九自由度上肢康復(fù)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析研究

梁輝，張廣興，王術(shù)徽，孔祥旭，王輝，汪傳生,b

(青島科技大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院; b.山東省高分子材料先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266061)

0 引言

近年來，隨著我國人口老齡化進(jìn)程不斷加快,腦卒中患者也不斷增加。腦卒中引起偏癱帶來的肢體運(yùn)動(dòng)障礙不僅降低了患者的生活質(zhì)量，而且給患者的生理和心理帶來了極大的痛苦[1-2]。傳統(tǒng)的人工治療方法效率低、勞動(dòng)強(qiáng)度大，且不適合在家里操作。在現(xiàn)今醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人利用機(jī)械手臂帶動(dòng)患肢在空間內(nèi)進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練運(yùn)動(dòng)，模擬日常生活中的手臂運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過控制實(shí)現(xiàn)手臂各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練、肌肉鍛煉以及神經(jīng)功能的恢復(fù)訓(xùn)練，使機(jī)器人與人的手臂協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)[3-4]，取得了顯著的效果。

本文結(jié)合并聯(lián)結(jié)構(gòu)和串聯(lián)結(jié)構(gòu)各自的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)出一種適合不同人群的上肢康復(fù)機(jī)構(gòu)。該康復(fù)機(jī)構(gòu)既有串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)空間大的優(yōu)勢，又有并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度大、支撐能力強(qiáng)等特點(diǎn)[5-6]。該結(jié)構(gòu)可穿戴在患者的上肢上，通過控制調(diào)節(jié)能夠很好地模擬人體上肢運(yùn)動(dòng)，然后帶動(dòng)患者的上肢運(yùn)動(dòng)，使患者康復(fù)訓(xùn)練達(dá)到良好效果。該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，價(jià)格低廉，具有安全性、經(jīng)濟(jì)型和實(shí)用性。

1 機(jī)構(gòu)介紹及其自由度計(jì)算

1.1 機(jī)構(gòu)特點(diǎn)

上肢康復(fù)機(jī)構(gòu)可幫助偏癱患者進(jìn)行肢體的康復(fù)訓(xùn)練，為了使患者康復(fù)過程更加安全，故設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的自由度至少與上肢自由度相同。本康復(fù)機(jī)構(gòu)是將3-RPC、3-RPR和 3-PSR 并聯(lián)結(jié)構(gòu)串聯(lián)成最終的3層康復(fù)結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)上肢7個(gè)自由度的康復(fù)運(yùn)動(dòng)。下層部分 3-RPC 機(jī)構(gòu)仿制的是機(jī)械臂的大臂，通過控制下層部分在x、y、z三軸上運(yùn)動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)肩部的二維轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)行肩部的康復(fù)；中間部分3-RPR 是球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，仿制的是機(jī)械臂的肘部，通過控制3個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以進(jìn)行大臂的回轉(zhuǎn)和肘部的轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)肘部伸展、收縮康復(fù)訓(xùn)練，其中的回轉(zhuǎn)是將大臂部分不能完成的肩部回轉(zhuǎn)移到中間部分。上層部分和中間部分結(jié)合使最終活動(dòng)平臺(tái)和中下過渡層之間的距離為前臂。上層部分3-PSR 仿制的是腕部，人手抓握上活動(dòng)平臺(tái)，通過控制輸出3個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)腕部屈伸、內(nèi)收、外收以及內(nèi)旋、外旋等康復(fù)訓(xùn)練。大臂結(jié)構(gòu)和前臂結(jié)構(gòu)的尺寸設(shè)計(jì)是否合理，對機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)其康復(fù)性能都有一定的影響，所以通過控制大臂結(jié)構(gòu)移動(dòng)副的伸縮以及調(diào)節(jié)腕部平臺(tái)桿和主動(dòng)桿之間的角度，可以改變其尺寸大小，以適應(yīng)不同人群的需要，使康復(fù)過程更加安全有效。該康復(fù)結(jié)構(gòu)的模型及其結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 九自由度康復(fù)結(jié)構(gòu)模型圖及結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

如圖2所示，大臂機(jī)構(gòu)由1個(gè)固定平臺(tái)、1個(gè)中下過渡層以及連接動(dòng)靜平臺(tái)的3條相同支鏈組成，每條支鏈通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R與中下過渡層聯(lián)接，通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R與固定平臺(tái)聯(lián)接，中間是移動(dòng)副P，作為驅(qū)動(dòng)。圖中機(jī)構(gòu)3個(gè)基面轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線是關(guān)于中心O點(diǎn)呈切線分布的，上、下平臺(tái)運(yùn)動(dòng)副的連線都是等邊三角形[7-9]。

圖2 大臂結(jié)構(gòu)圖

大臂部分被限制的是3個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，故該機(jī)構(gòu)階數(shù)為3。因此，計(jì)算得到該機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)為：

3(8-9-1)+9=3

(1)

如圖3所示，肘部機(jī)構(gòu)由1個(gè)中下過渡層、1個(gè)中上過渡層以及連接動(dòng)靜平臺(tái)的3條相同支鏈組成，每條支鏈通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R與中上過渡層聯(lián)接，通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R與中下過渡層聯(lián)接，中間是移動(dòng)副P，作為驅(qū)動(dòng)，圖中機(jī)構(gòu)3個(gè)基面轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線是關(guān)于中心O點(diǎn)呈切線分布的，上下過渡層運(yùn)動(dòng)副的連線都是等邊三角形。

圖3 肘部機(jī)構(gòu)模型圖與部分簡圖

中間肘部機(jī)構(gòu)被限制的是3個(gè)方向的移動(dòng)，故該機(jī)構(gòu)階數(shù)為3。該機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)為：

(2)

如圖4所示，腕部機(jī)構(gòu)由1個(gè)上活動(dòng)平臺(tái)、1個(gè)中上過渡層以及連接活動(dòng)平臺(tái)的3條相同支鏈組成，每條支鏈的平臺(tái)桿和主動(dòng)桿通過轉(zhuǎn)動(dòng)副R聯(lián)接，各支鏈通過移動(dòng)副P與中上過渡層聯(lián)接，中間是球面副S，上過渡層運(yùn)動(dòng)副的連線是等邊三角形。

圖4 腕部機(jī)構(gòu)圖

腕部機(jī)構(gòu)被限制的是3個(gè)方向的移動(dòng)，故該機(jī)構(gòu)階數(shù)為3。該機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)為：

3(8-9-1)+9=3

(3)

由式(1)-式(3)知，九自由度上肢康復(fù)結(jié)構(gòu)的自由度為3+3+3=9。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

把并聯(lián)機(jī)構(gòu)廣泛地運(yùn)用到上肢康復(fù)機(jī)構(gòu)中，首先必須解決3層并、串結(jié)構(gòu)的分析問題，在此通過串聯(lián)機(jī)構(gòu)的特性對該康復(fù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行位置分析。由于大臂部分的輸出層是中間肘部的輸入層，中間肘部的輸出層又是腕部的輸入層，故對該機(jī)構(gòu)分成3部分分析，最后再合并，相比較傳統(tǒng)對整體結(jié)構(gòu)求解，大大減少了計(jì)算量。

2.1 位置正解

a)對大臂部分進(jìn)行分析

如圖2所示，以等邊三角形B11B12B13中心處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以垂直面B11B12B13為z軸，以B13O為y軸，建立固定坐標(biāo)系，再在中間平臺(tái)部分建立新坐標(biāo)系，中下坐標(biāo)系中，以運(yùn)動(dòng)副B31、B32、B33軸線交點(diǎn)為O1，以過點(diǎn)O1且垂直面B31B32B33為z′軸，以過點(diǎn)O1且垂直面B31Oz′為x′軸，y′軸在面B31Oz′中。固定坐標(biāo)由中下坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)-60°，再沿x軸、y軸、z軸平移得來。

在已知中下坐標(biāo)系O1與固定坐標(biāo)系O的位置矢量后，由于B21、B22、B23在新坐標(biāo)系的位置不固定，所以換一種解法，利用等效法進(jìn)行幾何計(jì)算。對于OO1向量可以選取沿x、y、z軸的3條向量，即機(jī)構(gòu)先沿z軸移動(dòng)z1，再沿y軸移動(dòng)y1，最后沿x軸移動(dòng)x1。

機(jī)構(gòu)先沿z軸到達(dá)指定位置，設(shè)上、下三角邊長分別為a、b，且均為等邊三角形，則

(4)

如圖5所示，沿y軸到達(dá)指定位置，此時(shí)

圖5 沿y軸移動(dòng)圖

(5)

如圖6所示，在沿x軸到達(dá)最后位置，此時(shí)

圖6 沿x軸移動(dòng)圖

(6)

當(dāng)已知各桿長度，由式(6)可以求得O1在固定坐標(biāo)系的位置，則兩坐標(biāo)系關(guān)系為：

OR=T1O1R+P1

(7)

P1=[x1y1z1]T

中間肘部是球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，圓環(huán)的中心點(diǎn)為O2，如圖7所示，中軸Wi在中下坐標(biāo)系中位置為：

圖7 球面多邊形圖

1)W1的坐標(biāo)余弦

(8)

2)W2的坐標(biāo)余弦

W2z=sinα12cosθ12

(9)

3)W3的坐標(biāo)余弦

W3z=sinα13cosθ13

(10)

由機(jī)構(gòu)約束條件

Wi·Wj=cosθ1i,j=1,2,3且i≠j

(11)

其中θ1為固定值。

可以求出Wi(i=1,2,3)在中下坐標(biāo)系的值，以O(shè)2為坐標(biāo)原點(diǎn)，以環(huán)的軸線為z″軸，以O(shè)2W1為x″軸，y″軸由右手螺旋法則確定。又知中間肘為球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，則O1O2為定值，設(shè)為h1。由式(12)知

(12)

其中α'、β'、γ'是中上過渡層相對于中下過渡層的轉(zhuǎn)角。已知T2，則中上層相對于中下層各轉(zhuǎn)角可知，即

O1Ri=T2O2Ri+P2

(13)

b)對前臂部分進(jìn)行分析

由于滑塊在環(huán)上運(yùn)動(dòng)(圖4)，可以看成繞環(huán)軸線運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)副，主動(dòng)桿長度為L1，平臺(tái)桿長度為L2，平臺(tái)桿與動(dòng)平臺(tái)之間夾角為θ2，均為固定值。動(dòng)平臺(tái)上以P點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直動(dòng)平臺(tái)的為zp，以PV1方向?yàn)閤p，yp由右手螺旋法則確定。其中O2B4i與x″夾角為βi，ViB5i與B5iB4i夾角為γi，圓環(huán)半徑為R2，上活動(dòng)平臺(tái)半徑為R3。

球鉸之間的距離在坐標(biāo)系O2-x″y″z″的值與在坐標(biāo)系P-xpypzp的值是相等的。

(14)

Si在O2-x″y″z″中的位姿為

Si在上活動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系下位姿為

PSi=PVi+ViB5i+B5iSi=[PxS,iPyS,iPzS,i1]T，

pxS,i=[L1sin(γi-θ2)-L2sinθ2]R3cosφi，

pyS,i=[L1sin(γi-θ2)-L2sinθ2]R3sinφi，

pzS,i=-L1cos(γi-θ2)-L2cosθ2。

令mi為Si到Si+1的距離，則

(15)

將式(14)中左右兩邊平方得：

(16)

令：

(17)

在式(17)中替換關(guān)于(γ1-θ2)的函數(shù)后變成下面方程式：

(18)

求解得

(19)

P點(diǎn)在O2-x″y″z″中的坐標(biāo)為(xP,yP,zP)，P點(diǎn)坐標(biāo)有如下約束方程：

(20)

對每一組γi(i=1,2,3)，可以得到(xP,yP,zP)的兩組解，但γi的解是成對出現(xiàn)，且ni2中cos(γi-θ2)=cos(θ2-γi)，所以最多有16組(xP,yP,zP)的解，對應(yīng)16個(gè)平臺(tái)位置[8]。

c)求平臺(tái)方位

設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣：

(21)

齊次變換矩陣如下：

(22)

其中O2P=[xP,yP,zP]T。

根據(jù)連桿的連接關(guān)系，利用變換矩陣可得：

O2TPPSi=Si

(23)

把式(20)、式(21)代入式(22)中得到9個(gè)線性方程：

(24)

(25)

(26)

由式(24)-式(26)可求出旋轉(zhuǎn)矩陣O2TP，即：

O2R=T3PR+P3

(27)

P3=[xpypzp]T

由式(7)、式(13)和式(27)可知：

(28)

其中：T=T1T2T3；P=T1P2+T2P3+P1。

則九自由度上肢康復(fù)機(jī)構(gòu)的位置正解求解完成。

2.2 位置反解

當(dāng)已知上活動(dòng)平臺(tái)和中上過渡層的位姿后，可以求出上活動(dòng)平臺(tái)相對于中上過渡層的6個(gè)位姿參量。對上層進(jìn)行分析，求出上活動(dòng)平臺(tái)Vi和B5i在中上坐標(biāo)系的位置：

O2Vi=T3·PVi+P3

O2B5i=T3·PB5i+P3

(29)

根據(jù)3條支鏈對稱分布，轉(zhuǎn)動(dòng)副B5i軸線平行于過平臺(tái)桿與上活動(dòng)平面的切線，且和主動(dòng)桿軸線垂直，同時(shí)也和平臺(tái)桿軸線垂直，有以下公式：

(xP-cosβi)(xV,i+1-xV,i+2)+

(yP-sinβi)(yV,i+1-yV,i+2)+zP(zV,i+1-zV,i+2)=0

(xB5i-cosβi)(xV,i+1-xV,i+2)+

(yB5i-sinβi)(yV,i+1-yV,i+2)+zB5i(zV,i+1-zV,i+2)=0

(30)

P1=OO2-P2，OO2=[xO2yO2zO2]T

(31)

其中P1向量為中下過渡層相對于固定坐標(biāo)系的位置。根據(jù)式(6)即可求出各桿li(li>0)。至此該機(jī)構(gòu)的9個(gè)輸入量都已求出。位置反解求解完成。

3 運(yùn)動(dòng)仿真

本康復(fù)機(jī)構(gòu)利用三維繪圖軟件SolidWorks對九自由度上肢康復(fù)結(jié)構(gòu)建模(圖1)，然后運(yùn)用其Motion模塊對該康復(fù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真。令上、下正三角形邊長a=180 mm，b=125 mm，固定角度θ1和θ2分別為120°和150°，主動(dòng)桿和平臺(tái)桿的長度分別為L1=30 mm，L2=105 mm，圓環(huán)半徑和上活動(dòng)平臺(tái)半徑分別為R2=95 mm，R3=24 mm。對康復(fù)機(jī)構(gòu)添加電機(jī)驅(qū)動(dòng)和約束，通過運(yùn)行該康復(fù)機(jī)構(gòu)，得到上活動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心位置的位移、速度、加速度的測試結(jié)果如圖8-圖10所示。

圖8 上活動(dòng)平臺(tái)位移曲線

圖9 上活動(dòng)平臺(tái)速度曲線

圖10 上活動(dòng)平臺(tái)加速度曲線

由圖8-圖10可以看出，上活動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過程中，速度平穩(wěn)，加速度并沒有出現(xiàn)突變的情況，驗(yàn)證了該康復(fù)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和可行性。

4 結(jié)語

提出一種九自由度上肢康復(fù)結(jié)構(gòu)，分析了該結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解研究，利用分步求解法，將機(jī)構(gòu)整體拆分成3部分，再分別求解整合，并運(yùn)用了坐標(biāo)變換和球面解析理論對康復(fù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行求解。這種求解方法相比較傳統(tǒng)求解整體結(jié)構(gòu)的方法可以簡化計(jì)算量。通過運(yùn)動(dòng)仿真，得到末端上活動(dòng)平臺(tái)的位移、速度、加速度曲線圖，驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)的合理性。本次研究對以后多層串并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析具有一定的參考意義。