絕對(duì)值與一元一次方程

文 祁妍碩

絕對(duì)值是七年級(jí)數(shù)學(xué)非常重要的概念之一能與數(shù)學(xué)中許多知識(shí)組合出新的問題。今天我們重點(diǎn)研究絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程，即絕對(duì)值方程。解決這一問題需要從絕對(duì)值的性質(zhì)、幾何意義出發(fā)，方可成功“拿下”。

在解絕對(duì)值方程之前，需要回顧以下知識(shí)點(diǎn)。（1）絕對(duì)值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。（2）絕對(duì)值的幾何意義：表示數(shù)軸上數(shù)a與b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離。

一、提出問題

例1解方程：|x-3|=2。

【錯(cuò)解】解：x-3=2，故x=5。

【解析】方法1：從絕對(duì)值的性質(zhì)出發(fā)，將這個(gè)方程看成是絕對(duì)值等于2的數(shù)有哪些？當(dāng)然是±2，即x-3=±2，所以x=5或1。

方法2：從絕對(duì)值的幾何意義出發(fā)，如圖1，方程左邊|x-3|表示一個(gè)數(shù)x到3的距離。借助數(shù)軸，整個(gè)方程表示數(shù)軸上一個(gè)數(shù)x到3的距離等于2個(gè)單位，這個(gè)數(shù)分布在3的左側(cè)和右側(cè)，故這個(gè)數(shù)x為5或1，即x=5或1。

二、變式問題

例2求滿足方程|x+3|+| 2-x|=5的所有整數(shù)解。

【解析】解決絕對(duì)值方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，我們可以根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)對(duì)x+3和2-x與0的關(guān)系進(jìn)行分類討論。也可絕對(duì)值的幾何意義出發(fā)，如圖2，借助數(shù)軸，解決這類方程會(huì)更為快捷。先需要將方程改成|x-（-3）|+|x-2|=5，即：此方程看作一個(gè)數(shù)x到-3的距離與它到2的距離的和等于5，這樣的x在數(shù)軸上的什么位置？

如圖2，這個(gè)數(shù)x只要在-3和2之間都滿足條件。其中滿足條件的整數(shù)為-3，-2，-1，0，1，2。

例3解方程：|x+3|-2|x-2|=0。

【解析】從幾何意義出發(fā)，原方程表示x到-3的距離等于它到2的距離的2倍，借助數(shù)軸，記-3表示點(diǎn)A，2表示點(diǎn)B，點(diǎn)P記為x，即PA=2PB，又知道AB=5，如圖3和圖4可知，分兩類討論得到x=7或。