強基計劃 你準備好了嗎

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

一、強基計劃介紹

強基計劃的前身是大學自主招生(下簡稱自主招生).

自主招生是我國高校統(tǒng)一考試招生制度的重要補充，也是對學生多元錄取、綜合評價的重要組成部分.據(jù)統(tǒng)計顯示，2018年清華北大自主招生、綜合評價、高校專項獲得降分的總人數(shù)，達到了驚人的6100人，占其計劃招生總數(shù)6700人的91%，詳見下表：

2018年清華北大獲得降分人數(shù)匯總

從上面的數(shù)據(jù)可以看出自主招生在扮演非常重要的角色，僅憑裸分考進清華和北大的學生比例已經(jīng)很低了.

2020年1月14日，教育部以教學〔2020〕1號文件印發(fā)《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》.文件指出，決定自2020年起，在部分高校開展基礎學科招生改革試點(也稱強基計劃).同時，在部分“一流大學”建設高校范圍內遴選高校開展試點.教育部將按照“一校一策”(著重號為筆者所加)的原則，研究確定強基計劃招生高校、專業(yè)和規(guī)模.從2020年起，不再組織開展高校自主招生工作.

二、強基計劃考試介紹

很多考生對強基計劃試題的難度不太了解，這里做一個粗略的對比.各科綜合起來的大致情況是，高考的中檔題相當于強基計劃簡單題，高考難題相當于強基計劃中檔題也相當于競賽簡單題，強基計劃難題相當于競賽中檔題.

可以說，名校強基計劃65%的題在課內范圍，35%的題是超綱范圍(是競賽題難度，甚至有的題目超過聯(lián)賽一試).

所以，有人說強基計劃試題的難度介于高考和競賽之間是有道理的.

較為細致的來說，也可以把強基計劃試題分為下面三部分：

1.有的題是課內常見的.這類題檢查同學們學習基礎情況，一般熟練掌握高考內容的同學都能比較容易拿到分.

2.有的題是在高考考綱邊緣附近.這類題保留一定數(shù)量的高考核心考點，但著力點和區(qū)分度主要放在高考自然延伸出的一些知識和方法上.

3.有的題是超出高考考綱的.這類題涉及到課內沒學過的知識、公式(比如反三角函數(shù)、極限)，或者是競賽聯(lián)賽經(jīng)典方法、技巧.

強基計劃考試沒有考綱，由大學教授、專家或數(shù)學界知名人士命題，所以有超綱內容是正常的(當然教授是有出題原則的：應當說，名校強基計劃考試題都是好題，對普通高考和全國聯(lián)賽的復習備考也有重要參考價值).

如果說筆試讓名校間接認識了考生，那么面試則是二者的直接碰撞，能否擦出火花直接決定了強基計劃考試的最終結果.因此，面試也是名校強基計劃考試中十分重要的環(huán)節(jié).

三、強基計劃考試數(shù)學試題特點

目前，高中生在數(shù)學思維和數(shù)學素養(yǎng)方面表現(xiàn)出諸多不足，比如思維廣度不開闊；思路不清晰，對題目的分析不周全，難以準確識別模型以盡快將其轉化為相應的數(shù)學問題；學生普遍知識面狹窄(如對復數(shù)等許多基本知識都不了解)；運算能力較低等等；尤其是創(chuàng)新意識和動手操作能力較差.

針對以上情形，強基計劃試題便有如下特點.

1.強基計劃數(shù)學試題突出考查考生的數(shù)學思維與數(shù)學素養(yǎng)

強基計劃的目的是選拔頂尖的優(yōu)秀人才，所以試題必然會突出這一特點，因為它是各種能力的核心.

題1(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)已知甲、乙、丙三人的職業(yè)是A,B,C之一，且每兩個人的職業(yè)均不相同.若乙的年齡比C的年齡大，丙的年齡與B的年齡不同，B的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙三人的職業(yè)分別是( ).

A.A,B,CB.C,A,BC.C,B,AD.B,C,A

答案：A.

題2(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)在小于1000的正整數(shù)中，即不是5的倍數(shù)也不是7的倍數(shù)的整數(shù)個數(shù)是.

答案：686.

題3(2020年中國科學技術大學創(chuàng)新班初試數(shù)學試題第7題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)2+k2.若a,b,c∈[0,1],f(a),f(b),f(c)是某個三角形的三邊長，則k的取值范圍是.

注:題1考查邏輯知識(判斷命題的真假)，題2的解法須用到韋恩圖(即容斥原理)，解答題3要用到對恒成立問題的處理方法及二次函數(shù)在所給閉區(qū)間上的最值求法.這些知識、方法都是考生必備的數(shù)學素養(yǎng).

2.強基計劃數(shù)學試題突出考查思維的廣闊性(如發(fā)散思維)、深刻性與靈活性

答案：12600.

題5(2020年北京大學強基計劃數(shù)學試題第6題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4，且an2-an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的個位數(shù).

由題設，還可得

得n=k+1時成立，所以欲證結論成立.

由題設，可得

an(2an+an+2)=an+1(2an-1+an+1)(n≥2,n∈N)①.

因為前面已證得an>0(n∈N*)，所以

進而可得數(shù)列

{an(mod 10)}:1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,…

所以an+24≡an(mod 10)(n≥2,n∈N)，因而a2020=a24·84+4≡a4=48≡8(mod 10)，得a2020的個位數(shù)是8.

解法2 先對n用數(shù)學歸納法證明：an+2>an+1>an>0,an+2=4an+1-2an(n∈N*).

由a1=1>0,a2=4,a3=14，可得n=1時成立.

假設n=k時成立：ak+2>ak+1>ak>0,ak+2=4ak+1-2ak.

在解法1中得到的①式中，令n=k+1，可得ak+1(2ak+1+ak+3)=ak+2(2ak+ak+2)(ak+1>0)，所以

=4ak+2-2ak+1=ak+2+ak+2+2(ak+2-ak+1)>ak+2,

ak+3>ak+2>ak+1>0,

所以ak+3>ak+2>ak+1>0,ak+3=4ak+2-2ak+1，得n=k+1時成立，因而欲證結論成立.

接下來的解法同解法1.

注:題4的解法是用二項展開式的通項解決四項展開式的通項問題，進而求出其常數(shù)項，充分考查了思維的廣闊性、深刻性與靈活性.

在題5兩種解法中，難點均是證明“an≠0(n∈N*)”.這體現(xiàn)了思維的深刻性：蒙混過關是一定會丟分的.

3.許多強基計劃試題有深刻背景，可以引申推廣

答案：2.

解可設動點A(2cosθ,2sinθ)，可得切點弦所在的直線方程是xcosθ+2ysinθ=1.

圖1

注:題6的背景是《近世代數(shù)》中的群、環(huán)、域.題7的背景是《高等幾何》知識“曲線是切線的包絡”：曲線可“點動成線”來生成；也可由曲線上點的切線圍成，即“曲線是切線的包絡”.

4.強基計劃試題覆蓋面廣

強基計劃還沒有明確的考試大綱，試題的覆蓋面很廣，很多題的難度超出高考、聯(lián)賽，甚至高中數(shù)學的知識范圍而涉及高等數(shù)學，需要考生“見多識廣”.

題8(2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題)若函數(shù)f(x)=3x-3-x的反函數(shù)為y=f-1(x),則g(x)=f-1(x-1)+1在[-3,5]上的最大值和最小值的和為( ).

A.0 B.1 C.2 D.4

答案：C.

答案：D

題11(2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題)已知拋物線x=3y2的焦點為F，若該拋物線在點A處的切線與直線AF的夾角為30°，則點A的橫坐標為( ).

答案：C.

題13(2020年北京大學強基計劃數(shù)學試題第2題)已知關于x的方程x5+px+q=0有有理根，且正整數(shù)p,q均不大于100，求滿足這些條件的有序數(shù)組(p,q)的組數(shù).

答案：133.

題14(2020年北京大學強基計劃數(shù)學試題第4題)求方程19x+93y=4xy整數(shù)解的組數(shù).

答案：8.

注：解答題8要用到反函數(shù)知識，解答題9與題10要用到反三角函數(shù)知識，解答題11要用到兩直線的夾角公式，題12涉及平面直角坐標系的旋轉變換，題13與題14涉及初等數(shù)論中的數(shù)的整除、不定方程知識.而這些知識在現(xiàn)行高中數(shù)學教材中均未講述，但屬于強基計劃的命題范圍.

5.部分數(shù)學強基計劃試題運算量較大，或有較強的技巧

答案：c>a>b.

題18 (2020年中國科學技術大學創(chuàng)新班初試數(shù)學試題第10題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+1-a,若?x∈[-1,1],|f(x)|≥|x|,求實數(shù)a的取值范圍.

注：解答題15與題16均需要用到較強的放縮技巧，后者還要使用導數(shù)；解答題17需要用到較強的湊配技巧：先得y=(2sinx-cosx)2+(2sinx-cosx)-1，再用換元法求解(這與高中三角函數(shù)題的常規(guī)解法不一樣)；題18是所在試卷(共11道試題)難度最大的一道試題，其常規(guī)解法須用到二次討論，比較復雜.

6.強基計劃數(shù)學試題注重引導培養(yǎng)考生創(chuàng)新意識和動手操作能力

毫無疑問，這是強基計劃考試的主旨與方向.

題19(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)對于方程2x-sinx=1，在下列結論中錯誤的序號是：

(1)該方程無正數(shù)根；

(2)該方程有無數(shù)個根；

(3)該方程有一個正數(shù)根；

(4)該方程的實根小于1.

答案：(1).

題20(2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題，原題為單項選擇題)若k>4，則直線kx-2y-2k+8=0和2x+k2y-4k2-4=0與兩條坐標軸圍成的四邊形面積的取值范圍是____.

題21(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)單位正方體的六邊形截面周長的最小值是____.

注：解答題19須使用圖形計算器(上海的數(shù)學高考是允許的)，否則本題難度很大；題20的解法是準確作圖后用割補法及配方法求解；題21的解法是用正方體的平面展開圖來求解.

7.部分數(shù)學強基計劃試題解法簡潔新穎，用到知識也很少

注：解答本題只需用到構造法與累乘法.

8.數(shù)學強基計劃試題的最大特點是原創(chuàng)性

由于強基計劃試題命題人多是大學教授、專家或數(shù)學界知名學者，他們視野寬闊，經(jīng)常站在數(shù)學學科和社會發(fā)展的前沿思考問題，因此每年的自主招生試題都令人耳目一新，難以捉摸；但仔細分析一些強基計劃數(shù)學試題，還是可以看出其一些特點的，而原創(chuàng)性是其最明顯特點.

四、強基計劃考試數(shù)學試題的來源

1.源于教材

教材是命題的基本依據(jù)，不少強基計劃試題有教材背景，是教材上例題、習題、定義、定理的組合改編，甚至有時就是原題.

題23(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)用同樣大小的正n邊形平鋪整個平面(沒有重疊且沒有空隙)，若要將這個平面鋪滿，則n=____.

答案：3,4,或6.

答案：均不存在.

注：初中數(shù)學教材中就有題23這類平面平鋪問題.

2.源于國內外高考試題

許多稍難的高考試題更適合更高層次的選拔，所以有些這樣的高考題就被改編成了(或直接作為)強基計劃試題.

題25 (2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)若某個四面體的各個頂點到某個平面的距離都相等，則稱該平面為這個四面體的中位面.一個已知的四面體的中位面的個數(shù)是____.(答案：7.)

題26(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)與兩兩異面的三條直線均相交的直線條數(shù)是____.(答案：無數(shù).)

注：題25是空間距離中的經(jīng)典問題；作為排列組合知識，還涉及均勻分組和非均勻分組.這道題與2005年高考全國卷Ⅲ文科、理科第11題實質相同.

不共面的四個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有( ).

A.3個 B.4個 C.6個 D.7個

題26與下面的兩道題目實質相同：

(2008年高考遼寧卷理科第11題即文科第12題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為棱AA1,CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線( ).

A.不存在 B.有且只有兩條

C.有且只有三條 D.有無數(shù)條

(復旦大學2008年自主選拔數(shù)學B卷試題第26題)若空間三條直線a,b,c兩兩異面，則與a,b,c都相交的直線有( ).

A.0條 B.1條

C.多于1條的有限條 D.無窮多條

3.源于歷年的強基計劃(自主招生)試題

答案：0.

答案：(-∞,-3]∪[0,1)∪(3,+∞).

題30 (2020年中國科學技術大學創(chuàng)新班初試數(shù)學試題第2題)點集{(x,y)||5x+6y|+|9x+11y|≤1}的面積是____.

答案：2.

注：題27,28,29,30分別與下面的自主招生試題如出一轍.

A. -121 B. -49 C. 0 D.23

答案：C.

(1)求fA(2016),fB(2016)；

(2)設card(X)表示集合X的元素個數(shù)，求m=card(XΔA)+card(XΔB)的最小值.

答案：(1)-1,-1；(2)2016.

(2019年中國科學技術大學自主招生數(shù)學試題第1題)滿足|x+2y|+|3x+4y|≤5(x,y∈R)的點(x,y)所構成的區(qū)域的面積是____.

答案：25.

4.源于各級各類競賽試題

A.0 B.1 C.-1 D.與a有關

答案：B.

注：該題源于早年的數(shù)學競賽試題：用減函數(shù)與單調函數(shù)的性質求解.

5.源于某些初等數(shù)學研究成果

題32 (2020年中國科學技術大學創(chuàng)新班初試數(shù)學試題第8題)已知a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列，若i

注：該題的背景是《高等代數(shù)》中排列的順序數(shù)、逆序數(shù).拙著《初等數(shù)學研究(Ⅰ)》第509-512頁的文章《12…n的所有m元排列的反序數(shù)之和及其應用》研究了該題的一般情形.

6.源于高等數(shù)學

前面已述，題7(2020年北京大學強基計劃數(shù)學試題第3題)源于《高等幾何》知識“曲線是切線的包絡”，題32源于《高等代數(shù)》中排列的順序數(shù)、逆序數(shù).

答案：(1,2).

注：題33源于《高等代數(shù)》中的行列式，題34源于定積分.

五、大學強基計劃數(shù)學試題的備考策略

考生在日常學習中應該重新審視高考中“不常考”的知識和方法，并做必要的拓展，增強對數(shù)學問題的探究意識，關注高中數(shù)學后續(xù)內容的學習，注重數(shù)學思想方法的學習和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，細述如下.

1.夯實基礎，尤其要自覺加強基本運算能力的訓練

千里之行，始于足下；強化基本功訓練，是今后延拓知識與快速提高素養(yǎng)的資本！

解答強基計劃數(shù)學試題用到的思想、方法和知識，大部分也都在高考范圍之內.因而，準備高考和準備強基計劃應該是相輔相成，互相補充的.

2.注重知識的延伸與拓展

題35 (2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題，原題為單項選擇題)如圖2所示，平面內兩條直線l1,l2交于點O,M為該平面內的任意一點.若點M到直線l1,l2的距離分別為p,q，則稱(p,q)是點m的“距離坐標”.p,q是已知的非負常數(shù)，給出下列三個結論：

(1)若p=q=0，則“距離坐標”為(0,0)的點有且僅有1個；

(2)若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有2個；

(3)若pq≠0，則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有4個.

其中正確結論的個數(shù)是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：D.

A.8 B.7 C.6 D.6或7

解D.由題設，可得

所以當且僅當n=6或7時，Sn取到最大值.

注：題35中的“距離坐標”是平面直角坐標系中點的坐標的一種推廣，但兩者的本質均是平行線的距離；題36僅僅是把考生在高中階段學習的兩個、三個向量的和推廣到n個向量的和而已.

在日常學習中，不能僅僅局限于教材，要學得更深更廣：

(1)注重在不同的知識階段及時延伸與拓展.

比如學習函數(shù)時，不僅要學習函數(shù)的定義、基本性質及各類基本初等函數(shù)，還要及時學習函數(shù)與方程的思想方法.這有助于對函數(shù)理解得更深刻，在更為高級的層面上構建知識結構和認知結構.

(2)關注AP課程及其他多種形式的學習.

AP課程中的許多內容和方法已經(jīng)進入強基計劃試題，如極限理論中的數(shù)列收斂準則、夾逼定理、函數(shù)極限存在定理、迫斂性定理、兩個重要極限、洛比達法則，微積分中的羅爾定理、拉格朗日中值定理、積分中值定理、牛頓-萊布尼茨公式等等.

強基計劃試題的風格與難度，和高考還是有較大的不同.同時強基計劃也會考一些在高考范圍邊緣處的知識.既沒有接觸過競賽，又沒有準備過強基計劃的裸考考生最終很可能會無功而返.

3.注重數(shù)學思想方法的領會與運用

題37 (2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)從2個相同的紅球、3個相同的黑球、5個相同的白球中取出6個球，共有____種不同的取法.

答案：11.

答案：a,b,c,d.

注：題37的解法是枚舉法；題38的解法是賦值法，其理論依據(jù)是“特殊與一般思想”；解答前面的題28要用到等價轉化思想與分類討論思想.這些思想方法都是考生必備的數(shù)學素養(yǎng).

4.培養(yǎng)推廣與探究的意識

這是研究問題的重要方法：解一題，知一類.

題39(2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題)方程3x+4y+12z=2020的自然數(shù)解的組數(shù)為____.

解C.可設x=4m(m∈N),得原方程即3m+3z+(y-1)=3·168(m,y,z∈N);可再設y=3n+1(n∈N),得原方程即m+n+z=168(m,n,z∈N).

可設m=m′-1,n=n′-1,z=z′-1(m′,n′,z′∈N*),得原方程即m′+n′+z′=171(m,′n′,z′∈N*).再由隔板法，可得所求答案是C.

注：考生應當通過推廣與探究，最終理解隔板法是解決一次不定方程正整數(shù)、自然數(shù)解組數(shù)的通性通法.

5.留心跨界科學與學科知識的交匯

題40(2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題)Given two setsA:{1,2,3,4,5}andB:{3,4,5,6,7},then the intersection set ofAandBis( ).

A.{1,2} B.{3,4,5}

C.{1,2,3,4,5,6,7} D.{6,7}

答案：B.

題41(2020年復旦大學強基計劃數(shù)學試題)Which number that number 5 is the cubic root of( ).

A.3 B.5 C.25 D.125

答案：B.

注：解答這兩道題時，考生對數(shù)學專業(yè)的英語詞匯(交集、立方根等)要過關.復旦大學的強基計劃(自主招生)試題歷來重視通識教育，這從復旦“千分考”可見一斑：“千分考”測試的內容涵蓋高中語文、數(shù)學、英語、政治、歷史、地理、物理、化學、生物和計算機共10個科目，共計200道選擇題，滿分1000分(每題答對得5分，不答得0分，答錯扣2分)，考試時間為3小時.

6.培養(yǎng)自主學習能力

題42(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)若△ABC的三個頂點的坐標分別是A(3,4),B(6,0),C(-5,-2)，則∠A的平分線所在的直線方程是____.

所以∠A的平分線所在直線的一個方向向量是(1,7)，因而該直線的斜率是7，進而可得該直線的方程是y-4=7(x-3)即7x-y-17=0.

題43(2020年上海交通大學自主招生數(shù)學試題)在正方體的8個頂點中的任意兩點確定的直線中，異面直線的對數(shù)是____.

答案：174.

注：題42還可用三角形的角平分線性質定理，或解三角形知識求解，或先得出∠BAC=90°后再求解，但運算量都要大一些；題43的解法是先構造四面體，再由“每個四面體確定3對異面直線(即3對對棱所在的直線)”來求解；可用換元法求解第44題：在三個式子sinxcosx,sinx+cosx,sinx-cosx中，只要知道任一個式子的值，就可用換元法并利用恒等式“sin2x+cos2x=1”求出另外兩個式子的值.

實際上，這些的解法均是通性通法.但這些通性通法在資料中并不多見，老師也很可能不會講到.需要考生通過自學獲得.

考生應當時刻培養(yǎng)自主學習能力：二十一世紀最重要的個人能力首推自主學習能力！有了過硬的自學能力和意識，即可與時俱進，也可從容應對很多新問題.

六、強基計劃數(shù)學考試備考規(guī)劃

參加強基計劃對于大學和考生來說，是個雙贏的過程.考生要想如愿考上頂尖名校，參加強基計劃是一條捷徑.筆者認為，強基計劃會持續(xù)受到家長及學生、學校(高中、高校)、社會的高度關注.

經(jīng)過以上論述，讀者(考生)可能對強基計劃及其數(shù)學試題有了比較全面深入的了解，希望你提前做好規(guī)劃、及時行動、充分應變，并在做中體味、修正、總結、提高.

注：本文摘自《高考數(shù)學強基計劃備考的策略與方法》(包括高一、高二、高三共三個分冊)(陜西師范大學出版總社，2020)的《序》.