Dashnic-Zusmanovich 矩陣的線性互補(bǔ)問題解的含參誤差界

王芝鳳， 李朝遷

（云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昆明650500）

1 預(yù)備知識(shí)

線性互補(bǔ)問題為尋求向量x∈R滿足：

其中，矩陣M∈Rn×n，向量q∈Rn，記為LCP（M，q），其不僅在運(yùn)籌學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)上具有重要應(yīng)用，還在金融學(xué)和工程中也有廣泛應(yīng)用，如空間價(jià)格平衡問題、最優(yōu)控制問題、障礙和自由邊界問題等［1-3］.

眾所周知，當(dāng)矩陣M為P-矩陣時(shí)，LCP（M，q）存在唯一解.Chen等在文獻(xiàn)［1］中給出了關(guān)于P -矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界估計(jì)式

x*是線性互補(bǔ)問題的解，I是n階單位矩陣，D是正對(duì)角矩陣且其主對(duì)角元di∈［0，1］，i∈N =｛1，2，…，n｝，r（x）=min｛x，Mx+q｝，即取分量x與Mx+q最小.由于（1）式中的（I-D+DM）-1不易求得，許多學(xué)者針對(duì)（1）式中矩陣M是特殊結(jié)構(gòu)矩陣且是P-矩陣時(shí)，給出了對(duì)應(yīng)的誤差界估計(jì)式，如B -矩陣［4］、DB-矩陣［5］、Nekrasov -矩陣［6］，以及H -矩陣的一些子類矩陣（要求其對(duì)角元均為正）.

本文主要討論P(yáng)-矩陣的子類矩陣、Dashnic -Zusmanovich矩陣的線性互補(bǔ)問題，給出其含參數(shù)的誤差界估計(jì)式，并借助以該參數(shù)為函數(shù)的單調(diào)性，在給定的條件下討論其最優(yōu)值.

定義1.1［7］設(shè)A=（aij）∈Cn×n，若存在j0∈N，使得

定理1.5［10］若矩陣A=（aij）∈Rn×n為H -矩陣且其主對(duì)角元均為正，且

max（Λ，I）=diag（max｛a11，1｝，…，max｛ann，1｝），則

2 DZ-矩陣的含參線性互補(bǔ)誤差界

應(yīng)用引理1.3 和1.4 給出DZ -矩陣線性互補(bǔ)問題含參誤差界.

命題2.1若矩陣A為DZ-矩陣，則存在正對(duì)角矩陣

證明因AW是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，由d∈［0，1］n，（I-D+DA）W=W-DW+DAW，知（I-D+DA）W是主對(duì)角元均為正的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，且

3 數(shù)值例子

例1考慮DZ-矩陣

進(jìn)一步，應(yīng)用MATLAB 代碼“fori=1∶ 1 000；D=diag（rand（4，1））；end”隨機(jī)選取1 000 個(gè)矩陣D，并計(jì)算‖（I-D+DA）-1‖∞的值，如圖1 所示.顯然，其都小于最優(yōu)值1.266 7.

圖1 例1 隨機(jī)取1 000 個(gè)矩陣D下的‖（I-D+DA）-1‖∞的值Fig. 1 Values of ‖（I-D+DA）-1‖∞for the first 1 000 matrices D in Example 1

例2 考慮DZ-矩陣

由定理1.5 中（3）式計(jì)算得

應(yīng)用定理2.3 中（iii）得

上述數(shù)值算例表明本文的結(jié)果在某些情況下較文獻(xiàn)［10］中定理2.4（定理1.5中（3）式）更加優(yōu)越.值得注意的是本文僅針對(duì)β ≥1 的條件討論了inff1（ε）、inff2（ε）的值，但對(duì)于β ＜1條件下DZ-矩陣線性互補(bǔ)問題所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值問題仍有待于研究.

致謝云南大學(xué)“青年英才培育計(jì)劃”項(xiàng)目對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.