大學(xué)生對(duì)麥克斯韋方程組的理解研究

劉文莉 包 芯 章 越 申亞琴

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875)

麥克斯韋方程組完整地概括了電磁場的基本規(guī)律，其在電磁學(xué)中的地位如同牛頓運(yùn)動(dòng)定律在力學(xué)中的地位，以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一，它所揭示出電磁相互作用的完美統(tǒng)一，并被廣泛地應(yīng)用于技術(shù)領(lǐng)域.物理與日常生活息息相關(guān)，從日常生活中學(xué)生能夠得到對(duì)物理現(xiàn)象或問題的理解，其中有些理解是正確的，而有些理解則是片面的、不完整的，有些甚至是完全違背科學(xué)觀念的，研究者把這些完全違背科學(xué)知識(shí)的理解稱為錯(cuò)誤概念，而錯(cuò)誤概念具有廣泛性、自發(fā)性、頑固性和負(fù)遷移性，在傳統(tǒng)課堂教學(xué)下，無論物理專業(yè)還是非物理專業(yè)，都有部分學(xué)生對(duì)麥克斯韋方程組存在誤解，可能導(dǎo)致對(duì)其應(yīng)用的困難，教師在教學(xué)過程中應(yīng)采取有針對(duì)性的教學(xué)措施，及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤概念，提高課堂教學(xué)效果.

1 麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組由高斯定理、法拉第定律(環(huán)路定理)、磁場的高斯定理和安培環(huán)路定理4式組成.

(1)

(2)

(3)

(4)

麥克斯韋方程組有積分和微分兩種表達(dá)形式，積分形式側(cè)重于使用間接的量——如電位移通量、磁通量、自由電荷代數(shù)和、電場的環(huán)量、電流強(qiáng)度等對(duì)電磁場整體性質(zhì)的描述；而微分形式利用數(shù)學(xué)的高斯定理和斯托克斯公式，引入旋度和散度的概念，從而表達(dá)出場中任意點(diǎn)的電磁量與領(lǐng)域點(diǎn)電磁量的時(shí)空關(guān)聯(lián).

式(1)為靜電場的高斯定理.描述電場與空間中電荷分布關(guān)系，表示靜電場是一個(gè)有源場，靜電場中任意閉合曲面的電位移通量等于該曲面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和.

式(2)為環(huán)路定理(也稱法拉第定律).靜電場沿任一閉合曲線的環(huán)流為零,表示靜電場是一個(gè)勢場；同時(shí)這個(gè)式子也體現(xiàn)了變化的磁場能夠產(chǎn)生電場，感生電場方向的判定遵從楞次定律.

式(3)為磁場的高斯定理，磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)任一閉合曲面的通量為零，表示磁場是一個(gè)無源場，不存在磁單極子，磁感線閉合.

式(4)為安培環(huán)路定理，闡明磁場可由兩種方法生成：一種是靠傳導(dǎo)電流(安培定律)，另一種是靠時(shí)變電場，或稱位移電流(麥克斯韋修正項(xiàng))，說明磁場是渦旋場.

麥?zhǔn)戏匠探M描述了場源(ρ和J)如何影響電磁場的演化，電場和磁場的互相激發(fā)，電磁場也會(huì)按洛倫茲力對(duì)場源施加作用.滿足麥?zhǔn)戏匠探M的兩個(gè)四元函數(shù)E(x,y,z,t),B(x,y,z,t)構(gòu)成電磁波，以光速向外傳播信息和能量.

2 研究設(shè)計(jì)

本研究樣本為北京某高校125名物理學(xué)專業(yè)大一本科生.課堂教學(xué)中使用PI教學(xué)法，收集學(xué)生關(guān)于電場和磁場認(rèn)識(shí)的概念測試題(問題1)的討論錄音，并對(duì)錄音進(jìn)行轉(zhuǎn)錄，分析學(xué)生外顯的錯(cuò)誤概念.

問題1:如圖1所示，電容器在被一個(gè)恒定電流I充電的過程中，在電容器中的P點(diǎn)

(1)有穩(wěn)恒電場

(2)有變化的電場

(3)有穩(wěn)恒磁場

(4)有變化的磁場

(5)有變化的電場和不變的磁場

(6)有變化的磁場和不變的電場

(7)以上都不對(duì)

其次，在電磁學(xué)課程結(jié)束的時(shí)候設(shè)置開放性問題(問題2)讓學(xué)生進(jìn)行書面回答，從方程書寫正確與否及對(duì)電磁場的認(rèn)識(shí)兩方面對(duì)125份答卷進(jìn)行分析，并將學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和歸類.

問題2:寫出麥克斯韋方程組，并依此談一談你對(duì)電磁場的認(rèn)識(shí).

綜合分析學(xué)生在問題1和問題2中出現(xiàn)的錯(cuò)誤概念，提高研究結(jié)果的信度.

3 研究結(jié)果

3.1 學(xué)生對(duì)問題1的課堂討論

研究樣本共33組，每組3～4人，其中30組經(jīng)過討論得到了正確的結(jié)果，也給出了正確的解釋，找出學(xué)生討論過程中外顯的錯(cuò)誤概念并進(jìn)行分類，主要存在以下3類,如表1所示.

3.2 麥克斯韋方程組公式的書寫

大部分學(xué)生能夠完整、正確寫出方程組，但是細(xì)節(jié)方面錯(cuò)誤很多，主要存在5類錯(cuò)誤，具體如表2所示.

研究還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在書寫真空中的麥克斯韋方程組積分形式出現(xiàn)錯(cuò)誤的次數(shù)遠(yuǎn)高于其他形式.

3.3 基于麥克斯韋方程組對(duì)電磁場的認(rèn)識(shí)

在問題2回答對(duì)電磁場認(rèn)識(shí)的時(shí)候，大部分學(xué)生能從電磁場相互聯(lián)系、相互激發(fā)等方面解釋，也有少數(shù)學(xué)生提到對(duì)稱性、電磁張量的統(tǒng)一性等重要內(nèi)容；但也普遍存在很多問題，如表述不夠準(zhǔn)確導(dǎo)致歧義，簡單“讀”方程等.總體來看學(xué)生對(duì)電磁場的認(rèn)識(shí)主要存在以下幾種錯(cuò)誤概念.

(1)對(duì)電場和磁場的相互關(guān)系理解有誤.學(xué)生回答中最常見的錯(cuò)誤表述是“變化的電場產(chǎn)生變化的磁場，變化的磁場產(chǎn)生變化的電場”“有電場的地方一定有磁場”“感生電流的存在會(huì)有電場產(chǎn)生”.而根據(jù)麥?zhǔn)戏匠探M式(2)(環(huán)路定理)和式(4)(安培環(huán)路定理)可知，感生電場由變化的磁場產(chǎn)生，同時(shí)變化的電場也可以產(chǎn)生磁場，由此產(chǎn)生的電場和磁場是否恒定則由原磁場和原電場的時(shí)間變化率決定，變化率恒定則產(chǎn)生恒定場，變化率不恒定時(shí)產(chǎn)生的場是和變化率一樣隨時(shí)間變化的，此時(shí)，“變化的磁場產(chǎn)生變化的電場，變化的電場產(chǎn)生變化的磁場”又是正確的，因此，不能一概而論.

(2)對(duì)電場和磁場的不恰當(dāng)類比.由于電場和磁場在很多方面的相似性，學(xué)生容易將靜電場中學(xué)到的知識(shí)簡單地遷移到磁場中，造成對(duì)磁場的理解有誤，如靜電場是無旋的，靜磁場是無源的.除此之外有學(xué)生認(rèn)為變化的磁場(電場)能產(chǎn)生電場(磁場)，因此簡單認(rèn)為電場和磁場“是同一種物質(zhì)”，或者“是一種物質(zhì)的兩種存在形式”.

對(duì)學(xué)生的討論錄音進(jìn)行分析時(shí)還關(guān)注到，大部分學(xué)生在討論中只是陳述自己的觀點(diǎn)和理解，并沒有進(jìn)行有效交互討論，只有極少數(shù)小組對(duì)組內(nèi)學(xué)生外顯的錯(cuò)誤概念進(jìn)行了針對(duì)性的糾正，所以仍然有學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)和糾正自己理解中存在的錯(cuò)誤，并在問題2中又出現(xiàn)了同樣的錯(cuò)誤.

在討論中出現(xiàn)錯(cuò)誤次數(shù)最多的錯(cuò)誤概念為“變化的電場能夠產(chǎn)生變化的磁場”，對(duì)出現(xiàn)此錯(cuò)誤概念的13位學(xué)生的問題2的書面回答進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中有2位學(xué)生又外顯出類似的錯(cuò)誤(98號(hào)在問題2回答中寫道“電場周圍必定存在磁場”，79號(hào)寫道“磁場也可以激發(fā)電場”)；除此之外有2位學(xué)生在討論中沒有外顯這一錯(cuò)誤，但是在問題2回答中出現(xiàn).由此說明學(xué)生的錯(cuò)誤概念具有頑固性，經(jīng)過課堂教學(xué)后錯(cuò)誤概念并沒有得到改正.

4 結(jié)論

本次研究對(duì)125名學(xué)生的討論和書面回答進(jìn)行分析，總結(jié)出大學(xué)生對(duì)麥克斯韋方程組的理解和應(yīng)用容易出現(xiàn)的6類錯(cuò)誤：方程書寫不規(guī)范(方程書寫中分不清積分符號(hào)、不寫矢量符號(hào))，對(duì)電磁場的相互關(guān)系理解有誤(認(rèn)為變化電場能產(chǎn)生變化的磁場、認(rèn)為變化的磁場能產(chǎn)生電磁波)，將電磁場進(jìn)行不恰當(dāng)類比(認(rèn)為電場和磁場是同一種物質(zhì))，對(duì)平行板間電磁場認(rèn)識(shí)有誤(認(rèn)為平行板間沒有電流通過，使用畢奧薩伐爾定律求解極板間磁場)，不能正確理解位移電流(認(rèn)為位移電流是變化磁場產(chǎn)生的電流、不能理解位移電流在極板間的分布情況)，對(duì)感生電場理解不到位(認(rèn)為電場始終為勢場、對(duì)感生電場方向判斷錯(cuò)誤).

教師在教學(xué)中應(yīng)該充分了解學(xué)生的錯(cuò)誤概念，以此為起點(diǎn)設(shè)計(jì)有針對(duì)性的教學(xué)策略，有效幫助學(xué)生改正錯(cuò)誤概念，提升對(duì)麥克斯韋方程組的理解.