FDM零件表面粗糙度偏最小二乘回歸建模研究

黃昕龍，花海燕，陳世輝

(1.福建江夏學(xué)院 工程學(xué)院，福建 福州 350108；2.福建工程學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 福州 350118)

隨著FDM工藝日益成熟，其應(yīng)用也越來越廣泛[1]。成型件的表面質(zhì)量精度低，穩(wěn)定性差等問題成為了制約該技術(shù)發(fā)展的主要因素之一。目前，研究階梯效應(yīng)的成型機(jī)理，分析階梯效應(yīng)與打印工藝參數(shù)的改善關(guān)系成為主流方向[2-3]。國內(nèi)外許多學(xué)者從成型層厚度、成型面角度以及打印材料等角度出發(fā)進(jìn)行了深入研究，取得了顯著成果[4-7]。但仍然存在許多不足，如：階梯效應(yīng)無法針對水平成型面或垂直成型面的表面粗糙度給出有效的解釋；現(xiàn)有很多學(xué)者對表面精度提出了一系列的優(yōu)化策略，主要是基于用戶可調(diào)整的初始工藝參數(shù)，雖然易于調(diào)節(jié)，但存在工藝參數(shù)的組合優(yōu)化不可控，微小調(diào)整量對表面質(zhì)量的影響波動(dòng)大等問題。

基于此，本研究在FDM工藝擠出材料截面形狀的基礎(chǔ)上，深入探討水平成型面的表面粗糙度形成幾何機(jī)理，分析設(shè)備固有參數(shù)對表面質(zhì)量的影響，為成型設(shè)備的優(yōu)化與開發(fā)提供導(dǎo)向。

1 模型構(gòu)建

1.1 絲材的寬度模型

圖1 擠出絲截面模型Fig.1 Cross-section of extruded filament

圖2 三次參數(shù)曲線Fig.2 Cubic parametric curve

(1)

式中，φ(u)=(1,u,u2,u3)為參數(shù)曲線的多項(xiàng)式基；a=(a0,a1,a2,a3)'為系數(shù)矢量。通過規(guī)定曲線兩端點(diǎn)p(0)、p(1)和端點(diǎn)切矢r(0)、r(1)來確定該系數(shù)矢量，可得系數(shù)矢量的矩陣形式為：

(2)

為方便確定三次曲線曲線段的幾何特征與形狀類型，引入u=0,1兩端點(diǎn)切矢的形狀仿射不變量λ和μ，二者表示曲線段首尾兩端切矢。對于呈現(xiàn)扁平狀且無明顯凸起的正常成型的絲材沉積截面，滿足截面輪廓的三次曲線段內(nèi)無拐點(diǎn)的幾何形狀特征，即此時(shí)曲線拐點(diǎn)不在0≤u≤1內(nèi)，其拐點(diǎn)數(shù)為1～2個(gè)，若為2個(gè)拐點(diǎn)則存在單側(cè)與雙側(cè)分布的情況。根據(jù)分布判別情況可知，三次曲線段的具體形狀可用唯一的λ和μ表示[9]。根據(jù)仿射不變量λ和μ的定義，可用式(3)表示L：

(3)

整理式(2)和式(3)，可得曲線參數(shù)表達(dá)式為：

(4)

式中，元素aij，i=2,3,4、j=1,2為形狀系數(shù)，與端點(diǎn)切矢及仿射不變量有關(guān)。在具體成型過程中，由端點(diǎn)切矢及仿射不變量確定的截面線寬曲線，所呈現(xiàn)的形態(tài)與打印工藝參數(shù)密切相關(guān)，因此在不考慮隨機(jī)因素的情況下，可認(rèn)為絲材的線寬形態(tài)存在確定性，這是由現(xiàn)有FDM成型設(shè)備工藝參數(shù)的確定性及合理性決定的。

最后，根據(jù)垂直截面形狀，將曲線進(jìn)行坐標(biāo)變換，即逆時(shí)針轉(zhuǎn)過γ角，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣R(γ)的關(guān)系式可得旋轉(zhuǎn)后的三次參數(shù)曲線pt(u)：

(5)

1.2 粗糙度幾何機(jī)理

在FDM工藝中，相鄰掃描線路上的擠出絲通過噴嘴的加熱與擠壓實(shí)現(xiàn)相互黏結(jié)，經(jīng)歷接觸、擴(kuò)散與黏結(jié)3個(gè)階段。大量研究表明，絲材的擠出溫度Tz越高，則ABS等聚合物共混物浸潤的有效時(shí)間t越長，相鄰絲材間的擴(kuò)散程度與黏結(jié)強(qiáng)度也就越高，這在一定程度上對成型平面的微觀形狀造成影響。考慮到ABS材料熔融狀態(tài)及高溫分解碳化等問題，現(xiàn)有FDM打印設(shè)備的絲材擠出溫度Tz一般控制在180～280℃。Tz與t關(guān)系可用關(guān)系式(6)表示：

(6)

式中，Tg為熱塑性材料的玻璃化轉(zhuǎn)變溫度，對于ABS材料而言，其玻璃化轉(zhuǎn)變溫度Tg=94 ℃；Te為打印設(shè)備成型室溫度；η為熱變化系數(shù)，與打印材料的熱特性及截面形狀有關(guān)。

根據(jù)實(shí)際水平成型面的成型情況，以直線往復(fù)掃描為例，假設(shè)打印平面不存在空間約束的情況，相鄰沉積層截面的立面模型如圖3所示。圖3中描述一種均勻理想模型：Ac(j)為j段掃描路徑打的橫截面積；Sg為相鄰絲材間隙；Sb為相鄰絲材在有效擴(kuò)散時(shí)間內(nèi)的浸潤面積。鑒于保持熔融沉積的均勻一致，打印噴頭的擠出速度與掃描速度不變情況下，顯然有Ac(1)=Ac(2)=…=Ac(j)=…=Ac(k)其中k為掃描路徑總數(shù)；掃描路徑間隔均勻，其掃描間距為b。為保證成型強(qiáng)度和表面質(zhì)量，相鄰沉積層存在一定空間約束，即掃描間距b小于擠出絲最大寬度W，從而使得間隙不會(huì)太大，對于商用設(shè)備，為保證打印質(zhì)量穩(wěn)定，掃描間距b為設(shè)計(jì)優(yōu)選后的固定值。此時(shí)，類似于機(jī)加工中的殘留面積，相鄰成型面間的間隙作為輪廓谷，從而形成一種理論粗糙度。

圖3 沉積層間隙立面圖Fig.3 Elevation of sedimentary interstitial spaces

考慮到理想打印表面的周期性與對稱性，采用輪廓算術(shù)平均中線作為粗糙度評定基準(zhǔn)線，選取評定長度為lr。根據(jù)定義，評定基準(zhǔn)線將實(shí)際輪廓分為上、下部分，滿足上部分面積之和FU與下部分面積之和FD相等，即FU=FD。評定參數(shù)采用算術(shù)平均偏差Ra可表示為：

(7)

在評定長度內(nèi)，間隙作為輪廓谷所占面積較小，評定基準(zhǔn)線接近成型平面，此時(shí)Ra可近似表示為：

(8)

式中，kr為單位取樣長度內(nèi)Sg個(gè)數(shù)。

因此，根據(jù)理論粗糙度評定機(jī)理，可以建立基于工藝參數(shù)的粗糙度非線性模型，其具體模型函數(shù)可表示為：

(9)

式中，d0為打印噴嘴直徑；ve為擠出速度，其取值為打印設(shè)備缺省值；vf為打印速度；Ψj=(akp)為三次參數(shù)曲線形狀系數(shù)構(gòu)成的多項(xiàng)式函數(shù)；?為黏結(jié)速度相關(guān)系數(shù)，單位為s-1，考慮到絲材堆積時(shí)側(cè)向的擠壓力需要由路徑規(guī)劃中的絲材間距給出，當(dāng)掃描路徑間距b一定時(shí)，相鄰絲材從浸潤到粘結(jié)的速度保持不變，即在打印條件一定時(shí)可認(rèn)為系數(shù)?為常量；δR為誤差項(xiàng)。

2 模型參數(shù)估計(jì)

根據(jù)上述對線寬模型及粗糙度機(jī)理的分析，可以確認(rèn)可控變量與因變量粗糙度之間的回歸模型。在模型方程中，h、vf和Tz作為非隨機(jī)自變，Ra作為因變量，分別記為xi和y?？紤]在自變量非單一維數(shù)且自變量與因變量之間為非線性關(guān)系，根據(jù)擬線性回歸模型的思想，對Ra的模型函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即

y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+ε

(10)

式中，fi(xi)，i=1,2,3為自變量函數(shù)式；ε為誤差項(xiàng)，表示除了自變量之外干擾因素對Y的影響以及堆疊層的慣性誤差。

(11)

具體展開，即：

(12)

其中，βj、β3,l為模型的待定參數(shù)，并且

(13)

式中，ξ3,l-1、h、M分別為x3上劃分的區(qū)間分點(diǎn)、分段長度及分段個(gè)數(shù)，其中

(14)

根據(jù)上述建模思路，通過以下5個(gè)步驟即可計(jì)算獲得模型參數(shù)。

(1)對自變量x3進(jìn)行3次B樣條變換。

1)確定分段個(gè)數(shù)M，求得區(qū)間分點(diǎn)ξ3,l-1；

2)對x3做3次B樣條變換：

(15)

(2)對所有自變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即

(l=0,1,…,M+2;j=1,2;i=1,2,…,n)

(16)

(17)

(3)對式(17)進(jìn)行偏最小二乘回歸(PLS)建模，提出最多的PLS成分?jǐn)?shù)，并求得回歸系數(shù)α3,l。

(18)

(5)將回歸系數(shù)及樣條函數(shù)變換式(15)代入式(18)，得到y(tǒng)關(guān)于X非線性回歸模型。

根據(jù)上述流程，結(jié)合原始數(shù)據(jù)表(X,y)可建立基于3次B樣條變換所構(gòu)建的局部非線性模型，從而確定工藝參數(shù)與粗糙度二者間的函數(shù)關(guān)系。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取

實(shí)驗(yàn)采用ABS作為打印材料，使用封閉式的桌面級FDM打印機(jī)作為打印設(shè)備。如圖4所示，設(shè)計(jì)并打印20 mm(長)×20 mm(寬)×15 mm(高)的立方試件用于表面的粗糙度測量。由于試件底部作為支撐生成面，表面質(zhì)量無法控制，因此選擇試件的頂面，測量儀器選用手持式表面粗糙度測量儀(Mitutoyo SJ-210)，其最小測量精度為0.001 6 μm。

圖4 實(shí)驗(yàn)立方模型Fig.4 Test specimens

結(jié)合所構(gòu)建的粗糙度模型采用3因素3水平正交試驗(yàn)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，具體的因素水平見表1。

表1 因素水平表Tab.1 Factor levels

3.2 PLSR模型生成與分析

在多元線性回歸中，提高自變量維度可在一定程度上降低標(biāo)定誤差，但是太高的成分?jǐn)?shù)容易造成模型過度擬合，一般可通過不同成分?jǐn)?shù)下的誤差標(biāo)準(zhǔn)差Sh或預(yù)測誤差標(biāo)準(zhǔn)差Rh進(jìn)行判斷

(19)

式中，Sh的大小反映了成分為h時(shí)因變量的誤差標(biāo)準(zhǔn)差。一般而言，隨著h的增大，Sh會(huì)逐漸減小，若Sh不減小反而增加時(shí)，表明成分個(gè)數(shù)太大已造成過度擬合；Rh則反映了成分?jǐn)?shù)為h時(shí)，在交叉舍一方法下計(jì)算的預(yù)測誤差標(biāo)準(zhǔn)差，與Sh同理，若其減小不明顯或者增加時(shí)，成分?jǐn)?shù)的增加將造成過度擬合。

圖5是h為1～6時(shí)，Sh與Rh的變化情況。從圖5可看出，由于樣本數(shù)據(jù)較少，在實(shí)際數(shù)據(jù)處理中無法通過Rh獲取成分?jǐn)?shù)的最優(yōu)點(diǎn)，因此本文直接采用回歸數(shù)據(jù)下的誤差標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行最優(yōu)判斷，即選取成分?jǐn)?shù)h=4。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，以h、vf、Tz作為自變量，并進(jìn)行樣條變換，同時(shí)以平面粗糙度Ra作為因變量，最后通過軟件編寫程序進(jìn)行PLSR迭代計(jì)算，求得標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程

圖5 誤差標(biāo)準(zhǔn)差Sh和預(yù)測誤差標(biāo)準(zhǔn)差RhFig.5 Standard deviationSh of error and standard deviation Rhof prediction error

(20)

y=4.874 0+0.060 3x1+39.942 9x2-

0.904 1z3,0-0.226 0z3,1+2.657 5z3,2+

0.890 4z3,3+0.904 1z3,4-0.664 4z3,5-

2.657 5z3,6

(21)

最后將樣條函數(shù)變換式(21)帶入轉(zhuǎn)化為實(shí)際參數(shù)，即求出Ra。從回歸方程可以看出，水平打印表面的粗糙度主要受打印速度與絲材擠出溫度的影響，而打印分層高度對其影響有限。圖6是在打印分層高度h=0.06 mm時(shí)，根據(jù)回歸方程模擬的水平面粗糙度，從圖中可看出，隨著打印速度增大，水平面粗糙度呈現(xiàn)整體增大的趨勢；對于絲材擠出溫度，則是在可調(diào)區(qū)間內(nèi)存在最適溫度，這與實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出來的結(jié)果基本相符。

圖6 不同絲材擠出溫度及打印速度下的水平面粗糙度變化曲面Fig.6 Surface of horizontal roughness variation under different extrusion temperature and printing speed

3.3 數(shù)據(jù)校驗(yàn)

圖7 PLSR模型預(yù)測值與實(shí)測值的對比結(jié)果Fig.7 Comparison results of predicted values and measured values with the PLSR model

4 結(jié)語

通過提出一種基于參數(shù)三次曲線與多段直線擬合的絲寬模型，結(jié)合粗糙度的幾何機(jī)理，對FDM打印件的水平表面粗糙度進(jìn)行建模，得到了水平表面粗糙度的一般理論模型，并在此分析上，從多個(gè)加工參數(shù)中選擇3個(gè)主要參數(shù)作為控制變量，并通過基于樣條變換的非線性偏最小二乘回歸(PLSR)，實(shí)現(xiàn)了粗糙度參數(shù)預(yù)測模型的建立。PLSR模型較為直觀明了地解釋了主要參數(shù)對水平面粗糙度的影響程度與方向。最后通過不同的實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)對回歸預(yù)測模型完成了校驗(yàn)，獲得了較好的預(yù)測精度。該分析方法從FDM成型件的水平表面粗糙度出發(fā)，為FDM打印設(shè)備的設(shè)計(jì)與調(diào)試提供理論依據(jù)與重要參考，提高了打印質(zhì)量預(yù)測的效率。