Lowner微分方程與調(diào)和擬共形映射

聶云夢(mèng)，黃華鷹①

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601）

0 引言

設(shè)F(ω,t)∈C2(D,[0,T])，D表示復(fù)平面C上的單連通區(qū)域，t∈[0,T]，T ＞0，對(duì)Lowner微分方程1990年，Reich在文獻(xiàn)［1］中證明以et-擬共形映射ω=f(z,t)為解的Lowner微分方程式（1）中復(fù)值連續(xù)函數(shù)F(ω,t)滿足，同時(shí)證明若F(ω,t)是定義在Δ×[0,T]上的擬共形形變，且存在非負(fù)常數(shù)A，滿足|Fωˉ(ω,t)|≤A，則Lowner 微分方程式（1）存在擬共形映射解. 2011 年，魏華影［2］推廣Reich 的結(jié)果，證明如果F(ω,t)是定義在Δ×[0,T]上的擬共形形變，且存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)A(t)，滿足|Fωˉ(ω,t)|≤A(t)，則方程（1）的解是-擬共形映射，進(jìn)一步證明了解ω=f(x,t)是R→R的擬對(duì)稱同胚，當(dāng)且僅當(dāng)F(ω,t)滿足

對(duì)任意的ω∈R，h＞0 成立，其中R是實(shí)軸，F(xiàn)(t)是關(guān)于t的非負(fù)連續(xù)函數(shù). 并且對(duì)于單位圓周Γ上的情形，文獻(xiàn)［2］也給出類似的結(jié)果. 對(duì)于Lowner微分方程（1）在擬共形映射和擬對(duì)稱同胚的參數(shù)表示中的具體研究可參考文獻(xiàn)［3-9］等.

本文將考慮一類特殊的擬共形映射—調(diào)和擬共形映射. 1968 年，Martio［10］提出這一類函數(shù)，隨后，Partyka和Sakanf分別在文獻(xiàn)［11-12］中給出關(guān)于調(diào)和擬共形映射的更多例子和性質(zhì). 特別地，Kalaj等［13］給出任一上半平面H上的調(diào)和擬共形映射f(z)，其中z=x+iy∈H，具有唯一的表示形式：

其中：u(x,y)為實(shí)值調(diào)和函數(shù)，c為固定常數(shù).

本文將結(jié)合這一類調(diào)和擬共形映射與Lowner微分方程，考慮以下問(wèn)題：具有一族上半平面的調(diào)和同胚（或調(diào)和擬共形映射）解的Lowner微分方程，F(xiàn)(ω,t)滿足什么條件？

本文主要給出2個(gè)定理.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出一些基本概念.

定義1.1［14］設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是平面區(qū)域D?C內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)的復(fù)值函數(shù)，即f(z)∈C2(D)，z=x+iy∈D， 若f(z)的拉普拉斯算子

設(shè)f(z)是平面單連通區(qū)域D上的調(diào)和映射，則f(z)具有如下形式

其中g(shù)(z),h(z)是平面區(qū)域D內(nèi)的全純函數(shù)，且其冪級(jí)數(shù)形式可以寫(xiě)成

關(guān)于調(diào)和映射的表示形式可參考文獻(xiàn)［14］.

由Lewy 定理可知，函數(shù)f(z) 在平面區(qū)域D上局部單葉當(dāng)且僅當(dāng)f(z) 的Jacobian 行列式Jf=|fz|2-|fzˉ|2≠0.

若Jf ＞0，則稱f(z)是區(qū)域D上的保向映射.

如果g(z),h(z)是平面區(qū)域D內(nèi)的全純函數(shù)，則關(guān)于z的偏導(dǎo)數(shù)gz(z),hz(z)可寫(xiě)成g′(z),h′(z).

定義1.2［15］復(fù)值連續(xù)函數(shù)F∈C2(D)在平面區(qū)域D內(nèi)有廣義偏導(dǎo)數(shù)Fzˉ，且Fzˉ∈L∞(D)，則稱F是區(qū)域D內(nèi)的擬共形形變. 其中L∞(D)是指在平面區(qū)域D上本性有界函數(shù)全體.

擬共形映射定義有多種形式，本文利用以下分析定義.

定義1.3［16］設(shè)f(z):D→D′是區(qū)域D到區(qū)域D′的保向同胚，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)線段上幾乎處處絕對(duì)連續(xù)，且存在常數(shù)K≥1，使得不等式

對(duì)幾乎處處z∈D都成立，則稱f(z)是K-擬共形映射. 特別地，當(dāng)K=1時(shí)，f(z)為共形映射.

由擬共形映射的分析定義可知，K-擬共形映射ω=f(z)滿足如下的Beltrami方程

2004年，Duren［14］證明，若ω=f(z)是平面區(qū)域D內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)的同胚映射，則f是調(diào)和函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f的第二復(fù)伸張νf在區(qū)域D內(nèi)是全純函數(shù).

2 主要結(jié)果

首先給出存在調(diào)和同胚解的Lowner方程所需的必要條件.

定理2.1設(shè)F(ω,t)∈C2(H,[0,T])，若Lowner 微分方程（1）的解ω=f(z,t)在H×[0,T]是一族調(diào)和同胚，則對(duì)任一t∈[0,T],F(ω,t)滿足

證明對(duì)任一t∈[0,T]，由于ω=f(z,t)是上半平面H到復(fù)平面C內(nèi)的調(diào)和同胚，在上半平面H上存在全純函數(shù)g(z,t)和h(z,t)，使得ω=f(z,t)=g(z,t)+h(z,t)，并且fzzˉ(z,t)=0.

因此，具有一族調(diào)和同胚解的Lowner方程族必滿足上述條件.

推論2.1設(shè)F(ω,t)∈C2(H,[0,T])，Lowner 微分方程（1）的解ω=f(z,t)是H×[0,T]上的一族調(diào)和同胚，則F(ω,0)是上半平面H的調(diào)和映射.

證明由于ω=f(z,t)是上半平面H內(nèi)的一族調(diào)和同胚，則存在H×[0,T]內(nèi)的全純函數(shù)族g(z,t)，h(z,t)，使得

又ω=f(z,0)=z，則

當(dāng)t=0 時(shí)，ω=f(z,t)的第二復(fù)伸張

由式（3）知，νf(z,0)=0.結(jié)合定理2.1中式（2）知，F(xiàn)ωωˉ(ω,0)=0,因此F(ω,0)在上半平面內(nèi)是調(diào)和映射.

一個(gè)自然的問(wèn)題是，具有調(diào)和擬共形映射解的Lowner方程中復(fù)值連續(xù)函數(shù)F(ω,t)是否為調(diào)和映射？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，一般調(diào)和擬共形映射來(lái)說(shuō)是難于研究的. 本文中，考慮上半平面內(nèi)形如ω=f(z,t)=u(x,y,t)+iy的調(diào)和擬共形映射，以這一族調(diào)和擬共形映射為解的Lowner方程，其F(ω,t)也是一族調(diào)和映射.

引理2.1設(shè)f(z,t)=u(z,t)+iv(z,t)是定義在上半平面H×[0,T]內(nèi)的一族C1類K(t)-擬共形映射，K(t)是大于或等于1 且只依賴于t的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，若v(z,t)=c(t)y，其中c(t)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意t∈[0,T]，f(z,t)均是上半平面H內(nèi)的滿射且是bi-Lipschitz的.

證明因?yàn)閒(z,t)=u(z,t)+iv(z,t)是一族C1類擬共形映射，則對(duì)任意t∈[0,T]，下列不等式成立：

其中：Jf(z,t)是f(z,t)的Jacobian行列式，K(t)是大于1且只依賴于t的非負(fù)連續(xù)函數(shù).

另一方面，對(duì)f(z,t)=u(z,t)+iv(z,t)分別關(guān)于求偏導(dǎo)得到

其中：ux(z,t),uy(z,t)分別是u(z,t)的偏導(dǎo)數(shù)z=x+iy∈H. 將fz(z,t),fzˉ(z,t)分別代入式（4）得到下列不等式：

顯然，由式（5）可以看出

從而得到

即

又K(t),c(t)均在閉區(qū)間[0，T]內(nèi)是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，從而K(t),c(t)在閉區(qū)間[0，T]內(nèi)必一致有界，由上述不等式（6）和（7）可得，u(z,t)的偏導(dǎo)數(shù)ux(z,t),uy(z,t)在閉區(qū)間[0，T]內(nèi)也是一致有界的，即存在非負(fù)常數(shù)M，使得

再由不等式（6）知，ux(z,t)＞0，(z,t)∈H×[0,T].

由v(z,t)=c(t)y與不等式（8）式可知，Jf(z,t)≠0，從而對(duì)任意t∈[0,T]，f(z,t)均是滿的，且f(z,t)滿足Lipschitz 條件. 又因?yàn)閿M共形映射的逆也是擬共形映射，可知，f-1(z,t)也滿足Lipschitz 條件，即f(z,t)在H內(nèi)是bi-Lipschitz的.

定理2.2設(shè)F(ω,t)∈C2(H,[0,T]) ，若Lowner 微分方程（1）在上半平面H×[0,T]內(nèi)存在一族形如ω=f(z,t)=u(x,y,t)+iy的K(t)-調(diào)和擬共形映射解，則F(ω,t)在上半平面H內(nèi)是一族調(diào)和映射，其中u(x,y,t)是一族連續(xù)依賴于t的上半平面H內(nèi)的實(shí)值調(diào)和函數(shù)，且滿足初始條件u(x,y,0)=x，K(t)(≥1)是非負(fù)連續(xù)函數(shù). 特別地，若u(z,t)∈C2(H,[0,T])，則F(ω,t)是上半平面H內(nèi)的調(diào)和擬共形形變.

證明對(duì)任意t∈[0,T]，因?yàn)棣?f(z,t)=u(x,y,t)+iy是擬共形映射，則ω=f(z,t)關(guān)于z與zˉ的偏導(dǎo)數(shù)為

其中ux(x,y,t),uy(x,y,t)分別是u(x,y,t)，z=x+iy∈H的偏導(dǎo)數(shù).，顯然當(dāng)t=0 時(shí)，F(xiàn)(ω,0)是調(diào)和映射.

另一方面，對(duì)Lowner 微分方程（1）兩邊分別對(duì)z與zˉ求偏導(dǎo)，得到

把fz(z,t),fzˉ(z,t)分別代入上述兩個(gè)等式的兩端，并化簡(jiǎn)得到

式（9）+式（10）得

式（9）-式（10）得

把式（11）代入上式得

結(jié)合式（11）和式（12）得

從式（13）（14）可看出Fω(ω,t)與Fωˉ(ω,t)互為共軛，即又因?yàn)镕(ω,t)∈C2(H,[0,T])，所以F(ω,t)在H×[0,T]內(nèi)的第二復(fù)伸張即F(ω,t)的第二復(fù)伸張νF(ω,t)在H×[0,T]內(nèi)為全純函數(shù). 因此，對(duì)任意t∈[0,T]，函數(shù)F(ω,t)在H內(nèi)是調(diào)和的.

另一方面，由式（14）知

又因?yàn)棣?f(z,t)=u(x,y,t)+iy是K(t)-調(diào)和擬共形映射，由引理2.1 的證明過(guò)程知，存在非負(fù)常數(shù)M，且M ＞1，使得對(duì)所有的t∈[0,T]，

特別地，由u(z,t)∈C2(H,[0,T])可知，對(duì)任意的z=x+iy∈H，ux(x,y,t),uy(x,y,t)關(guān)于t∈[0,T]分別是一階連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，于是得到在閉區(qū)間[0，T]內(nèi)一致有界，即存在非負(fù)常數(shù)N，L，使得對(duì)所有的t∈[0,T]，均有

將不等式（16）（17）分別代入式（15）得到

記Q=MN+M2N+L，則|Fωˉ(ω,t)|≤Q2，于是得到，若u(z,t)∈C2(H,[0,T])，F(xiàn)(ω,t)是上半平面H內(nèi)的調(diào)和擬共形形變.