（α，β）型Bazileviˇc 函數(shù)相鄰兩系數(shù)模之差的估計(jì)

牛瀟萌， 李書海

（赤峰學(xué)院 師范學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰024000）

設(shè)f（z）與g（z）在單位圓盤U=｛z：|z| ＜1｝內(nèi)解析，如果存在U內(nèi)滿足|ω（z）|≤|z|的解析函數(shù)ω（z），使得f（z）=g（ω（z）），則稱f（z）從屬于g（z），記作f（z）?g（z）.特別地，如果g（z）在U上是單葉的，則

的全體.顯然P（C，D）?P（1，-1）=P，P為熟知的正實(shí)部函數(shù)類.

設(shè)S表示在單位圓盤U內(nèi)單葉解析函數(shù)

構(gòu)成的函數(shù)類.S*、C和Bα分別表示通常的星象函數(shù)類，近于凸函數(shù)類和Bazileviˇc 函數(shù)類，它們都是S的子類且S*?C?Bα.

設(shè)

其級(jí)數(shù)中相鄰兩系數(shù)模之差‖Dn+1| - |Dn‖的估計(jì)是單葉函數(shù)論中的一個(gè)重要問題.對于f∈S的形式，還尚未完全解決，而且對于相鄰兩系數(shù)模之差的準(zhǔn)確估計(jì)，在整個(gè)單葉函數(shù)族中要辦到，是一件不容易的事情.記

其中A為絕對常數(shù).尋求最佳的b（λ）是一個(gè)有趣的問題.這個(gè)問題最初是由Goluzin 研究的，并證明了b（1）=3/2，b（1/2）=1/2，在文獻(xiàn)［1］中有詳細(xì)介紹.這引起了國內(nèi)外許多學(xué)者的興趣.對1/4 ＜λ ＜1，胡克［1］證明了

這是目前比較好的結(jié)果，但不是最佳結(jié)果.當(dāng)0 ＜λ ＜1 時(shí)，b（λ）的最佳值是什么呢？此后這個(gè)問題雖然屢有進(jìn)展，但至今尚未解決，仍是一個(gè)很值得探討的問題［1］.近年來，許多學(xué)者主要研究單葉函數(shù)中一些特殊函數(shù)族的相鄰系數(shù)模之差的估計(jì)［1-8］.當(dāng)0 ＜λ ＜1 時(shí)，鄧琴［3］證明了當(dāng)f（z）∈Bα?xí)r，，階λ -1 為最佳值.

本文研究由Kim［9］給出的（α，β）型Bazileviˇc函數(shù)類B（α，β）和由牛瀟萌［10］給出的Bα，β（C，D）.

定義1［9］設(shè)f（z）∈S，α ＞0，β∈R，如果存在g（z）∈S*使得

則稱f（z）∈B（α，β）.顯然

定義2［10］設(shè)f（z）∈S，α ＞0，β∈R，-1 ≤D＜C≤1，如果存在g（z）∈S*使得

本文首先利用復(fù)分析中的一些初等方法研究Bα，β（C，D）的相鄰兩系數(shù)模之差的估計(jì)，進(jìn)一步給出（α，β）型Bazileviˇc 函數(shù)相鄰兩系數(shù)模之差的估計(jì)，獲得最佳結(jié)果，推廣了鄧琴［3］給出的結(jié)果，并給出幾何刻畫.

1 預(yù)備引理

為了得到Bα，β（C，D）相鄰兩系數(shù)模之差的估計(jì)，需要如下引理.為方便，函數(shù)f（z）的冪級(jí)數(shù)展開式中zn系數(shù)an表示為an=｛f｝n.

引理1［3］設(shè)

2）設(shè)f（z）∈Bα，β（C，D），則存在g（z）∈S*滿足

證明由文獻(xiàn)［3］證明過程可得此引理.

引理6［3］設(shè)f（z）∈S，ψ（z）由（1）式定義，則

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)f（z）∈Bα，β（C，D），Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

是絕對常數(shù)，階λ-1 是最佳的.

證明因?yàn)?/p>

下面分別計(jì)算|｛（z-z2）ψ′（z）｝n+1|的界和|｛-zψ（z）｝n+1|的界.

由（1）式可算出

圖1 λ=0.3Fig. 1 λ=0.3

圖2 λ=0.7Fig. 2 λ=0.7

圖3 λ=0.3Fig. 3 λ=0.3

圖4 λ=0.7Fig. 4 λ=0.7

因?yàn)锽α，β（1，-1）=B（α，β），所以由定理1 可得如下（α，β）型Bazileviˇc函數(shù)B（α，β）的相鄰兩系數(shù)模之差的估計(jì).

定理2設(shè)f（z）∈B（α，β），Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

是絕對常數(shù)，階λ-1 是最佳的.

證明當(dāng)C=1，D= -1 時(shí)，由定理1 可知

在定理2 中取β=0，則B（α，0）=Bα，所以由定理2可得到文獻(xiàn)［3］中的定理.

推論1設(shè)f（z）∈Bα，Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

其中

是絕對常數(shù)，階λ-1 是最佳的.

證明設(shè)f（z）∈Bα，由定理2 可知

其中

易知

是絕對常數(shù).

因?yàn)锽（1，0）=C，所以由定理2 可得如下近于凸函數(shù)C的相鄰兩系數(shù)模之差的估計(jì).

推論2設(shè)f（z）∈C，Dn（λ）由（1）式定義，則對n≥2 有

是絕對常數(shù)，階λ-1 是最佳的.

致謝內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（NJZY18217）和內(nèi)蒙古自治區(qū)高校青年科技英才支持計(jì)劃（NJYT-18 -A14）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.