帶干擾與注資的二維對(duì)偶模型限制分紅問(wèn)題

權(quán)俊亮，胡 華

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，銀川 750021)

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)一維對(duì)偶模型的最優(yōu)分紅問(wèn)題[1-4]與注資問(wèn)題[5-8]進(jìn)行了深刻討論. 如：在分紅有界的條件下，運(yùn)用壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)原理，采用Bellman遞歸算法討論了對(duì)偶模型中帶比例交易費(fèi)再注資且分紅貼現(xiàn)利率隨機(jī)變化的最優(yōu)分紅問(wèn)題[9]；考慮了混合分紅策略下具有擴(kuò)散的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，通過(guò)拉普拉斯逆變換構(gòu)造函數(shù)求解值函數(shù)與刻畫(huà)破產(chǎn)時(shí)刻[10]；考慮了對(duì)偶Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型中巴黎破產(chǎn)問(wèn)題，利用譜負(fù)Lévy過(guò)程的波動(dòng)恒等式與相關(guān)的尺度函數(shù)，得到了巴黎破產(chǎn)前預(yù)期折現(xiàn)分紅的顯性表達(dá)式[11].

隨著一維對(duì)偶模型的研究深入，部分學(xué)者在一維對(duì)偶模型的基礎(chǔ)上研究了二維風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅和資本注入問(wèn)題. 如：討論了最優(yōu)分紅支付和資本注入問(wèn)題，使其在二維復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型中構(gòu)建了2個(gè)索賠之間的相關(guān)性，目標(biāo)是最大限度地減少貼現(xiàn)分紅支付減去受懲罰的貼現(xiàn)資本注入，通過(guò)求解相應(yīng)的HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程，得到最優(yōu)分紅策略，并在理賠服從指數(shù)分布時(shí)解決分紅與注資問(wèn)題[12]；研究了一類具有復(fù)合泊松剩余過(guò)程的保險(xiǎn)公司2個(gè)分支的二維最優(yōu)分紅問(wèn)題，該問(wèn)題將索賠ci和保費(fèi)bi按ci/bi進(jìn)行考慮，解決了最大期望累積貼現(xiàn)分紅支付的隨機(jī)控制問(wèn)題，在相應(yīng)的HJB方程中證明了該值函數(shù)所滿足的方程存在最小粘性上解，并描述了最優(yōu)策略[13]；研究了二維對(duì)偶模型的最優(yōu)控制問(wèn)題，探討了破產(chǎn)時(shí)刻的分紅貼現(xiàn)值的期望值，得到了它所滿足的積分-微分方程，并給出值函數(shù)的性質(zhì)及其滿足的HJB方程，通過(guò)求解HJB方程得到值函數(shù)的表達(dá)式[14]；研究了具有資本交換協(xié)議、閾值分紅策略和隨機(jī)觀察期的2家公司的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了描述預(yù)期分紅貼現(xiàn)的積分-偏微分方程組，并針對(duì)不存在解析解的情況，提出了一種數(shù)值自配置方法[15]；考慮了二維風(fēng)險(xiǎn)模型中最優(yōu)分紅問(wèn)題，將最優(yōu)值函數(shù)識(shí)別為HJB方程的最小粘性解，并給出了逼近數(shù)值的迭代方法[16].

在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，本文研究了帶干擾二維對(duì)偶模型中再注資且分紅貼現(xiàn)利率變化的最優(yōu)分紅問(wèn)題；在最優(yōu)控制問(wèn)題中，運(yùn)用HJB方程，證明了最優(yōu)分紅策略是閾值策略，并且得到了累積分紅折現(xiàn)期望值函數(shù)所滿足的積分-微分方程，并用此方程得到收益服從指數(shù)分布時(shí)值函數(shù)的顯性表達(dá)式.

1 模型的建立

設(shè)在濾波概率空間{Ω，F(xiàn),{Ft}t≥0,P}中，投資公司中2類項(xiàng)目在t時(shí)刻的盈余分別為{X1(t)}t≥0、{X2(t)}t≥0，盈余過(guò)程為：

(1)

在式(1)中引入2類控制問(wèn)題:分紅與注資. 假設(shè)(D1(t),D2(t))T、(Z1(t),Z2(t))T分別為[0,t]中的累計(jì)分紅量、累計(jì)注資量，具有右連左極，并且為關(guān)于{Ft}t≥0自適應(yīng)的增過(guò)程，其中當(dāng)t=0時(shí)，(D1(0),D2(0))T=(0,0)T，(Z1(0),Z2(0))T=(0,0)T.

受控盈余過(guò)程為：

(2)

為了更符合公司實(shí)際支付分紅的情況，考慮公司額外不確定的花費(fèi)與收入{W(t)}({W(t)}是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng))，并且考慮公司的總體分紅與注資情況. 將2類項(xiàng)目的分紅與注資簡(jiǎn)單求和：D(t)=D1(t)+D2(t)，Z(t)=Z1(t)+Z2(t). 將式(2)簡(jiǎn)寫(xiě)成

X(t)=x-ct+S(t)+σW(t)-D(t)+Z(t) (t≥0),

(3)

在式(3)中，假設(shè)單位時(shí)間盈余的預(yù)期增長(zhǎng)為:

μ=E[S(1)]-c>0,

(4)

對(duì)于任意的t≥0，可得P[X(t)≥0]=1.

定義值函數(shù)為

(5)

2 值函數(shù)的性質(zhì)及其滿足的HJB方程

本節(jié)考慮在限制分紅[17]條件下，帶干擾二維對(duì)偶模型中再注資的最優(yōu)分紅問(wèn)題：

(2)0≤h(t)≤h0<，

其中，h(t)為任何時(shí)刻的分紅速度,h0為分紅速度的最大值. 用={D(t)，Z(t)}表示策略，其策略值函數(shù)為

首先，給出值函數(shù)V(x)的性質(zhì):

引理1[12]對(duì)任意x>y≥0，V(x)是增函數(shù)和凸函數(shù)，且

然后，根據(jù)最優(yōu)控制理論[18]，給出V(x)所滿足的HJB方程：對(duì)于x≥0,有

(6)

其中，

(δ+0+1+2)g(x)+0g(x-w)dFW(w)+

因?yàn)榻疱X(qián)具有時(shí)間價(jià)值，且公司需避免破產(chǎn)情況發(fā)生，所以，應(yīng)在公司盈余即將為0時(shí)進(jìn)行注資，而且注資速度不宜過(guò)大，只需將公司資產(chǎn)維持在臨界線上，直至下一次收入跳發(fā)生時(shí)停止注資，即g′(x)-φ=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立；由于公司在初始盈余為0

方程(6)關(guān)于h(x)是線性的，因此，將參數(shù)h(x)在方程(6)中最大化，可得

令g(x)是遞增有界凸函數(shù)，則存在x*=inf{x:g′(x)≤1}，使得

定理1設(shè)二階連續(xù)可微函數(shù)g(x)C1是遞增、有界的凸函數(shù)且是方程(6)的解，則對(duì)于任意的策略，有g(shù)(x)≥V(x)，從而g(x)≥V(x).

證明給定一個(gè)可容許策略*Π，定義∧D={s:D(s-)≠D(s)},∧Z={s:Z(s-)≠Z(s)}，記為D(t)的跳部分，而(t)=D(t)-(t)為D(t)的連續(xù)部分. 類似地，(t)、(t)分別表示Z(t)的跳部分、連續(xù)部分，根據(jù)Ito公式，可得

e-δtg(X(t))-g(x)=-δe-δsg(X(s))ds+

g(X(s-)+y)]dyds-

g(X(s-)-y)]g′(X(s-)+y)dyds.

(7)

當(dāng)t→時(shí)，可得

g(x)≥V

定理2給定策略如果滿足

證明在策略中，由于x*=inf{z:g′(z)≤1}>0，對(duì)式(7)取期望，得

當(dāng)t→時(shí)，h(x)g(x)}≤0，1

3 值函數(shù)的積分-微分方程

本節(jié)對(duì)初始盈余分類討論，求解其對(duì)應(yīng)值函數(shù)滿足的積分-微分方程.

定理3當(dāng)0≤x≤x*時(shí)，V(x)滿足的積分-微分方程為：

(8)

當(dāng)x>x*時(shí)，V(x)滿足的積分-微分方程為：

h0+0V(x+y)dFW(y)+1V(x+y)dFU(y)+

(9)

證明當(dāng)0≤x≤x*時(shí)，取足夠小的時(shí)間，使得x-c>0，在(0,)中存在4種情況：

(1)2類項(xiàng)目均無(wú)收益；

(2)第1類項(xiàng)目有收益，第2類項(xiàng)目無(wú)收益；

(3)第1類項(xiàng)目無(wú)收益，第2類項(xiàng)目有收益；

(4)2類項(xiàng)目均有收益.

根據(jù)以上4種情況，值函數(shù)V(x)為：

V(x)=eV(x-c+σW(t))+

(10)

將V(x-ct+σW(t))泰勒展開(kāi)，并取期望得到

(11)

注1當(dāng)x=x*=0時(shí)，可得cV′(x)=0ydFW(y)+1ydFU(y)+2ydFV(y). 由式(4)可得V′(0)>1. 因此，存在x*>0，對(duì)于0≤x≤x*,有V′(x)≥1. 進(jìn)而對(duì)于0≤x≤x*，有V(x)≥x.

注2為了計(jì)算方便，將式(8)寫(xiě)為

(12)

4 收益服從指數(shù)分布的顯示解

0=cV′(x)+(0+1+2+δ)V(x)-

(13)

對(duì)方程(13)應(yīng)用算子D(D-α1I)-α2(D-α1I)，其中，D是對(duì)V(x)的微分算子，I是對(duì)V(x)的單位算子，可得

cV?(x)-[0+1+2+δ-c(α1-α2)]V″(x)-

[α1α2c-α1(2+δ)-α2(1+δ)]V′(x)+

α1α2δV(x)=0.

(14)

為了解方程(14)，考慮特征方程的求根，令

a(x)=cx3-[0+1+2+δ-c(α1-α2)]x2-

[α1α2c-α1(2+δ)-α2(1+δ)]x+α1α2δ=0.

(15)

方程(15)有1個(gè)負(fù)根k1、2個(gè)正根k2和k3，滿足k1<0

V(x)=M1ek1x+M2ek2x+M3ek3x.

(16)

將式(16)代入式(13)，并使得e-α1x與e-α2x的系數(shù)為0，可得

(17)

由注1可得

V′(x*)=M1k1ek1x*+M2k2ek2x*+M3k3ek3x*=1.

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行求導(dǎo)，得

(19)

由式(17)、(18)，可得

(20)

(21)

M3=A/B,

(22)

其中

將式(20)～(22)代入式(19)，可得關(guān)于x*的表達(dá)式，則σ=0時(shí)，值函數(shù)的顯性表達(dá)式為：

利用上述方法，類似可得σ≠0時(shí)，值函數(shù)V(x)的表達(dá)式.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)二維對(duì)偶模型中限制分紅與資本注入問(wèn)題的HJB方程，證明了最優(yōu)策略存在當(dāng)且僅當(dāng)x*=inf{z:g′(z)≤1}>0，并且得到了在限制的貼現(xiàn)分紅與注資之差的值函數(shù)滿足的積分-微分方程，用此方程得到收益服從指數(shù)分布時(shí)值函數(shù)的顯性表達(dá)式. 后續(xù)研究可嘗試對(duì)二維對(duì)偶模型中干擾參數(shù)σ進(jìn)行分類求解，使該模型更切合實(shí)際情況.