淺談大學數(shù)學中的哲學思想

謝婉秋

（陸軍步兵學院 江西·南昌 330100）

哲學是人們對自然知識、社會知識和思維知識的概括與總結(jié)，是研究整個物質(zhì)世界普遍本質(zhì)及規(guī)律的科學。哲學是包羅萬象的科學之母，是人類認識世界的先導，是對未知領域的思考與探索，而數(shù)學是認識世界的準備工具，它是以客觀世界的空間形式、數(shù)量關系以及結(jié)構(gòu)關系為主要研究對象的一門具體的科學，數(shù)學概念、思想、方法和成果都在科學發(fā)展中具有十分重要的影響，而且數(shù)學已經(jīng)廣泛的滲透到了科學知識的各個領域。在高等教育中，數(shù)學是最普遍也是最重要的基礎課程，更是其他理工科教育教學的基本工具，那么在理工科的教育教學中，數(shù)學教育的重要性不言而喻。

數(shù)學家兼哲學家波爾達斯認為：“沒有數(shù)學，無法看透哲學的深度，沒有哲學，也無法探知數(shù)學的深度”，深刻地揭示了數(shù)學與哲學相互依賴的關系。歷史上眾多知名的數(shù)學家也是哲學家，如：古希臘的泰勒斯，畢達哥拉斯，法國的笛卡爾，德國的萊布尼茨等，他們研究數(shù)學的同時也在研究哲學。哲學作為世界觀和方法論，對數(shù)學發(fā)展具有指導和推動作用，反之，數(shù)學也始終影響著哲學，有積極的，也有消極的，并以積極的成果推動著哲學的發(fā)展。

高等數(shù)學、線性代數(shù)是大學數(shù)學類課程的重要基礎課，屬于自然科學，但其中蘊涵著豐富的哲學思想。新時代背景下，國家積極倡導課程思政的育人功能，課程思政旨在充分挖掘各類課程中的思想政治教育元素，而哲學作為融入思政元素的重要切入點，如果在實踐教學中，教師能夠充分挖掘出課程中的哲學思想，用哲學的思想和認識來指導實踐教學，不僅可以強化學生的思辨能力，提高學生的哲學素養(yǎng)，還可以使學生從哲學角度來認識數(shù)學、感悟數(shù)學。

1 變與不變

蘇軾曾云：“蓋將自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也”，他從哲學中變與不變的角度來感慨人生。數(shù)學與哲學有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學中處處彰顯變與不變的矛盾統(tǒng)一，在變化中抓住不變的量，挖掘其不變的本質(zhì)才是根本。

大學數(shù)學中變與不變的思想隨處可見，高等數(shù)學中，導數(shù)的定義的形式具有多樣性，但本質(zhì)上都是增量比的極限；在計算極限時，等價無窮小的替換是一種常用手段，形式上用簡單冪函數(shù)等價替換原本復雜函數(shù)，但極限的結(jié)果保持不變；在計算全微分時，無論和是自變量還是中間變量，由全微分形式的不變性可知，全微分總可以表示成固定的形式；在計算線面積分時，由積分與路徑無關可知，選擇簡單的路徑替代原本復雜的路徑，積分結(jié)果不變。線性代數(shù)中，對行列式作初等變換，其值不變；對矩陣作初等變換，其秩不變；對向量組作初等變換，其秩以及線性表示關系不變；對矩陣作相似變換，其行列式、特征值、跡以及秩不變；對矩陣作合同變換，其秩與對稱性不變；對二次型作標準變換，其正、負慣性指數(shù)不變。

在大學數(shù)學的教學中，有意識地培養(yǎng)學生以不變應萬變能力，學會面對錯綜復雜的問題時，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從千變?nèi)f化中尋找不變規(guī)律，感受數(shù)學萬變不離其宗之真諦。

2 量變與質(zhì)變

辯證唯物主義認為，事物具有質(zhì)和量兩種狀態(tài)，是質(zhì)變和量變的統(tǒng)一體。量變與質(zhì)變是一對辯證的關系，數(shù)學研究就是從量的關系方面去把握事物的質(zhì)及其變化的規(guī)律。

在大學數(shù)學中，許多研究對象都與某些量密切相關，當這些量發(fā)生變化時，隨著量的積累，特別是達到一定程度時，就會產(chǎn)生質(zhì)的改變。高等數(shù)學中，很多運算法則及性質(zhì)都是建立在有限個前提下，推廣到無限個未必成立，如無窮小量的運算法則、極限的運算法則、函數(shù)的求導法則以及積分的性質(zhì)；同時依據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性以及極值也體現(xiàn)了量變與質(zhì)變的辯證關系。線性代數(shù)中，根據(jù)行列式的值是否為零來判斷矩陣的可逆性；根據(jù)行列式的值是否為零來判斷向量組的線性相關性；根據(jù)方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來判斷方程組是否有解；根據(jù)二次型矩陣的特征值來判斷二次型是否正定，以上數(shù)學實例都是“以量定質(zhì)”的具體體現(xiàn)。

在大學數(shù)學的教學中，教師要善于引導學生發(fā)現(xiàn)引起質(zhì)變的各種影響因素，通過分析諸因素對質(zhì)變的影響程度，發(fā)現(xiàn)達到臨界時需要滿足的條件，還可以進一步把臨界值精確化，這樣的話，我們發(fā)現(xiàn)在實踐應用中，如果想要保持某種狀態(tài)，只需要把量控制在臨界值的范圍之內(nèi)即可，這其實也是數(shù)學上的分類討論的思想的體現(xiàn)。因何導致量變，量變何時產(chǎn)生質(zhì)變，深度挖掘影響量變的根本，讓學生在教育教學全過程中感受數(shù)學與哲學雙重思想，更高效的達到教學目的。

3 對立與統(tǒng)一

對立統(tǒng)一是事物存在的方式，它揭示出自然界、人類社會和人的思想中任何事物內(nèi)部都是矛盾的統(tǒng)一體，矛盾雙方相互排斥，又相互關聯(lián)，推動著事物的變化和發(fā)展。眾多哲學范疇都蘊含著對立與統(tǒng)一規(guī)律，下面針對其中比較重要的幾對哲學范疇舉例闡述。

3.1 特殊與一般

從認識論的角度來看，從特殊問題探索一般規(guī)律是人認識事物遵循的一般規(guī)律，由淺入深，由易到難，更容易加深理解，提高學習的境界。

在大學數(shù)學的教學過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)處處滲透著從特殊到一般的思想，高等數(shù)學中，一方面體現(xiàn)在公式的推導過程中，如求函數(shù)高階導數(shù)的公式—萊布尼茨公式、初等函數(shù)的麥克勞林公式，以上都是利用數(shù)學歸納法，通過低階導數(shù)找到一般規(guī)律，從而得到最終結(jié)論；再比如微分中值定理—羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的研究過程、格林公式到斯托克斯公式的研究過程，充分體現(xiàn)了從特殊到一般的過程，也是認識逐漸加深的過程。另一方面體現(xiàn)在解決計算問題時，常把一般的難求的轉(zhuǎn)化為已知的易求的，如求一般高階導數(shù)時利用萊布尼茨公式轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的高階導數(shù)的運算；一般級數(shù)的斂散性的判別可以通過加絕對值的形式轉(zhuǎn)化為討論正項級數(shù)的斂散性；計算重積分與線面積分時轉(zhuǎn)化為定積分；計算非齊次線性微分方程的通解時，轉(zhuǎn)化為先求對應的齊次線性微分方程的通解；計算多元函數(shù)的極限時，常利用變量代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來討論，體現(xiàn)了一般與特殊之間相互轉(zhuǎn)化的思想。

線性代數(shù)中，許多問題的分析和解決都遵循從特殊到一般的規(guī)律，一方面體現(xiàn)在概念建立的過程中，如由二、三階行列式得到階行列式的定義；由兩個、三個向量構(gòu)成的向量組的線性相關性得到個向量構(gòu)成的向量組的線性相關性的概念；另一方面體現(xiàn)在解決問題時，如將矩陣化為分塊對角矩陣，計算矩陣的逆與高次冪；將矩陣化為階梯形矩陣，得到矩陣的秩與向量組的最大無關組；將矩陣化為行最簡形矩陣，得到向量組具體的線性表示關系；利用正交變換或配方法將二次型化為標準型，求變換矩陣。

3.2 有限與無限

有限與無限是一對內(nèi)涵極為豐富和深刻的哲學范疇，二者之間的關系是辯證的，是對立統(tǒng)一的。無限由有限組成，無法脫離有限而孤立看待無限，無限可以通過有限的形式表示出來，而有限又蘊含著無限的思想。

高等數(shù)學中，常數(shù)項級數(shù)的和可以用部分和的極限表示；函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)可以用部分和函數(shù)的極限表示；反常積分可以用定積分的極限表示，以上都是借助極限的形式將無限用有限表示出來；線性代數(shù)中，由基生成向量空間；由基礎解系生成通解的方法，就是由有限生成無限的一種特殊方法，而向量組可以用它的極大無關組表示出來，就是把無限用有限的形式表示出來的具體體現(xiàn)。

3.3 整體與部分

整體與部分是描述客觀事物可分性和統(tǒng)一性的一對哲學范疇，彼此依賴，又互為存在和發(fā)展的前提。

整體與部分的例子在大學數(shù)學中不勝枚舉，高等數(shù)學中，積分概念的建立過程中蘊含著“化整為零，積零為整”的思想；積分的線性性實現(xiàn)了將多個積分與單個積分之間的相互轉(zhuǎn)化；冪級數(shù)的展開將復雜的函數(shù)用簡單的冪級數(shù)逼近，這些都體現(xiàn)了整體與部分之間的相互轉(zhuǎn)化；微積分的基本公式：牛頓—萊布尼茨公式，格林公式，高斯公式都將區(qū)間或區(qū)域內(nèi)部的計算轉(zhuǎn)化為邊界曲線或曲面的計算，刻畫了函數(shù)的總體性質(zhì)和局部性質(zhì)之間的關系；線性代數(shù)中，利用展開定理將行列式降為多個低階行列式，通過計算各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積，得到整個行列式的值；利用分塊法將矩陣化為分塊對角矩陣，通過計算每個小塊對角矩陣的逆或高次冪，得到整個矩陣的逆或高次冪，都是將復雜的整體轉(zhuǎn)化為簡單的局部的研究。

對立統(tǒng)一規(guī)律啟發(fā)學生，用已知去認識未知的事物，用有限去認識無限，再把無限用有限表示出來，系統(tǒng)地學習把復雜問題拆分成幾個簡單問題，再進行剖析，這種也是數(shù)學上常見的化歸思想的體現(xiàn)。在大學數(shù)學的教學中，逐步滲透對立統(tǒng)一的哲學思想，用哲學角度來解釋數(shù)學范圍內(nèi)難以被學生理解的問題，拓寬學生分析問題的角度，強化學生的認識，也訓練了學生的思維能力。

4 結(jié)語

數(shù)學比較突出的三大特點：邏輯的嚴謹性、高度的抽象性與廣泛的應用性，決定了與哲學有著較為密切的關系，在大學數(shù)學教育教學中，應當同當代先進的教育理念相接軌，堅持數(shù)學與哲學相融合，實現(xiàn)學科之間的深層次交流，讓思維更有深度。實踐中，結(jié)合課程教學內(nèi)容的特點，循序漸進地滲透哲學思想，將思想政治教育與專業(yè)知識教育緊密結(jié)合，潛移默化地實現(xiàn)學生高級思維能力的培養(yǎng)，激發(fā)學生自主學習的興趣，提高課堂教學效果，提升學生綜合素質(zhì)。