“兩角和與差的正弦、余弦”的教學實踐與反思

王慧凱

(山東省桓臺縣漁洋中學，256400)

《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版)指出:高中數(shù)學課程應以學生發(fā)展為本,落實立德樹人根本任務,培育科學精神和創(chuàng)新意義,提升數(shù)學核心素養(yǎng).數(shù)學核心素養(yǎng)是落實課程目標的主要途徑,包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算.這些核心素養(yǎng)既相對獨立又相互交融,是一個有機的整體.如何在教學中融入核心素養(yǎng),將新課標落實到實處?筆者在教學中做了一些探索.現(xiàn)摘取“兩角和與差的正弦、余弦”教學片段即推導公式環(huán)節(jié),拋磚引玉,不妥之處懇請斧正.

一. 教材及學情分析

本節(jié)是人教A版必修第二冊5.5.1“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”第二課時，是在本章第三節(jié)變換對象只有一個角的三角函數(shù)式基礎上拓展為包含兩個角的三角函數(shù)式.兩角差的余弦公式是第一課時內容,此公式既是前面誘導公式的進一步擴充,又是后面學習二倍角公式的前提與依據(jù),是三角恒等變換的基礎,具有很強的工具性.本課時是第一課時的延續(xù),將以兩角差的余弦公式為基礎,聯(lián)系誘導公式,推導其它公式.

學生已掌握了誘導公式及兩角差的余弦公式,對于推導公式有一定經驗.本課時將從學生認知與思維構建的角度,幫助學生充分認識知識、方法間的聯(lián)系,采取由特殊到一般、由具體到抽象的方式推導公式.

二、 課堂實錄

1. 溫故知新

師:上一節(jié)課,我們推導了兩角差的余弦公式,借助公式可以將有些非特殊角轉化為兩個特殊角的差來求值.能求cos 75°嗎?

生2:將75°拆分成90°-15°,再運用公式得cos 75°=cos(90°-15°)=cos 90°cos 15°+sin 90°sin 15°=sin 15°.一方面15°不是特殊角無法直接求值,另一方面僅有兩角差的余弦公式,求兩角差的正弦無法進行.

生3:可以將75°分成30°+45°.于是cos 75°=cos(30°+45°),轉化為兩角和的余弦后,不能繼續(xù).

師:現(xiàn)在我們來探究同學提出的問題.

設計意圖通過已知引發(fā)未知,體現(xiàn)知識間的聯(lián)系,激發(fā)學生探究興趣,培養(yǎng)學生知識遷移能力.同時將問題設置成開放性問題,激發(fā)學生發(fā)言的欲望,培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,落實數(shù)學邏輯推理素養(yǎng).

2.同宗溯源

師:先來看cos(30°+45°),將之抽象為任意角α，β，即cos(α+β).

生:這與兩角差的余弦公式Cα-β僅僅差一個符號.考慮到α+β與α-β的聯(lián)系α+β=α-(-β), 可運用兩角差的余弦公式及誘導公式，于是有

cos(α+β)=cos[α-(-β)]

=cosαcos(-β)+sinαsin(-β).

生2:直接在兩角差的余弦公式中用-β代替β也可以推導出剛才的結果.

(過程略)

設計意圖讓學生經歷由特殊到一般的過程,體現(xiàn)數(shù)學的化歸思想;在探索運算思路的過程中,培養(yǎng)學生知識遷移能力,落實數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng).

3.近水樓臺

師:請同學們求sin 15°的值.

生:sin 15°=cos(90°-15°)=cos 75°,然后用兩角和的余弦公式即可求之.

師:sin 15°=cos 75°體現(xiàn)了角的正弦與余弦的互化,與前面我們學習的誘導公式相呼應.

同時sin 15°=sin(45°-30°).將45°、30°抽象為任意角α，β即sin(α-β).請大家自行推導出兩角和與差的正弦公式.

師:請同學們集思廣益來幫助這兩位同學.

師:請同學們運用以上兩種思路推導公式.

=sinαcosβ-cosαsinβ.

生2:sin(α-β)

=-sinβcosα+cosβsinα

=sinαcosβ-cosαsinβ.

師:以上我們推導出兩角差的正弦公式,同學們能運用所學的知識推導兩角和的正弦公式嗎?

(學生推導過程略)

師:公式Sα±β有怎樣的結構特點?

生:與公式Cα±β的結構特點相似.

師:我們可以類比公式Cα±β用口訣“正余余正符號同”來幫助記憶.

設計意圖學生在經歷正弦化余弦,正角化負角的過程中,體會數(shù)學轉化思想,同時培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)學生靈活性、批判性的思維品質,落實數(shù)學邏輯推理素養(yǎng).

4. 和差家譜

師:以上我們推導出兩角和與差的正弦、余弦公式,它們之間存在怎樣的關系呢?

生:可以用這樣一個示意圖來表述推導四個公式的過程(如圖1).

設計意圖通過此環(huán)節(jié),引導學生理清公式之間的關系,溝通知識之間的聯(lián)系,既能縱向追溯教材知識體系的認知與梳理,也能橫向加強知識之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學生的數(shù)學整體觀、思維的靈活性和知識遷移能力,落實數(shù)學邏輯推理素養(yǎng).

三、教學反思

1.反思引入

章建躍先生認為:從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性,學生思維過程的合理性上加強思考,這是落實數(shù)學學科素養(yǎng)的關鍵點.在教學設計之初，考慮到學生已經推導過兩角差的余弦公式,在公式應用中已經認識到三角函數(shù)式的特征,體會到三角恒等變換的特點.因此,學生聯(lián)系已經學過的三角函數(shù)知識探索有關三角函數(shù)的問題是很自然的.基于以上思考,在教學設計時沒有選擇教學情境引入,而是通過已有知識難以解決或無法解決新問題,引發(fā)學生探索新知識的欲望,既溫習前面學習的內容,又體現(xiàn)出新知與舊知的聯(lián)系.避免了“有些課堂引入刻意聯(lián)系實際,不夠自然,或者引入高于學生的認知水平,學生不能建立有效的數(shù)學模型”.

2.反思過程

教材不僅重視對推出的公式的理解、應用,而且還重視推導過程的教育功能.因此,本節(jié)課教學采用自主探究的方式,讓學生經歷疑惑——探索——解決的過程,培養(yǎng)學生的數(shù)學學科素養(yǎng).

在公式推導過程中,始終把對照、比較有關的三角函數(shù)式,認清其區(qū)別,尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點,培養(yǎng)學生邏輯推理數(shù)學核心素養(yǎng).例如,比較cos(α+β)與cos(α-β)，發(fā)現(xiàn)它們都是角的余弦,只是和差不同,但它們不論從運算的角度還是換元的角度看都有內在聯(lián)系,根據(jù)這種聯(lián)系可以實現(xiàn)從Cα-β到Cα+β的推理過程.再如,比較sin(α-β)與cos(α-β),它們包含的角相同,但函數(shù)名稱不同,如何建立二者之間的聯(lián)系?顯然,誘導公式可以實現(xiàn)同角正弦余弦轉化,根據(jù)此公式可以由Cα-β推導出Sα-β.

同樣,將特殊角30°，45°抽象為任意角α，β的過程,體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學思想,也落實了數(shù)學抽象核心素養(yǎng).在求cos 75°，sin 15°的過程中,學生運用公式及特殊角的正弦、余弦值計算,落實了數(shù)學運算核心素養(yǎng).

總之,課程標準是教學設計的依據(jù),核心素養(yǎng)是教學的目標.教師在教學設計前,應先充分了解學生的知識能力和思維特點,在此基礎上精心設計教學過程,讓學生在高效的學習過程中提升數(shù)學思維能力和核心素養(yǎng).