經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模 凸顯概念本質(zhì)
——《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》教材解讀與教學(xué)建議

○劉愛東

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念之一，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)、平均分的意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，是學(xué)生數(shù)概念的一次重要擴(kuò)展。

教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》，重在借助直觀模型，幫助學(xué)生從直觀層面感知、理解分?jǐn)?shù)的基本內(nèi)涵，為進(jìn)一步建立相對(duì)完整、抽象的分?jǐn)?shù)概念積累經(jīng)驗(yàn)、提供支持。準(zhǔn)確理解分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)的內(nèi)容要求，對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、順利完成整數(shù)向分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展、發(fā)展抽象思維能力具有十分重要的意義，同時(shí)也為學(xué)習(xí)小數(shù)做好鋪墊。

一、教材解讀

本單元的教學(xué)內(nèi)容共編排了11個(gè)例題，分三個(gè)部分展開：

第一部分是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，共6個(gè)例題。其中，例1、例2教學(xué)認(rèn)識(shí)幾分之一，并結(jié)合幾分之一的認(rèn)識(shí)，說明分?jǐn)?shù)的寫法和讀法、介紹分?jǐn)?shù)各部分的名稱；例3教學(xué)幾分之一的大小比較；例4、例5教學(xué)認(rèn)識(shí)幾分之幾；例6教學(xué)同分母分?jǐn)?shù)的大小比較，目的在于幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的含義。

第二部分是分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，共3個(gè)例題。其中，例1教學(xué)同分母分?jǐn)?shù)的加法，例2教學(xué)同分母分?jǐn)?shù)的減法，例3教學(xué)1減去幾分之幾。主要是借助直觀操作理解算理、掌握算法，目的也是為了加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解。

第三部分是分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，共2個(gè)例題。其中，例1教學(xué)認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一和幾分之幾，例2教學(xué)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問題。

教材的編排基于小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，分層遞進(jìn)、螺旋上升，把知識(shí)的內(nèi)在邏輯和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律有機(jī)融合，幫助學(xué)生逐步加深對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

1.基于已有經(jīng)驗(yàn)，逐步體會(huì)分?jǐn)?shù)多元表征。

在具體的情境中，分?jǐn)?shù)既可以用來表示一個(gè)具體的“量”，也可以用來表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，即“率”。教材順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，從分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)意義出發(fā)，通過“把一個(gè)整體平均分”的具體操作，幫助學(xué)生有層次地理解分?jǐn)?shù)的含義。

教學(xué)例題前，教材設(shè)計(jì)了“戶外野餐”的情境圖，圖中有許多分?jǐn)?shù)的生活實(shí)例，如蘋果一人半個(gè)、一塊月餅平均分成了2塊、一個(gè)西瓜平均分成了8塊等。一是喚醒學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)，充分感受“平均分”；二是激發(fā)認(rèn)知沖突，凸顯分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中的例1、例2，從學(xué)生平均分物體的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境逐步認(rèn)識(shí)到：把一塊月餅平均分成2份（4份），每份是塊（塊），每份又是這塊月餅的；把一個(gè)圓平均分成3份，一張長(zhǎng)方形紙平均分成5份與此類似。顯然，這里的幾分之一，既表示每份的數(shù)量，也表示每份數(shù)量與相應(yīng)整體數(shù)量之間的關(guān)系。因?yàn)槭前岩粋€(gè)物體或一個(gè)圖形平均分，分?jǐn)?shù)作為“量”與“率”的結(jié)果是相同的，所以學(xué)生無須對(duì)這兩種結(jié)果加以區(qū)分。

“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”中例1第（1）題，引導(dǎo)學(xué)生遷移學(xué)習(xí)幾分之一的經(jīng)驗(yàn)，通過剪一剪的活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)由一個(gè)物體到一組物體的自然過渡。第（2）題直接呈現(xiàn)“把6個(gè)蘋果平均分成3份，1份是蘋果總數(shù)的”，引導(dǎo)學(xué)生在操作中認(rèn)識(shí)到，當(dāng)“把一組物體看成一個(gè)整體”進(jìn)行平均分時(shí)，其中的1份不再表示每份的具體數(shù)量，這里的只是表示每份數(shù)量與相關(guān)整體數(shù)量之間的關(guān)系。安排這2個(gè)例題的目的，是要把分?jǐn)?shù)的“量”與“率”的含義區(qū)分開來，引導(dǎo)學(xué)生真正體會(huì)到，分?jǐn)?shù)經(jīng)常被用來表示部分與整體之間的關(guān)系這一基本內(nèi)涵，從而使原有的認(rèn)識(shí)得到提升。

2.凸顯度量屬性，感受分?jǐn)?shù)單位累加過程。

幾分之幾既可以看成兩個(gè)整數(shù)相除的結(jié)果或兩個(gè)整數(shù)之間的比，也可以看成若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果。比如可以看成由2個(gè)累加的結(jié)果。教材的編排意圖是在學(xué)生認(rèn)識(shí)幾分之一的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們通過單位分?jǐn)?shù)的累加進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾分之幾。這樣不僅有助于學(xué)生在理解幾分之一的基礎(chǔ)上自主類推、理解幾分之幾的含義，而且能為進(jìn)一步探索同分母分?jǐn)?shù)的大小比較、同分母分?jǐn)?shù)加減計(jì)算提供思路和方法。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中的例4，要求“把一張正方形紙折成同樣大的4份，再把1份或幾份涂上顏色”，引導(dǎo)學(xué)生基于直觀逐步類推：每份是它的這樣的2份是2個(gè)，就是它的；這樣的3份是3個(gè)，就是它的。涂幾份就有幾個(gè)，也就是這張紙的四分之幾。例5也是同樣的道理。

“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”例1第（2）題，同樣在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一后，讓學(xué)生借助直觀明確：把6個(gè)蘋果平均分成3份，1份是蘋果總數(shù)的，所以2份是蘋果總數(shù)的這樣的過程安排，符合“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)可以直接累加”的計(jì)數(shù)原理，突出了幾分之一的基礎(chǔ)地位，也突出了幾分之幾是由若干個(gè)相同分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果，有助于培養(yǎng)學(xué)生遷移類推的能力，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.借助幾何直觀，促進(jìn)主動(dòng)探究。

為加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解，教材結(jié)合認(rèn)識(shí)幾分之一和幾分之幾的教學(xué)，穿插安排同分母分?jǐn)?shù)的大小比較、同分母分?jǐn)?shù)加減的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際操作或借助直觀圖形，自主探索、積極思考、提高認(rèn)識(shí)。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中，在教學(xué)幾分之一的初步認(rèn)識(shí)后，緊接著安排例3兩組比大小的活動(dòng)：第一組借助實(shí)物模型教學(xué)，在兩個(gè)同樣大的月餅上切一切，分別表示出再比較它們的大??；第二組借助面積模型教學(xué)，在兩張同樣大的長(zhǎng)方形紙上折一折、涂一涂，表示出再比較它們的大小。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合操作和交流，初步發(fā)現(xiàn)“把同樣大的月餅（紙片）平均分，分的份數(shù)越多，每一份反而越小”。這樣安排，一方面有助于學(xué)生掌握比較幾分之一大小的思考方法，另一方面有助于學(xué)生通過直觀比較分?jǐn)?shù)的大小，進(jìn)一步加深對(duì)分?jǐn)?shù)含義的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)幾分之幾的初步認(rèn)識(shí)后，編排了同分母分?jǐn)?shù)的大小比較和同分母分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算。其中，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中的例6，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察，直觀認(rèn)識(shí)到：因?yàn)楸硎?個(gè)表示3個(gè)，2個(gè)小于3個(gè)，所以小于?！胺?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算”中的例1，引導(dǎo)學(xué)生在“吃西瓜”的現(xiàn)實(shí)問題情景中認(rèn)識(shí)到：2個(gè)加的和是。同樣道理，例2中5個(gè)減去2個(gè)剩下3個(gè)，所以的差是例3直接出示算式，通過圖示，引導(dǎo)學(xué)生理解“1可以看成4個(gè)就是即從4個(gè)中減去1個(gè)，剩下3個(gè)，所以1減的差是。上述的思考過程，依然突出了幾分之幾的基本含義，能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)幾分之幾與相關(guān)分?jǐn)?shù)單位的內(nèi)在聯(lián)系，加深對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解。

4.解決實(shí)際問題，突出分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵。

為幫助學(xué)生更加透徹地理解作為部分與整體關(guān)系的分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，培養(yǎng)解決問題的能力，新教材增加了“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的內(nèi)容。其中例2是解決實(shí)際問題，首先引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系“一個(gè)整體的幾分之一”的已有經(jīng)驗(yàn)，明白“其中是女生”的含義，再借助畫圖操作或?qū)嶋H學(xué)具“分一分”“拿一拿”，進(jìn)而明確：因?yàn)槭桥?，求女生人?shù)就是把12平均分成3份，1份是多少，列式是12÷3=4（人）。例3也是同樣的思路。

二、教學(xué)建議

1.基于學(xué)習(xí)起點(diǎn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

分?jǐn)?shù)概念的建模過程，分為三個(gè)層次。

一是由現(xiàn)實(shí)問題到直觀模型。比如，教學(xué)幾分之一時(shí)，借助教材創(chuàng)設(shè)的分月餅的情境，讓學(xué)生在平均分的操作過程中，產(chǎn)生對(duì)分?jǐn)?shù)的內(nèi)在需求，認(rèn)識(shí)到當(dāng)平均分的結(jié)果不能用學(xué)過的整數(shù)表示時(shí)，為了表示“這塊月餅的一半”，就要引入一種新的數(shù)。然后引導(dǎo)學(xué)生把不同大小的圓形紙片代替餅，在動(dòng)手操作中明確半個(gè)餅是怎么得到的，初步理解二分之一的含義。

二是由直觀模型到數(shù)學(xué)模型。通過交流“這塊月餅的一半是怎么得到的”，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將圖形表征、文字表征和動(dòng)作表征相結(jié)合，抽象概括出再通過分月餅、圓和長(zhǎng)方形紙，分別得出進(jìn)而在尋找相同點(diǎn)的過程中，明確分?jǐn)?shù)的含義、寫法和讀法，抽象概括出分?jǐn)?shù)模型。

2.自主探究規(guī)律，凸顯概念本質(zhì)。

本單元只是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，因此，學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)大小的比較和同分母分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，目的是借助幾何直觀，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的含義。教學(xué)中，我們要以“單位”為主線，凸顯分?jǐn)?shù)的度量屬性。從“單位”的角度看，自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)雖然在表征形式上各不相同，但其本質(zhì)都在于“計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的累加”。

抓住幾分之一這個(gè)“單位”進(jìn)行思考，有利于學(xué)生體會(huì)、感悟幾分之幾是由幾個(gè)幾分之一組成的，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解。教學(xué)中，要讓學(xué)生利用對(duì)幾分之一和幾分之幾的認(rèn)識(shí)，結(jié)合直觀圖形或具體操作，主動(dòng)探索相關(guān)分?jǐn)?shù)的大小比較方法和分?jǐn)?shù)加減的計(jì)算方法，使學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生主動(dòng)參與、充滿思考的實(shí)踐和創(chuàng)新過程。

3.立足分?jǐn)?shù)內(nèi)涵，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

初步理解一個(gè)整體的幾分之一和幾分之幾，是學(xué)生理解分?jǐn)?shù)含義的重要一環(huán)，而把幾個(gè)物體組成的整體，平均分成若干份，用分?jǐn)?shù)表示這樣的一份或幾份，僅僅是指部分與整體之間的關(guān)系，其結(jié)果通常與一份或幾份的實(shí)際數(shù)量在形式上完全不同。因此，教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生根據(jù)相關(guān)分?jǐn)?shù)的含義進(jìn)行思考，幫助他們溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問題的同時(shí)，獲得對(duì)分?jǐn)?shù)含義更為透徹的理解。

比如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”例1，認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一第（1）題時(shí)，可以先用表示一個(gè)正方形的涂色部分，然后用剪刀把這個(gè)正方形平均分成4個(gè)小正方形，再引導(dǎo)學(xué)生思考“涂色部分是4個(gè)小正方形的幾分之幾”，把一個(gè)物體巧妙地拓展為一個(gè)整體進(jìn)行思考。教學(xué)第（2）題時(shí)，可以先讓學(xué)生直接回答問題：“把一盤蘋果平均分給3只小兔，每只小兔分得這盤蘋果的幾分之幾？”引導(dǎo)學(xué)生基于對(duì)一個(gè)物體的幾分之幾的已有認(rèn)識(shí)，得出“每只小兔分得這盤蘋果的的結(jié)論，再出示6個(gè)蘋果組成的集合圈，并提出：“如果這盤蘋果有6個(gè)，你能在圖中表示出這盤蘋果的嗎？”由此明確，一盤蘋果不管有多少個(gè)，只要是把它平均分成了3份，每份用來表示，2份用來表示。教學(xué)例2時(shí)，重點(diǎn)要引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)“其中是女生是男生”這一條件的理解，進(jìn)一步體會(huì)解決這類問題的關(guān)鍵是：抓住分?jǐn)?shù)的含義進(jìn)行思考。

資料存盤

1.《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的第一學(xué)段中提出：初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；發(fā)展數(shù)感。在“課程內(nèi)容”中提出：能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，能讀、寫分?jǐn)?shù)；能比較兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的大??；會(huì)進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)（分母小于10）的加減運(yùn)算。

2.分?jǐn)?shù)的定義。

通常這樣定義分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的一般形式為和n都是正整數(shù)），讀作n分之m。n是把單位“1”平均分成的份數(shù)，稱為該分?jǐn)?shù)的分母；m表示有這樣的幾份，稱為該分?jǐn)?shù)的分子。分?jǐn)?shù)也可定義為：整數(shù)m除以整數(shù)n（n≠0）所得的商。分?jǐn)?shù)還可定義為：整數(shù)m與整數(shù)n（n≠0）的比。

3.分?jǐn)?shù)線和“分?jǐn)?shù)”名稱的由來。

分?jǐn)?shù)線的由來：1175年，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·哈薩首先使用了“分?jǐn)?shù)線”符號(hào)，用一條短線將分子、分母上下隔開。

“分?jǐn)?shù)”名稱的由來：200多年前，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《通用算術(shù)》一書中說：要想把7米長(zhǎng)的一根繩子分成三等份是不可能的，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)合適的數(shù)來表示它，如果我們把它分成三等份，每份是米，像就是一種新的數(shù)，我們把它叫做“分?jǐn)?shù)”。