸四邊形必內(nèi)接于圓.

限于篇幅，托勒密定理逆定理留給讀者自行證明.

(1)求證：點(diǎn)P在橢圓C上；

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求證：A,P,B,Q四點(diǎn)在同一圓上.

評(píng)注命題者以橢圓為載體，以平面幾何歷史名題“托勒密定理逆定理”為背景而命制的試題，若能從幾何背景入手解法新穎別致，明顯優(yōu)于利用方程來(lái)證明.

解析幾何的核心思想是坐標(biāo)法，但解析幾何的研究對(duì)象是“幾何圖形”，若有時(shí)能站在平面幾何的視角來(lái)觀察分析圖形，或許會(huì)有不一樣的風(fēng)景.