有趣的斐波那契數(shù)列

華騰飛

這里有一個(gè)有趣的問(wèn)題：有一對(duì)剛出生的兔子，兔子從出生后的第三個(gè)月起每個(gè)月都會(huì)生一對(duì)小兔子，當(dāng)小兔子長(zhǎng)到第三個(gè)月時(shí)，每個(gè)月又會(huì)生一對(duì)小兔子。如果這些兔子都活著的話，第十二個(gè)月時(shí)總共有多少對(duì)兔子？

上面這個(gè)問(wèn)題乍一看比較簡(jiǎn)單，但要想列出算式進(jìn)行計(jì)算，好像又很困難。我們根據(jù)題目所給的條件，一起來(lái)算算。

兔子總數(shù)由兩部分組成：大兔子數(shù)和小兔子數(shù)。當(dāng)月的大兔子數(shù)是上個(gè)月的兔子總數(shù)，因?yàn)椴还苁谴笸米舆€是小兔子，到了下個(gè)月都會(huì)變成大兔子；而當(dāng)月的小兔子數(shù)是上個(gè)月的大兔子數(shù)，因?yàn)樯蟼€(gè)月有多少對(duì)大兔子，下個(gè)月就有多少對(duì)小兔子。據(jù)此可知，上個(gè)月的大兔子數(shù)，總是上上月的兔子總數(shù)，所以當(dāng)月的兔子數(shù)=上個(gè)月的兔子數(shù)+上個(gè)月的大兔子數(shù)，也就等于上個(gè)月的兔子數(shù)+上上月的兔子數(shù)。根據(jù)上述結(jié)論進(jìn)行推算，不難得出：第一個(gè)月、第二個(gè)月、第三個(gè)月……第十二個(gè)月時(shí)分別有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144對(duì)兔子。

大家仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和，把它延續(xù)下去就得到了一個(gè)數(shù)列。人們?yōu)榱思o(jì)念斐波那契的偉大發(fā)現(xiàn)，把這個(gè)數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列之所以偉大，是因?yàn)槠渲刑N(yùn)含著一些非常重要的規(guī)律。

其一，斐波那契數(shù)列中任取連續(xù)三項(xiàng)，它們是兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)。

其二，斐波那契數(shù)列前n項(xiàng)的和是第（ n + 2 ）個(gè)數(shù)減1。例如：在數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144中，前五項(xiàng)的和為12，它剛好等于第七個(gè)數(shù)13減去1。

其四，斐波那契數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)（從第二項(xiàng)起）的差值仍然可以構(gòu)成斐波那契數(shù)列。例如：2-1=1，3-2=1，5-3=2，8-5=3，13-8=5，21-13=8，34-21=13，55-34=21……這些差值構(gòu)成的數(shù)列仍為斐波那契數(shù)列。

其五，斐波那契數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)（從第二項(xiàng)起）的平方和也是斐波那契數(shù)列。

其六，斐波那契數(shù)列第n個(gè)數(shù)是幾，它之后的第n個(gè)數(shù)是該數(shù)的倍數(shù)。例如：斐波那契數(shù)列第三個(gè)數(shù)是2，它之后的第三個(gè)數(shù)是2的倍數(shù)；斐波那契數(shù)列的第四個(gè)數(shù)是3，它之后的第四個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；斐波那契數(shù)列的第五個(gè)數(shù)是5，它之后的第五個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)。

其七，斐波那契數(shù)列中每十個(gè)連續(xù)的數(shù)之和能被11整除，且是第七個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例如：

1+1+ 2 + 3 +5 + 8 +13 + 21+ 34 +55 = 143=11×13；

1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89=231=11×21；

2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 =374 =11×34；

3 + 5 + 8 +13 + 21+ 34 + 55 + 89 +144 + 233=605=11×55；

……

斐波那契數(shù)列中竟然包含了這么多神奇、有趣的規(guī)律，你們肯定感到不可思議吧！