考慮駕駛儀動態(tài)性能的指令濾波反演制導(dǎo)律

劉佳琪，王偉，*，林德福，林時(shí)堯

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2. 無人機(jī)自主控制技術(shù)北京重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081

伴隨飛行器機(jī)動性、防御性不斷提高，工程上對導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度提出了更高要求。而在實(shí)際應(yīng)用中，制導(dǎo)律往往受到導(dǎo)彈硬件性能約束。同時(shí)，如何準(zhǔn)確獲取目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)也是限制制導(dǎo)律性能的重要因素。因此，在考慮硬件性能及制導(dǎo)信息約束的前提下，設(shè)計(jì)滿足精度需求的制導(dǎo)律具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

多約束條件下的導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)為典型的非線性系統(tǒng)，現(xiàn)有的比例導(dǎo)引方法針對復(fù)雜條件的擴(kuò)展性較差，而反演控制方式適用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)且易于添加約束，因而被廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中[1-3]。實(shí)際工程中，三維有限時(shí)間收斂制導(dǎo)律具有很高的應(yīng)用價(jià)值[4-6]。文獻(xiàn)[7]應(yīng)用了反演設(shè)計(jì)方法和輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了一種三維魯棒非線性導(dǎo)引律，在有限收斂時(shí)間內(nèi)提高了系統(tǒng)的魯棒性。而反演法在對虛擬項(xiàng)求導(dǎo)的過程中會產(chǎn)生極大的計(jì)算量，占用工程中的有限計(jì)算資源，被稱為“微分膨脹”。目前常用的解決這一問題的動態(tài)面控制法將反演法的虛擬控制量通過一階低通濾波器，獲得下一步迭代數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[8-9]將動態(tài)面控制技術(shù)應(yīng)用在導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，消除了“微分膨脹”問題，減少了制導(dǎo)過程計(jì)算量。但動態(tài)面控制制導(dǎo)(Dynamic Surface Control Guidance, DSCG)律對虛擬控制量過濾作用有限。Ramy[10]和Dong[11]等針對反演控制過程中的“微分膨脹”問題提出了一種指令濾波反演方法，在濾波器中加入阻尼和帶寬的限制來過濾虛擬信號。指令濾波反演方法也被應(yīng)用制導(dǎo)控制問題中[12]，文獻(xiàn)[13]在高超聲速飛行器模型上應(yīng)用指令濾波反演控制，驗(yàn)證了其對制導(dǎo)信號的有效跟蹤控制。

在確定控制方法的前提下，充分考慮飛行器其他部分對制導(dǎo)過程的約束對提高實(shí)際制導(dǎo)效果有很大提升[14]。其中自動駕駛儀的動態(tài)特性會對實(shí)際制導(dǎo)控制回路造成較大延遲，在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過程中加入自駕儀環(huán)節(jié)可以有效改善。此外，在追蹤目標(biāo)持續(xù)變向機(jī)動的過程中，實(shí)際額定過載會約束導(dǎo)彈的追蹤性能。文獻(xiàn)[15-16]在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過程中充分考慮了導(dǎo)彈自動駕駛儀的動態(tài)特性，改善了系統(tǒng)的整體性能。Chwa[17]應(yīng)用動態(tài)面方法解決了輸入飽和情況下的控制問題，文獻(xiàn)[18-19]也在考慮輸入飽和的前提下開展了制導(dǎo)控制設(shè)計(jì)工作。文獻(xiàn)[20]以平面內(nèi)彈目運(yùn)動模型為基礎(chǔ)，考慮自駕儀動態(tài)性能設(shè)計(jì)了一種過載指令約束導(dǎo)引律，對指令濾波器在非線性系統(tǒng)控制中的應(yīng)用做出了較為詳盡的解釋。文獻(xiàn)[21]基于指令濾波反推方案，使用已知目標(biāo)狀態(tài)信息設(shè)計(jì)了考慮控制飽和及自駕儀動態(tài)性能問題的三維制導(dǎo)律。

目標(biāo)加速度信息的準(zhǔn)確性對制導(dǎo)精度有很大影響，而在實(shí)際工程應(yīng)用中，目標(biāo)加速度信息往往難以直接獲取并直接運(yùn)用到制導(dǎo)律中。為此本文引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer, ESO)對目標(biāo)加速度進(jìn)行估計(jì)。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對非線性制導(dǎo)律中的未知制導(dǎo)信息具有很好的跟蹤效果[22]。文獻(xiàn)[23]在二維縱向平面的設(shè)計(jì)了二階與一階2個擴(kuò)張狀態(tài)觀測器分別估計(jì)目標(biāo)加速度與目標(biāo)視線角速度信息。文獻(xiàn)[24]則是將由擴(kuò)張狀態(tài)觀測器觀測的目標(biāo)加速度信息應(yīng)用到滑模制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中。實(shí)際制導(dǎo)信息獲取、傳輸過程中，信號噪聲 會對制導(dǎo)律以及加速度信號跟蹤造成影響，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器也應(yīng)具有一定的抗干擾能力。

由上述分析，反演控制方法在制導(dǎo)控制方面有很好的可用性，且約束項(xiàng)也對制導(dǎo)律設(shè)計(jì)提出了實(shí)踐要求。本文以導(dǎo)彈對目標(biāo)精確打擊為背景，通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計(jì)目標(biāo)加速度。相較于現(xiàn)有的DSCG，本文改進(jìn)了濾波器結(jié)構(gòu)，顯著提高了制導(dǎo)精度。較于傳統(tǒng)的有限時(shí)間收斂制導(dǎo)(Finite-Time Convergent Guidance, FTCG)律[25]，本文設(shè)計(jì)的指令濾波反演制導(dǎo)(Command Filter Back-stepping Guidance,CFBG)律，具有更快的收斂速度及更高的精度；同時(shí)增加了自動駕駛儀動態(tài)環(huán)節(jié)和飽和濾波環(huán)節(jié)，使該制導(dǎo)方式更具有工程應(yīng)用價(jià)值。

1 制導(dǎo)模型

導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對位置關(guān)系在圖1的彈目視線坐標(biāo)系中進(jìn)行表示，視線坐標(biāo)系Ox′y′z′由慣性系Oxyz依次繞y軸和z′軸旋轉(zhuǎn)-η、ε的角度得到，慣性系Ox軸同導(dǎo)彈初始速度方向相同。

彈目相對運(yùn)動方程為

(1)

式中：r為導(dǎo)彈與目標(biāo)相對距離；ε和η分別為彈目視線傾角和視線偏角；aTr、aTε和aTη分別目標(biāo)在彈目視線坐標(biāo)系下x′、y′、z′ 3個方向的加速度；aMr、aMε和aMη為導(dǎo)彈在上述3個方向上的加速度。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對位置關(guān)系Fig.1 Relative position of missile and target

(2)

(3)

在對導(dǎo)彈進(jìn)行控制的過程中，制導(dǎo)律計(jì)算出的加速度指令直接輸出給導(dǎo)彈的自動駕駛儀，自動駕駛儀通過調(diào)節(jié)舵或推進(jìn)器來跟蹤加速度指令。因此，導(dǎo)彈最終獲得的加速度相較于加速度指令而言，總存在滯后現(xiàn)象。在應(yīng)用過程中，使用能較好描述自動駕駛儀動力學(xué)特性的二階系統(tǒng)應(yīng)用到制導(dǎo)律模型的建立、設(shè)計(jì)中。自動駕駛儀二階模型為

(4)

式中：aMi為在制導(dǎo)控制過程中實(shí)際獲得的加速度；ui為控制信號；ξ為動力學(xué)環(huán)節(jié)阻尼比；ωn為動力學(xué)環(huán)節(jié)固有頻率。

在實(shí)際應(yīng)用中，如果制導(dǎo)律產(chǎn)生的控制信號不受約束，會將最大的信號輸入到控制系統(tǒng)中。但由于自動駕駛儀的特性以及硬件的限制，并不能對加速度指令進(jìn)行有效的跟蹤。這種情況會產(chǎn)生信號突變的“尖角問題”，給控制系統(tǒng)造成執(zhí)行負(fù)擔(dān)。在設(shè)計(jì)制導(dǎo)律模型的過程中，引入一個飽和函數(shù)對控制量進(jìn)行約束，將其控制在系統(tǒng)機(jī)構(gòu)調(diào)節(jié)能力范圍之內(nèi)，飽和函數(shù)為

(5)

式中：uM為已知的控制輸入信號的邊界(包括上界、下界)。

可得出制導(dǎo)律的數(shù)學(xué)模型為

(6)

式中：

(7)

式中：f(x1)為因變量；d為目標(biāo)在視線坐標(biāo)系下的加速度，通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估算獲得。在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過程中，主要對x2，即導(dǎo)彈在視線傾角與視線偏角方向的加速度進(jìn)行控制。

2 指令濾波反演制導(dǎo)律

2.1 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在制導(dǎo)律數(shù)學(xué)模型(6)中，目標(biāo)加速度d難以通過觀測直接獲得，因此需要根據(jù)已知狀態(tài)對d進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)原則，以導(dǎo)彈法向速度x1為狀態(tài)變量求解誤差，將目標(biāo)加速度作為干擾項(xiàng)設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)[24]來估算目標(biāo)加速度：

(8)

式中：β1、β2為觀測器的反饋增益系數(shù)；z2可以實(shí)現(xiàn)對d的有效跟蹤。為保證前后描述的一致性，后文目標(biāo)加速度仍用d表示。接下來對制導(dǎo)律控制量進(jìn)行設(shè)計(jì)。Δz代表實(shí)際應(yīng)用中導(dǎo)彈的制導(dǎo)參數(shù)(x1、x2等)輸入到擴(kuò)張狀態(tài)觀測器過程中產(chǎn)生的噪聲信號，在仿真實(shí)驗(yàn)中會對Δz做更詳盡的定義。

根據(jù)滑?？刂圃O(shè)計(jì)原則，對非線性系統(tǒng)的控制量進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，首先定義跟蹤誤差Si[9]：

Si=xi-xici=1,2,3

(9)

式中：x1c為制導(dǎo)過程中所需的彈目視線切向速度；x2c、x3c為虛擬控制輸入量。該制導(dǎo)律模型為三階非線性系統(tǒng)，需要3個設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)完成設(shè)計(jì)。

步驟1由于x1為導(dǎo)彈在視線坐標(biāo)系Oy′z′面上的2個速度，需要收斂到0，因此x1c定義為0，因此S1實(shí)際可以寫為

S1=x1

(10)

S1的導(dǎo)數(shù)為

(11)

f(S1)可被分為2個部分：

(12)

式中：

(13)

式(13)為一個非線性耦合項(xiàng)并滿足以下性質(zhì)：

(14)

定義一個李雅普諾夫函數(shù)為

(15)

對式(15)求導(dǎo)可得

(16)

(17)

(18)

(19)

步驟2定義跟蹤誤差S2為

S2=x2-x2c

(20)

通過式(6)對S2求導(dǎo)可得

(21)

(22)

(23)

(24)

步驟3定義跟蹤誤差S3為

S3=x3-x3c

(25)

對S3進(jìn)行求導(dǎo)得

(26)

為了避免實(shí)際應(yīng)用過程中產(chǎn)生控制輸入飽和的問題，除了設(shè)計(jì)飽和函數(shù)sat(u)外，再引入一個輔助的一階低通濾波器。令

(27)

若Δu=0則不存在控制輸入飽和的現(xiàn)象，將Δu通過一階低通濾波器獲得xe：

(28)

式中：xe為通過濾波器后的飽和項(xiàng)，參數(shù)τe為

(29)

式中：設(shè)計(jì)參數(shù)K3應(yīng)滿足K3>0。當(dāng)xe=0時(shí)γ(xe)=1，當(dāng)xe≠0時(shí)γ(xe)=0。

綜上，控制信號u最終設(shè)計(jì)為

(30)

2.2 穩(wěn)定性證明

定理1對于制導(dǎo)律模型(6)，在采用指令濾波器(18)、(23)，一階濾波器(28)，并進(jìn)行反演設(shè)計(jì)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，被控制參數(shù)逐漸收斂。

證明濾波器輸出式(18)和式(23)在不考慮幅值及速率的附加約束下，經(jīng)過變換可得

(31)

ESO的穩(wěn)定性在文獻(xiàn)[26]中有詳細(xì)證明，本文不再給出。由工程經(jīng)驗(yàn)可知，反饋增益系數(shù)、影響系統(tǒng)收斂速度和穩(wěn)定性，反饋增益系數(shù)越大，z2向d收斂的速度越快，但如果系數(shù)過大，系統(tǒng)易因超調(diào)過大而失穩(wěn)。具體參數(shù)選取在仿真實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行詳細(xì)描述。

已知跟蹤誤差對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，定義李雅普諾夫函數(shù)為

(32)

代入邊界層誤差y2并對V1s對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(33)

同理，跟蹤誤差S2對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(34)

定義李雅普諾夫函數(shù)為

(35)

其對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(36)

跟蹤誤差S3對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(37)

定義李雅普諾夫函數(shù)

(38)

其對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(39)

輸入飽和情況下定義李雅普諾夫函數(shù)為

(40)

其對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(41)

綜上所述，在證明濾波過程穩(wěn)定的前提下啊，對整個閉環(huán)系統(tǒng)其他部分定義李雅普諾夫函數(shù)

(42)

其對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(43)

通過設(shè)計(jì)合適的參數(shù)，可以使參數(shù)滿足以下約束條件：

(44)

式(43)可以簡化為

(45)

滿足：

(46)

通過合理設(shè)計(jì)參數(shù)可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使系統(tǒng)中速度矢量沿視線傾角和視線偏角的分量逐漸收斂于0，證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

利用數(shù)學(xué)仿真來檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的指令濾波反演制導(dǎo)(CFBG)律的有效性，通過與動態(tài)面控制制導(dǎo)(DSCG)律[9]有限時(shí)間收斂制導(dǎo)(FTCG)律[25]對比來突出指令濾波反演制導(dǎo)(CFBG)律的優(yōu)勢。其中DSCG采用相同ESO估計(jì)目標(biāo)加速度，F(xiàn)TCG采用ESO估計(jì)彈目視線角速率參與制導(dǎo)，且不考慮自駕儀延遲環(huán)節(jié)。同時(shí)為比較3種制導(dǎo)律的收斂性，以相同的飽和函數(shù)sat(u)限制加速度。

導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置、運(yùn)動狀態(tài)通常需要地面雷達(dá)、基站進(jìn)行標(biāo)記。因此仿真中給定狀態(tài)量都在地面慣性坐標(biāo)系中進(jìn)行表示，通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換即可得到視線坐標(biāo)系中的各個變量。仿真參數(shù)設(shè)計(jì)為：仿真步長h=0.001，單位為s，ESO的反饋增益參數(shù)與仿真步長有關(guān)，設(shè)計(jì)為：β1=2/h，β2=1/h；CFBG的仿真參數(shù)設(shè)計(jì)為：ωn=20，ξ=0.6，N=4，K1=3，K2=5，K3=7，K4=60，ζm=0.8，ωm=220，uM=[-200 200]。以導(dǎo)彈攔截空中機(jī)動目標(biāo)為背景，設(shè)定導(dǎo)彈位置為坐標(biāo)原點(diǎn),單位為m；目標(biāo)位置在T0=(3 000, 3 000,3 000)， 單位為m，模擬導(dǎo)彈在末制導(dǎo)過程中無助推環(huán)節(jié)下對目標(biāo)的追蹤打擊。設(shè)計(jì)較大的初始偏差來檢驗(yàn)制導(dǎo)律對導(dǎo)彈的控制效果，設(shè)導(dǎo)彈初速度Vm0=800 m/s，沿慣性系軸正向，則導(dǎo)彈與目標(biāo)初始視線傾角ε0=45°，視線偏角η0=45°。實(shí)際應(yīng)用中，導(dǎo)彈過載受到各方面的限制，設(shè)定導(dǎo)彈加速度上限為am,max=200 m/s2。

為探究設(shè)計(jì)制導(dǎo)律對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤、制導(dǎo)效果，設(shè)計(jì)2種不同運(yùn)動模式的目標(biāo)運(yùn)動：在豎直方向上做往返加速的正弦運(yùn)動和在有限時(shí)間內(nèi)的不規(guī)則躲避運(yùn)動。慣性系中目標(biāo)初始速度均為VT0，單位m/s；目標(biāo)正弦運(yùn)動加速度參數(shù)為：aTz=-30sin(πt/2) m/s2，aTx=0，aTy=0；目標(biāo)不規(guī)則運(yùn)動加速度參數(shù)為：t<2 s時(shí)，aTx=-10 m/s2，aTy=-10 m/s2，aTz=0；2≤t<4 s時(shí)，aTx=-20 m/s2，aTy=0，aTz=0；t≥4 s時(shí)，aTx=0，aTy=-10 m/s2，aTz=-10 m/s2。在ESO跟蹤目標(biāo)加速度仿真中，通過隨機(jī)數(shù)模擬噪聲信號Δz，隨機(jī)數(shù)符合μ=0，σ2=1的高斯分布?？紤]目標(biāo)加速度量級，增加幅值為5放大器，采樣時(shí)間為0.001 s。其他仿真實(shí)驗(yàn)中定義Δz=0。仿真結(jié)果和分析如下：

圖2和圖3中，圖2(a)中曲線為目標(biāo)和3種制導(dǎo)律下導(dǎo)彈的運(yùn)動軌跡，圖2(b)和圖3(b)、圖2(c)和圖3(c)、圖2(d)和圖3(d)中12 s后制導(dǎo)數(shù)據(jù)突變處為導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)刻，對制導(dǎo)過程無影響。圖2(e)和圖3(e)表示控制參數(shù)u、sat(u)以及加速度。

由表1、表2的導(dǎo)彈攔截目標(biāo)脫靶量及圖2(a)、圖3(a)的導(dǎo)彈攔截目標(biāo)過程可以看出，3種制導(dǎo)方式都可以控制導(dǎo)彈接近目標(biāo)并以較小脫靶量命中目標(biāo)。相較于DSCG和FTCG，CFBG彈道在約0～5 s內(nèi)偏移量較小，在制導(dǎo)后段，偏移量逐漸增加，符合能量利用原則。目標(biāo)做正弦運(yùn)動時(shí)，CFBG脫靶量位于中間位置,但如果去除ESO而直接使用目標(biāo)加速度，則CFBG的命中精度要高于其他2種制導(dǎo)律；目標(biāo)做不規(guī)則運(yùn)動時(shí)，CFBG的命中精度最高。CFBG與DSCG相比改進(jìn)了濾波環(huán)節(jié)，引入速率及帶寬的約束，使得制導(dǎo)精度有約50%的提高。由圖2(b)和圖3(b)可知，設(shè)計(jì)的ESO可以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)加速度的跟蹤，除在目標(biāo)加速度突變時(shí)刻有小量延遲外，其他時(shí)刻ESO的跟蹤精度均較高。ESOI表示在添加信號噪聲之后擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的跟蹤曲線，可以看到當(dāng)噪聲信號在所觀測加速度信號中占比較大的影響下，ESO也能對加速度信號進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤。從圖2(c)、圖2(d)和圖3(c)和圖3(d)可知3種制導(dǎo)方式都通過零化視線角速率的方式實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的追蹤。CFBG和DSCG 2種制導(dǎo)方式下彈目視線角速率收斂更快，在7 s左右實(shí)現(xiàn)收斂，F(xiàn)TCG收斂速度略慢于其他2種，尤其是在視線偏角方向上需要在9～10 s的時(shí)間段內(nèi)實(shí)現(xiàn)收斂。在目標(biāo)正弦運(yùn)動過程中，F(xiàn)TCG在接近目標(biāo)時(shí)視線角速率也發(fā)生了類正弦的變化趨勢。結(jié)合目標(biāo)不規(guī)則運(yùn)動結(jié)果，可以看出FTCG在攔截做法向運(yùn)動的目標(biāo)的過程中，追蹤反應(yīng)要慢于CFBG和DSCG。由圖2(e)和圖3(e)可以看出，未經(jīng)約束的控制輸出u超過最大控制量，經(jīng)過飽和函數(shù)sat(u)約束后成功控制在200以內(nèi)，但是頻率較高，不適合直接輸入到導(dǎo)彈模型中。通過低通濾波器可以得到最終相對平穩(wěn)的加速度指令。

2種目標(biāo)運(yùn)動模式下脫靶量和制導(dǎo)參數(shù)如表1和表2所示。

圖2 目標(biāo)正弦運(yùn)動仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of target sinusoidal motion

表1 目標(biāo)正弦運(yùn)動脫靶量Table 1 Miss distance of target sinusoidal motion

表2 目標(biāo)不規(guī)則運(yùn)動脫靶量Table 2 Miss distance of target irregular motion

4 結(jié) 論

本文基于指令濾波反演控制、有限時(shí)間穩(wěn)定理論、擴(kuò)張狀態(tài)觀測方法，設(shè)計(jì)了一種同時(shí)考慮自動駕駛儀動態(tài)特性、控制輸入飽和目標(biāo)加速度未知問題的制導(dǎo)律。主要工作及結(jié)論如下：

1) 為獲取目標(biāo)加速度信息，設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間收斂的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，可以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)加速度的有效跟蹤。

2) 在制導(dǎo)律中加入自動駕駛儀二階動態(tài)環(huán)節(jié)及飽和過濾環(huán)節(jié)，并設(shè)計(jì)了一種指令濾波反演制導(dǎo)律，保證在有限時(shí)間內(nèi)彈目視線角速率零化。