Lotka-Volterra 競爭模型全局解的存在性

武瑞麗， 李軍燕， 錢小瑞

（四川大學(xué) 錦城學(xué)院，四川 成都611731）

Lotka-Volterra 競爭模型是S -K -T 生物模型的退化形式.S-K-T生物模型最早是由生物學(xué)家Shigesada等［1］于1979 年提出的，他們?yōu)榱搜芯? 種相互競爭的物種在種群內(nèi)部和種群間繁殖壓力下的空間分布情況，給出了一個競爭模型，該模型（S-K-T）具有如下形式

其中，u和v為2 種相互競爭生物物種A 與物種B的種群密度，Ω?R2為有界光滑區(qū)域，代表2種物種的生存區(qū)域，系統(tǒng)參數(shù)ai、bi、ci和di（i=1，2）均為正常數(shù)，d1、d2分別表示物種A和B 的隨機(jī)擴(kuò)散率，a1、a2分別表示物種A和B的固有增長率，b1、c2分別表示物種A和B 的種群內(nèi)部競爭系數(shù)，c1、b2分別表示物種A和B的種群間的競爭系數(shù)，ρ11、ρ22分別表示2 物種種群內(nèi)部的自擴(kuò)散率，ρ12、ρ21表示物種A和B的交叉擴(kuò)散率，即2 種物種之間的繁殖壓力強(qiáng)弱.齊次Neumann邊界條件代表物種在區(qū)域Ω的邊界處與外界無交換，n為單位外法向量.

近來，人們對帶交叉擴(kuò)散項(xiàng)和自擴(kuò)散項(xiàng)的S -K-T模型（1）進(jìn)行了廣泛且深入的研究.在一定的初邊值條件下，文獻(xiàn)［2 -3］得到模型（1）的解是局部存在的，即當(dāng)初始值φ（x），ψ（x）∈W1，p（Ω）（1≤p ＜∞），對T=ε 時，問題（1）存在局部解.隨后，文獻(xiàn)［4 -5］考慮了問題（1）在一維空間中整體解的存在和唯一性.進(jìn)一步地，文獻(xiàn)［6］證明了在任意n維空間中模型（1）的正平衡解的存在性.此外，文獻(xiàn)［7］證明了當(dāng)ρ11=ρ22=0 時，問題（1）存在全局解.

當(dāng)不考慮自擴(kuò)散項(xiàng)和交叉擴(kuò)散項(xiàng)的情況時，即當(dāng)ρ11=ρ12=ρ21=ρ22=0 時，模型（1）退化為經(jīng)典的Lotka-Volterra競爭模型

模型（2）已經(jīng)被許多學(xué)者所研究，文獻(xiàn)［8］證明了問題（2）不存在非常數(shù)的正穩(wěn)態(tài)解，且當(dāng)t→∞時，問題（2）的非負(fù)解會趨近于常值穩(wěn)態(tài)解.進(jìn)一步，文獻(xiàn)［9］研究了當(dāng)區(qū)域Ω為凸集時問題（2）穩(wěn)態(tài)解的存在性.更多關(guān)于Lotka-Volterra競爭模型的研究結(jié)果可以參見文獻(xiàn)［10-12］.

本文討論了Lotka -Volterra 競爭模型（2）全局解的存在性.運(yùn)用經(jīng)典的Galerkin方法及能量估計(jì)得到Lotka-Volterra競爭模型（2）在空間L2（（0，T），Z）∩L∞（（0，T），Y）中存在全局弱解.此外，還討論了Lotka-Volterra競爭模型（2）相應(yīng)穩(wěn)態(tài)方程解的存在性.由弱連續(xù)算子的銳角原理得到Lotka-Volterra競爭模型（2）的相應(yīng)穩(wěn)態(tài)方程在空間W1，2（Ω，R2）∩X中存在弱解，其中X、Y、Z的定義如（3）式.弱連續(xù)算子的銳角原理是文獻(xiàn)［13］首次提出并運(yùn)用的，該理論具有一般性，可以解決一大類完全非線性偏微分方程解的存在性問題，如文獻(xiàn)［14］運(yùn)用帶時間的弱連續(xù)算子銳角原理（簡稱T -弱連續(xù)算子理論）證明了二維不可壓縮Marangoni問題的全局弱解存在性，更多詳細(xì)內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)［14 -18］.

1 預(yù)備知識及銳角原理

首先，給出一些重要的函數(shù)空間及全局弱解的定義.

令Ω?R2是一個有界開集，Hτ（Ω）（τ =1，2）是通常的Sobolev 空間，其范數(shù)記為‖·‖Hτ.L2（Ω）是Hilbert空間，其范數(shù)記為‖·‖.令X是一個Banach空間，對任意p=（p1，p2，…，pm），pi≥1（1≤i≤m），定義

其中|·|i（1≤i≤m，m≥1）是X上的半范，且

其范數(shù)定義為

而對于p=∞，記

在［0，T］上除零測集外一致有界｝，其范數(shù)定義為

同理，可定義

下面根據(jù)文獻(xiàn)［13］中的定義1.13 給出問題（2）的全局弱解的定義.

定義1.1假設(shè)φ，ψ∈Y，則對任意T＞0，（u，v）稱為問題（2）在（0，T）×Ω 上的全局弱解.若對任意（α，β）∈X和任意t∈（0，T）都有

其次，介紹弱連續(xù)算子的銳角原理.弱連續(xù)算子理論是解決非線性橢圓方程解存在性的有力工具，這里主要介紹弱連續(xù)算子的定義和弱連續(xù)算子的銳角原理，該原理在文獻(xiàn)［18］中首次建立并運(yùn)用.

令X是一個線性空間，X1、X2是X在各自范數(shù)下的完備化，令X2是自反Banach 空間，X1是可分Banach空間.X1*是X1的對偶空間，且X?X2.

又假設(shè)存在一個線性映射L滿足L：X→X1是一對一且稠密的線性算子.

下面，給出弱連續(xù)算子的定義.

2 主要結(jié)果

首先，給出問題（2）解的全局存在性結(jié)果，并運(yùn)用經(jīng)典的Galerkin方法證明該定理.

定理2.1令初值（φ（x），ψ（x））∈Y，則問題（2）存在全局弱解

證明根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin方法，令是Z和Y的公共正交基.記

則Zk是Z的子空間，Pk：Z→Zk是相應(yīng)的正交投影.

方程（2）的近似解具有如下形式：

這里是依據(jù)Stokes算子的特征函數(shù)展開的，其中系數(shù)cik和dik可通過uk和vk滿足的如下方程解出

其中a=max｛a1，a2｝.

注意到：

結(jié)合（13）-（15）式及Gronwall不等式，可得：

不等式（16）-（18）意味著近似解（uk，vk）是全局存在的，并且（uk，vk）在L2（（0，T），Z）∩L∞（（0，T），Y）中對任意0 ＜T＜∞是有界的.因此，存在（uk，vk）∈L2（（0，T），Z）∩L∞（（0，T），Y）及子序列.為了方便，這里仍記為｛（uk，vk）｝，使得

只需證明（20）式右邊的每一項(xiàng)都是一致有界的.

對任意h（0 ＜h＜1）和（α，β）∈X，易知：

因此，根據(jù)（20）-（25）式可得

其中，C是與k無關(guān)的常數(shù)，則對任意固定i，cik關(guān)于t∈［0，T］是一致有界且等度連續(xù)的.根據(jù)Arzela -Ascoli定理可知

因而有

類似地，對任意β∈X有

根據(jù)引理1.2，并結(jié)合（27）和（28）式很容易知，在L2（（0，T）×Ω）中有

從而定理得證.

下面，給出穩(wěn)態(tài)方程解的存在性.與問題（2）相對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程為

關(guān)于方程（30）的弱解定義如下.

定義2.1如果對任意（α，β）∈X1，（u，v）∈Z滿足下面等式

則稱（u，v）是方程（30）的弱解.

根據(jù)弱連續(xù)算子的銳角原理知，問題（30）有如下存在性定理.

定理2.2令Ω?R2足夠光滑，問題（30）存在弱解（u，v）∈Z=W1，2（Ω，R2）∩X.

證明首先，定義映射為如下內(nèi)積形式

對任意Φ =（u，v）∈Z，Ψ =（α，β）∈X1，也即（32）式定義了一個空間X1上的線性泛函另外，線性映射L可取為

這里I是包含映射.

其次，驗(yàn)證銳角條件（4）.由（32）式知，對任意Φ∈X有

其中，d= min｛d1，d2｝，a= max｛a1，a2｝.又結(jié)合Poincáre不等式知，取d足夠大，有

Φn→Φ0于Lp（Ω，R2）中， ?1 ≤p ＜∞.因此，（34）式顯然成立.定理得證.