高考備考中天體運動問題的常考題型與解析(下)

李紅紅

(河北省邯鄲市第四中學(xué) 056107)

在高三的復(fù)習(xí)備考中，可以將天體運動歸納為以下幾種單知識點模型，通過對單知識點的深入理解來提高解決綜合問題的能力.

模型一 星表模型

與環(huán)繞模型不同的是，星表模型主要研究星球表面上的物體隨星球一起自轉(zhuǎn)的運動.在這種模型下，又分為兩種不同的情況，一是如果忽略星球自轉(zhuǎn)因素的影響，則星球表面上物體所受的重力大小就等于星球?qū)ξ矬w的萬有引力的大??；二是如果不能忽略星球自轉(zhuǎn)因素的影響，星球表面上物體隨星球自轉(zhuǎn)所需要的向心力由萬有引力與星球表面對物體的支持力的合力來提供.

基本規(guī)律：星球表面物體繞星球一起自轉(zhuǎn)，圓心在自轉(zhuǎn)軸上.

圖1

題型一：計算星球的質(zhì)量及密度

例1 假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G.地球的密度為( ).

例2 在某行星和地球表面以相同的速率分別豎直上拋一個物體，它們各自返回拋出點的時間之比為1∶2，已知地球半徑約為該行星半徑的4倍，地球的質(zhì)量為M，由此可知，該行星的質(zhì)量為( ).

題型二：計算星球內(nèi)部某處重力加速度

此題型源于2012年新課標卷的選擇題，由星球表面的研究轉(zhuǎn)移到到了星球內(nèi)部的研究，或者可以認為由大家熟悉地研究“天上”轉(zhuǎn)為研究“地下”；當然在轉(zhuǎn)移研究的過程中，需要增加一個條件，那就是：已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零.

圖2

解答此題型的關(guān)鍵是根據(jù)題中的條件，將對星球內(nèi)部某點重力加速度的求解，等效為一個新的星球表面重力加速度的求解.即：同一星球中心的不同半徑的兩個星球表面重力加速度的研究.所使用的基本公式均為：萬有引力大小等于重力大小.以圖2為例，星球表面A點與星球內(nèi)部B點的重力加速度分別相當于半徑為R和半徑為r的星球表面重力加速度.

例3 (2012年新課標卷)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體.一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為( ).

特殊模型雙星系統(tǒng)及多星系統(tǒng)

題型一 雙星系統(tǒng)

圖3

雙星系統(tǒng)：如圖3，由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動.

基本規(guī)律：兩星體間的萬有引力提供向心力，且兩星體公轉(zhuǎn)周期和角速度都相等；

例4 雙星系統(tǒng)是由兩顆恒星組成的，在兩者間的萬有引力相互作用下繞其連線上的某一點做勻速圓周運動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)在演化過程中，兩星的某些參量會發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星運動周期為T，經(jīng)過一段時間后，兩星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膍倍，兩星的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為( ).

解析雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，對兩星列式：

題型二 多星系統(tǒng)

三星(或四星)系統(tǒng)：由三顆(或四顆)相距較近的恒星組成，在萬有引力的作用下形成不同的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，繞其中某一星體或繞某一點做勻速圓周運動.

基本規(guī)律：所研究星體的萬有引力的合力提供向心力；除中央星體外，各星體的角速度或公轉(zhuǎn)周期相等，而各星體所受萬有引力的合力因其在穩(wěn)定結(jié)構(gòu)中所處位置的不同會有所不同.

穩(wěn)定的三星系統(tǒng)的存在形式：

①三顆質(zhì)量相等的星體位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上做勻速圓周運動，如圖4甲所示；(注：圖4甲中中央星體所受合力為0)

②三顆質(zhì)量相等均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上，均繞等邊三角形的中心O做勻速圓周運動，如圖4乙所示；

穩(wěn)定的四星系統(tǒng)的存在形式：

③四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿外接正方形的圓形軌道運動，如圖4丙所示；

④三顆星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于正三角形的中心O點，外圍三顆星體繞O點做勻速圓周運動，如圖4丁所示；(注：圖4丁中處于O點的星體所受合力為0)

圖4

同理可推知：穩(wěn)定的五星或六星等多星系統(tǒng)的穩(wěn)定存在形式.

例5 宇宙中有這樣一種三星系統(tǒng)，系統(tǒng)由兩個質(zhì)量為m的小星體和一個質(zhì)量為M的大星體組成，兩個小星體圍繞大星體在同一圓形軌道上運行，軌道半徑為r，關(guān)于該三星系統(tǒng)的說法中正確的是( ).

A.在穩(wěn)定運行情況下，大星體提供兩小星體做圓周運動的向心力；

C.在穩(wěn)定運行情況下，大星體應(yīng)在兩小星體軌道的中心，兩小星體在大星體相對的兩側(cè)；

答案為C.

例6 由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，叫作三星系統(tǒng)．有這樣一種簡單的三星系統(tǒng)：質(zhì)量剛好都相同的三個星體a、b、c在三者相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同周期的圓周運動，若三個星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是( ).

A.三個星體做圓周運動的半徑為a；

思維提煉

圖5

從圖5的“金三角”中，我們可以看到：環(huán)繞模型和雙星模型用的是同樣的研究思路①，即天體的運動形式為圓周運動，天體所受的萬有引力提供向心力；而星表模型則主要是思路②，在不考慮星體自轉(zhuǎn)的情況下，赤道上的物體所受的重力與萬有引力大小相等；可見思路①主要研究“天上”的運動問題，思路②主要研究“地表或地下”的運動問題；而連接“天上”和“地表或地下”的橋梁就是“黃金代換式”.所以，對于天體運動問題的備考，我們都可以從上述的“金三角”中尋得模型及思路，使不同情境下的天體問題快速得到解決.