例談數(shù)學(xué)培優(yōu)之小專題教學(xué)

羅淼

【摘要】在農(nóng)村中學(xué)，學(xué)生層次分化比較嚴(yán)重，數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培優(yōu)顯得非常必要和關(guān)鍵，數(shù)學(xué)培優(yōu)是為學(xué)生后續(xù)可持續(xù)發(fā)展負(fù)責(zé)。關(guān)于怎樣培優(yōu)，是農(nóng)村中學(xué)教師必須去思考的問(wèn)題。本文就小專題形式構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，層層推進(jìn)知識(shí)，有目的有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)理解能力展開(kāi)論述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)培優(yōu);小專題;數(shù)學(xué)理解能力;邏輯思維能力

一、培優(yōu)的必要性

農(nóng)村學(xué)校的有些學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)不太重視，缺少課后監(jiān)督和輔導(dǎo)，極少反饋學(xué)生在家學(xué)習(xí)的情況，同時(shí)我校的生源是按戶口劃分就近上學(xué)的，同一個(gè)班的學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)參差不齊、學(xué)習(xí)能力強(qiáng)弱不等。在教學(xué)中，如果教師們?yōu)榱耸∈?，統(tǒng)一教學(xué)和布置統(tǒng)一的作業(yè)，卻不知，簡(jiǎn)單了，會(huì)出現(xiàn)優(yōu)秀生在課后學(xué)習(xí)這一塊出現(xiàn)“吃不飽”，難了，則會(huì)出現(xiàn)學(xué)困生由于沒(méi)有跟上腳步而出現(xiàn)作業(yè)無(wú)法完成的現(xiàn)象。久而久之，學(xué)生不學(xué)和抄作業(yè)或者不寫(xiě)作業(yè)的現(xiàn)象就會(huì)普遍，教學(xué)和作業(yè)也就失去了它原有的意義。實(shí)踐證明，實(shí)施簡(jiǎn)單的“一刀切”模式，很難兼顧到學(xué)生的個(gè)性差異。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)失去興趣、喪失自信，造成優(yōu)等生人數(shù)越來(lái)越少、學(xué)困生越來(lái)越多的現(xiàn)象。因此，在教學(xué)中實(shí)施分層次教學(xué)和布置作業(yè)的策略，尤其是課后培優(yōu)符合我校數(shù)學(xué)教學(xué)的客觀要求。

二、培優(yōu)的困境

關(guān)于怎樣培優(yōu)，筆者嘗試了很多方法，例如，課后作業(yè)多布置幾題難題讓學(xué)生去思考，又或者是把學(xué)生拉出去額外多上幾節(jié)課。幾個(gè)方法嘗試下來(lái)效果都不明顯。學(xué)生在筆者的引導(dǎo)下看似已經(jīng)會(huì)解一些難題，但是一到考試時(shí)依然無(wú)從下筆。經(jīng)過(guò)反思，筆者發(fā)現(xiàn)之前的培優(yōu)僅僅是教會(huì)了學(xué)生解某幾個(gè)題，而沒(méi)有教會(huì)學(xué)生相應(yīng)的解題思維。作為農(nóng)村學(xué)生，沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)任何培訓(xùn)機(jī)構(gòu)培訓(xùn)，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)知識(shí)全憑老師的引導(dǎo)，筆者只教學(xué)生單純的解題是不利于學(xué)生發(fā)展的，必須有目的、有計(jì)劃地培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)思維能力等。

三、小專題教學(xué)助培優(yōu)一臂之力

最先讓筆者對(duì)自己的培優(yōu)產(chǎn)生困惑的是同一類題。筆者在平時(shí)培優(yōu)時(shí)布置過(guò)這樣一道作業(yè)，繼而又在一次月考中考過(guò)，最后期末考試時(shí)，類似題目再次出現(xiàn)，可看到學(xué)生的答卷時(shí)，筆者是震驚的：幾個(gè)重點(diǎn)培養(yǎng)的優(yōu)秀生都沒(méi)能很好地解答題目。

事后筆者找他們交流，學(xué)生基本一致表示自己是知道曾經(jīng)做過(guò)類似的題目，考試時(shí)間也是充裕的，但是當(dāng)自己提筆解題時(shí)卻發(fā)現(xiàn)沒(méi)有思路不知道該從何下筆去解答。談話中讓筆者明白：他們?nèi)狈Φ牟皇菚r(shí)間，而是解題思維，更多的是他們沒(méi)有相關(guān)的數(shù)學(xué)思維能力。怎樣解決這一問(wèn)題？歸類分析？怎樣啟發(fā)？怎樣培養(yǎng)和建立學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)而提高學(xué)生培優(yōu)的效果？一系列問(wèn)題橫在筆者的培優(yōu)教學(xué)中，就此，筆者嘗試了以小專題的形式展開(kāi)了新一輪培優(yōu)。下面筆者以“二次函數(shù)中的面積最值問(wèn)題”這一小專題為例進(jìn)行論述。

四、小專題可以帶來(lái)數(shù)學(xué)思維

初次讓學(xué)生接觸“二次函數(shù)中的面積問(wèn)題”是一個(gè)周末的培優(yōu)作業(yè)題，如下：

題1：如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，BO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C。

（1）求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo);

（2）求拋物線的解析式;

（3）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，是否存在一點(diǎn)P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

在題1講解中，筆者就題目中需要應(yīng)用到的“利用點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線段的長(zhǎng)度、如何尋找并利用橫平豎直的線對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)”等幾何中處理面積問(wèn)題的思路進(jìn)行了一番詳細(xì)講解。在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生貌似聽(tīng)懂了，學(xué)會(huì)了，但是等到第二次接觸時(shí)很多學(xué)生反應(yīng)思路大約知道，但寫(xiě)起來(lái)全亂了，越寫(xiě)越亂，根本算不出。再次與學(xué)生的交流中，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生只是記住了這個(gè)題目需要設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，需要對(duì)面積進(jìn)行分割等表面的做法。至于問(wèn)題的本質(zhì)，學(xué)生是沒(méi)有理解的，所以做不到舉一反三、觸類旁通。

如何讓學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)？一道題目，最多只能讓學(xué)生學(xué)會(huì)解這一題而不是這類題。經(jīng)過(guò)備課組的集備，筆者決定從尋找原型出發(fā)，以小專題的形式呈現(xiàn)，旨在有目的地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)理解能力。

（一）原型啟發(fā)

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表現(xiàn)形式，可以是代數(shù)形式也可以是幾何形式或其他形式，而每一種形式在不同的知識(shí)背景下有著它特定的意義。

原型題：如圖，點(diǎn)P為反比例函數(shù)的圖像上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向x軸，y軸引垂線，垂足分別為A、B，則矩形PAOB的面積為? ? ? ? ? ?。

原型題意在理解反比例函數(shù)中k的幾何意義，實(shí)質(zhì)是通過(guò)點(diǎn)P 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線段PB、PA的長(zhǎng)度，進(jìn)而解決面積問(wèn)題。這是學(xué)生非常熟悉的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，接近學(xué)生的就近發(fā)展區(qū);這也符合前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基在談到教學(xué)和發(fā)展的關(guān)系時(shí)提出的“最近發(fā)展區(qū)理論”。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。

（二）類比原型，層層推進(jìn)

推進(jìn)題1：如圖，已知反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥軸，垂足為B，若△AOB的面積為1，則k=_________________。

推進(jìn)題1與原型題背景一樣，僅交換了條件和目標(biāo)，旨在讓學(xué)生再一次理解“反比例函數(shù)中k的幾何意義，實(shí)質(zhì)是通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而解決面積問(wèn)題”。

推進(jìn)題2：如圖，中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（k≠0）圖象上，點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)B、點(diǎn)C在x軸上。若的面積為8，則k的值是_________________。

推進(jìn)題2與原型題背景一樣，與推進(jìn)1目標(biāo)一致，但改變了面積的基本圖形，旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)通性通法。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的條件與目標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使新問(wèn)題向原型題靠攏，轉(zhuǎn)化為比較容易解決的問(wèn)題。

推進(jìn)題3：如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)（n為常數(shù)，n≠0）的圖像在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸，垂足為D，若OB=20A=3OD=12。

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;

（2）記兩函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求△CDE的面積;

（3）直接寫(xiě)出不等式kx+b≤的解集。

推進(jìn)題3背景還是與原型一樣，圖形的面積由一個(gè)象限擴(kuò)展到更多象限，但還是定點(diǎn)求面積問(wèn)題。學(xué)生對(duì)于定點(diǎn)問(wèn)題還是比較熟悉和敢于嘗試的，這是非常接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)的，同時(shí)開(kāi)始為接下來(lái)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題做鋪墊。

推進(jìn)題4：如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)。

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，P點(diǎn)在何處時(shí)，△ABP的面積最大，最大面積是多少？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。

推進(jìn)題4中題目背景轉(zhuǎn)換成這次小專題的目標(biāo)：二次函數(shù)中面積最值問(wèn)題。從已知的函數(shù)解析式入手開(kāi)始求面積，本題中面積表面看是動(dòng)點(diǎn)，實(shí)質(zhì)分析后可以發(fā)現(xiàn)并不動(dòng)，為下面的動(dòng)點(diǎn)作準(zhǔn)備。

（三）設(shè)計(jì)類比，提升數(shù)學(xué)思維

推進(jìn)題5：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）與y軸相交于點(diǎn)C。

（1）求此拋物線的解析式;

（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，BC求△BCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)。

推進(jìn)題5的背景是二次函數(shù)中的面積最值問(wèn)題，問(wèn)題背景開(kāi)始復(fù)雜，首先是函數(shù)解析式未知，進(jìn)而在函數(shù)圖像上尋找動(dòng)點(diǎn)去確定面積的最值，再反過(guò)來(lái)求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。但這一題的難度還是稍微降低了一點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)E限制在了第二象限，避免了分類討論。

推進(jìn)題6：如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，BO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C。

（1）求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo);

（2）求拋物線的解析式;

（3）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，是否存在一點(diǎn)P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

推進(jìn)題6又回到了我們學(xué)生最開(kāi)始接觸的題目，在經(jīng)過(guò)一系列的知識(shí)層層推進(jìn)以后，學(xué)生再次接觸本題，應(yīng)該會(huì)有一定的感知認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)理解能力，進(jìn)而去解決本類題。

推進(jìn)題7：已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和B（1，0），且與y軸交于點(diǎn)。

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）若點(diǎn)D是這條拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DAC的面積最大時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)。

推進(jìn)題7中函數(shù)的圖像由有圖轉(zhuǎn)向無(wú)圖，旨在讓學(xué)生從更高層次去認(rèn)識(shí)二次函數(shù)中的圖形、面積、最值問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和數(shù)形結(jié)合能力。

推進(jìn)題8：如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M連接PB。

（1）拋物線上是否存在異于點(diǎn)P的一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由;

（2）在第一象限對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)若不存在，說(shuō)明理由。

推進(jìn)題9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D。

（1）求該二次函數(shù)的解析式;

（2）若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m>0，n<0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

題8和題9是經(jīng)過(guò)層層推進(jìn)，在問(wèn)題的解決過(guò)程中，結(jié)合不同的題目背景，多角度多層次地進(jìn)行分析、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型后，學(xué)生掌握了一定的解決二次函數(shù)中的面積最值問(wèn)題的能力，最后用兩道相似又不似的題目做一個(gè)簡(jiǎn)單的收尾。

五、教學(xué)的啟發(fā)

在初三的復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)該明確知道很多的中考?jí)狠S題考查的不是一道題，而是數(shù)學(xué)思維。我們的優(yōu)秀生缺乏的不是少做題，而是缺乏數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)理解能力的訓(xùn)練。找到壓軸題的原型題，組成遞進(jìn)的題目組，形成一個(gè)小專題，從最簡(jiǎn)單、最接近學(xué)生認(rèn)識(shí)的思維出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題深化，尋找解題的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的思維。

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表現(xiàn)形式是多種多樣，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要多方位多角度去思考。以小專題的形式來(lái)培優(yōu)，優(yōu)生在解決每一個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，不單是知識(shí)的重現(xiàn)過(guò)程，也是數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法的成功結(jié)合。通過(guò)小專題的培優(yōu)方式，加強(qiáng)知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)知識(shí)更多的潛在應(yīng)用價(jià)值，突出數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，感受數(shù)學(xué)的魅力。在嘗試過(guò)程中，培優(yōu)的學(xué)生在一定程度上可以去歸納方法、提煉思想、形成數(shù)學(xué)模式化思維。

[注：本文中出現(xiàn)的所有題目均來(lái)自各地的模擬卷題和中考卷題，故不一一備注]

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