一種針對(duì)局部結(jié)構(gòu)的有限元模型修正方法

范新亮，王彤，夏遵平

南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016

有限元模型修正首先在航空航天領(lǐng)域提出，發(fā)展至今日已形成了一個(gè)龐大的理論體系，并且廣泛應(yīng)用于運(yùn)載火箭、衛(wèi)星、航天飛機(jī)、飛機(jī)、直升機(jī)等結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與載荷預(yù)示、顫振分析、振動(dòng)控制[1]。模型修正可基于不同的特征進(jìn)行，主流的有基于頻域模態(tài)參數(shù)、頻響函數(shù)(Frequency Response Function,FRF)的方法以及基于時(shí)域動(dòng)響應(yīng)的方法。其中時(shí)域方法雖抗噪性相比前兩者稍弱，但獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)簡(jiǎn)便，且對(duì)于包含非線性的結(jié)構(gòu)[2]、運(yùn)行狀態(tài)的結(jié)構(gòu)[3]等難以利用模態(tài)或頻響函數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型修正的情形仍適用。Modak等[4]通過數(shù)值仿真詳細(xì)對(duì)比了基于模態(tài)與基于頻響函數(shù)的方法[5-9]的差異及收斂性?；谀B(tài)參數(shù)的方法簡(jiǎn)單有效，在多數(shù)情形下能給出較滿意的修正結(jié)果，但也存在一些缺陷：如模態(tài)參數(shù)提取過程引入了誤差及不確定性[10]，待修正參數(shù)數(shù)目受到測(cè)試模態(tài)數(shù)量的限制?；陬l響函數(shù)的方法則避免了提取模態(tài)參數(shù)帶來的誤差，且具有大量數(shù)據(jù)可供修正以解決待修正參數(shù)眾多的問題。

普遍的模型修正算法均是對(duì)整體結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行修正，但有限元模型不確定性常存在于某些關(guān)鍵的局部區(qū)域，例如飛機(jī)各個(gè)部件的連接區(qū)域、機(jī)械結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)點(diǎn)、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承等，且這類局部區(qū)域所在的子結(jié)構(gòu)(局部結(jié)構(gòu))無法從整體結(jié)構(gòu)中拆卸，或其組裝至整體結(jié)構(gòu)上的動(dòng)態(tài)特性與獨(dú)立狀態(tài)有所差異，此時(shí)往往需要利用整體結(jié)構(gòu)的測(cè)試信息對(duì)其有限元模型進(jìn)行迭代修正，計(jì)算效率較低。對(duì)此，Weissenburger[11]提出了一種預(yù)測(cè)局部結(jié)構(gòu)的參數(shù)變化對(duì)整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性影響的方法。Zhu等[12]使用主模態(tài)縮聚殘余結(jié)構(gòu)，并以局部區(qū)域?qū)?yīng)的子結(jié)構(gòu)有限元模型中的物理參數(shù)和殘余結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)作為優(yōu)化變量，極小化結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征方程的殘差來修正整體結(jié)構(gòu)的有限元模型。翁順等[13]提出了一種基于子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正方法，當(dāng)結(jié)構(gòu)僅局部參數(shù)變化時(shí)只需分析局部區(qū)域所對(duì)應(yīng)子結(jié)構(gòu)即可求解整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征量靈敏度矩陣。上述研究都有效提高了大型結(jié)構(gòu)有限元模型修正的效率，但均為基于模態(tài)參數(shù)的方法。在基于頻響函數(shù)的方法中，Guo等[14]推導(dǎo)了一種考慮殘余結(jié)構(gòu)約束的局部結(jié)構(gòu)應(yīng)變頻響函數(shù)的近似計(jì)算方法，并根據(jù)其靈敏度建立了針對(duì)局部區(qū)域進(jìn)行模型修正的方程，該方法與Zhu等[12]所提方法均對(duì)殘余結(jié)構(gòu)進(jìn)行了縮聚而保留了完備的局部結(jié)構(gòu)，然而并未對(duì)縮聚誤差對(duì)修正結(jié)果的影響進(jìn)行討論。綜上，若能得到整體結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)與獨(dú)立狀態(tài)下的局部結(jié)構(gòu)的關(guān)系，則可直接利用整體結(jié)構(gòu)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)獨(dú)立狀態(tài)下的局部結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行修正，從而顯著提高效率。

本文根據(jù)頻響函數(shù)解耦理論得到的整體結(jié)構(gòu)與獨(dú)立狀態(tài)的局部結(jié)構(gòu)兩者間頻響函數(shù)的關(guān)系式，將包含待修正參數(shù)的局部結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度矩陣與殘余結(jié)構(gòu)有限元頻響函數(shù)耦合得到整體結(jié)構(gòu)擬合頻響函數(shù)，通過極小化其與測(cè)量值的殘差得到待修正參數(shù)的估計(jì)值，從而推導(dǎo)了以局部結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)矩陣表示的整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)殘差關(guān)于待修正參數(shù)的靈敏度方程。因此，當(dāng)結(jié)構(gòu)建模誤差僅發(fā)生在局部區(qū)域時(shí)，利用該方程可對(duì)分離出的局部結(jié)構(gòu)單獨(dú)進(jìn)行有限元模型修正，將殘余結(jié)構(gòu)與更新的局部結(jié)構(gòu)重新裝配即得到修正后的整體結(jié)構(gòu)有限元模型。最后，通過仿真和實(shí)驗(yàn)算例驗(yàn)證了該方法的有效性和抗噪性。

1 理論背景

1.1 局部結(jié)構(gòu)頻響識(shí)別方法

為了利用整體結(jié)構(gòu)測(cè)試頻響函數(shù)對(duì)獨(dú)立狀態(tài)下的局部結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行修正，首先需要建立整體結(jié)構(gòu)與局部結(jié)構(gòu)之間頻響函數(shù)的關(guān)系，即頻響函數(shù)解耦問題[15-19]。

圖1 局部結(jié)構(gòu)與殘余結(jié)構(gòu)Fig.1 Local structures and residual structures

整體結(jié)構(gòu)、殘余結(jié)構(gòu)及局部結(jié)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系分別為

HAFA=XA,HRFR=XR,HLFL=XL

(1)

式中：HA、HR和HL分別為整體結(jié)構(gòu)、殘余結(jié)構(gòu)和局部結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣。

根據(jù)界面力協(xié)調(diào)條件及位移協(xié)調(diào)條件有

(2)

設(shè)在殘余結(jié)構(gòu)VR內(nèi)部節(jié)點(diǎn)中所選測(cè)試自由度對(duì)應(yīng)的位移矢量為XI*=PI*TXI，其中PI*為XI*T各列在XIT中的位置矩陣。定義偽測(cè)試自由度為VR內(nèi)部測(cè)試自由度與完備界面自由度的并集，則V與VR在偽測(cè)試自由度上的位移矢量XA*、XR*為

(3)

(4)

相應(yīng)載荷矢量為FA*=PA*TFA及FR*=PA*TFR。而VL在完備界面自由度上的位移矢量XL*為

(5)

其載荷矢量為FL*=PLTFL。在上述位移矢量XA*、XR*及XL*上，式(1)成為

(6)

式中：頻響函數(shù)子矩陣HA*、HR*與HL*分別為

并將式(6)按VR內(nèi)部測(cè)試自由度與完備界面自由度寫為分塊形式

(7)

(8)

(9)

(10)

其中

(11)

式中：HR*與HC*分別為由殘余結(jié)構(gòu)與局部結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算得到的頻響函數(shù)。

式(10)即為有限元模型整體結(jié)構(gòu)V與殘余結(jié)構(gòu)VR、局部結(jié)構(gòu)VL間頻響函數(shù)的關(guān)系式，是后文推導(dǎo)針對(duì)局部結(jié)構(gòu)有限元模型修正公式的基礎(chǔ)。由式(3)注意到偽測(cè)試自由度包含完備的界面自由度XJ，因此計(jì)入所有界面自由度時(shí)解耦式(10) 是精確的，若忽略某些自由度則界面力協(xié)調(diào)條件不完全成立，將引起近似誤差。

1.2 局部結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

假設(shè)整體結(jié)構(gòu)有限元模型中局部區(qū)域存在建模誤差，其待修正參數(shù)為θ，而殘余結(jié)構(gòu)不存在或近似不存在誤差。由式(10)知局部結(jié)構(gòu)與殘余結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)耦合所得整體結(jié)構(gòu)擬合頻響函數(shù)為

(12)

取由參數(shù)θ確定的殘差函數(shù)為

(13)

式中：ej為激勵(lì)自由度j在偽測(cè)試自由度中的位置向量；HA*ej為整體結(jié)構(gòu)偽測(cè)試自由度對(duì)應(yīng)的測(cè)試頻響函數(shù)。

采用極大似然估計(jì)來識(shí)別參數(shù)θ，使殘差vj取極小值，即參數(shù)θ所決定的整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)擬合值與測(cè)量值誤差最小。極大似然估計(jì)需要測(cè)量數(shù)據(jù)的“先驗(yàn)”噪聲信息，當(dāng)滿足互不相關(guān)的白噪聲假設(shè)時(shí)，“先驗(yàn)”信息可由測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)方差來代替[20]。對(duì)于具有No個(gè)輸出、Ni個(gè)輸入的頻響函數(shù)，共包含NoNi個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)所有頻率點(diǎn)處的頻響函數(shù)測(cè)量值相互獨(dú)立，則此NoNi個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(14)

式中：H為共軛轉(zhuǎn)置符號(hào)；ωk為第k個(gè)頻率點(diǎn)(為行文簡(jiǎn)潔，推導(dǎo)中非必要處略去ωk)；v由Ni個(gè)殘差向量vj組合而得；C為頻響函數(shù)噪聲的協(xié)方差矩陣，當(dāng)各列噪聲相互獨(dú)立時(shí)其為Cj組成的對(duì)角矩陣，且

(15)

根據(jù)極大似然估計(jì)原理得到等價(jià)極大似然函數(shù)為

(16)

式中：Nf為頻率點(diǎn)數(shù)目。將式(16)簡(jiǎn)寫為

L(θ)=Q(θ)HQ(θ)

(17)

(18)

根據(jù)Newton-Gauss方法知參數(shù)θ的迭代估計(jì)式為

J(θ(r))JH(θ(r))d(r+1)=-J(θ(r))Q(θ(r))

(19)

式中：d(r+1)為第r+1個(gè)迭代步的參數(shù)增量，即

d(r+1)=θ(r+1)-θ(r)

(20)

(21)

式(12)、式(18)代入式(21)左端雅可比矩陣可化簡(jiǎn)得

(22)

其中等效頻響函數(shù)定義為

(23)

式中：I為單位矩陣；DL(θ)為局部結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度矩陣，其參數(shù)化的表達(dá)式[12]為

(24)

AL(ω)=

(25)

(26)

式(24)代入式(22)得

(27)

其中

(28)

將式(27)代入式(21)得與ωk及ej對(duì)應(yīng)的迭代方程

(29)

(30)

式(30)即為求解待修正參數(shù)的迭代方程，簡(jiǎn)寫為

S(θ(r))d(r+1)=f(θ(r))

(31)

式中:f(θ)為待修正參數(shù)θ所確定的整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)擬合值與測(cè)量值的加權(quán)殘差；S(θ)為以局部結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)矩陣MLe等表示的殘差f(θ)關(guān)于參數(shù)θ的靈敏度。綜上，對(duì)整體結(jié)構(gòu)測(cè)試得到HA*ej后，再由殘余結(jié)構(gòu)計(jì)算得到HR*，即可由式(31)對(duì)獨(dú)立狀態(tài)下的局部結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行修正。

1.3 算法實(shí)現(xiàn)相關(guān)問題

1.3.1 頻率點(diǎn)的篩選準(zhǔn)則

實(shí)際測(cè)試中，反共振區(qū)頻響函數(shù)易受到噪聲污染，而共振區(qū)不僅噪聲小，對(duì)參數(shù)變化的靈敏度高，并且其幅值能有效反映阻尼參數(shù)。因此在進(jìn)行模型修正的頻率范圍內(nèi)選擇共振區(qū)的頻率點(diǎn)，更容易得到穩(wěn)健的參數(shù)識(shí)別結(jié)果[21]。所提方法以頻響函數(shù)測(cè)試值與擬合值的殘差為最小化目標(biāo)函數(shù)，因此選取殘差較小的頻率點(diǎn)參與參數(shù)估計(jì)可有效減小測(cè)試噪聲的擾動(dòng)影響，故此處以頻響函數(shù)幅值相關(guān)性系數(shù)[14]作為篩選頻率點(diǎn)的準(zhǔn)則

(32)

1.3.2 局部結(jié)構(gòu)模型修正流程

局部結(jié)構(gòu)模型修正流程如圖2所示：

1) 將含建模誤差的局部結(jié)構(gòu)VL從整體結(jié)構(gòu)V中分離出來。確定完備界面自由度及其對(duì)應(yīng)的位置矩陣PR,J與PL、整體結(jié)構(gòu)偽測(cè)試自由度及其對(duì)應(yīng)位置矩陣PA*以及激勵(lì)自由度及其對(duì)應(yīng)位置向量ej。需要注意的是偽測(cè)試自由度并非真實(shí)進(jìn)行測(cè)試的自由度，因?yàn)橥陚涞慕缑孀杂啥刃畔缀醪豢赡苡稍囼?yàn)得到。并且偽測(cè)試自由度為真實(shí)測(cè)試自由度與完備界面自由度的并集。

圖2 局部結(jié)構(gòu)模型修正流程Fig.2 Process of model updating of local structures

6) 重復(fù)步驟3)～5)，直至滿足停止準(zhǔn)則。迭代結(jié)束后將局部結(jié)構(gòu)的修正參數(shù)代回整體結(jié)構(gòu)，即得到修正后的整體有限元模型。

注意到當(dāng)殘余結(jié)構(gòu)有限元模型規(guī)模較大時(shí)，HR*的計(jì)算量較大，因此HR*僅計(jì)算一次且在迭代中不重復(fù)該計(jì)算。由此可見，所提方法將無需進(jìn)行模型修正的殘余結(jié)構(gòu)的計(jì)算工作置于迭代之外，效率相比傳統(tǒng)方法得到了提高。進(jìn)一步地，可對(duì)殘余結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行縮聚后計(jì)算HR*，但這將引入額外誤差。此外，若直接從整體結(jié)構(gòu)測(cè)試數(shù)據(jù)中提取局部結(jié)構(gòu)信息[23]，即

(33)

(34)

而后利用所得HL*對(duì)獨(dú)立狀態(tài)下的局部結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行修正，將存在以下缺陷：需得到完整的測(cè)試頻響函數(shù)HA*，在實(shí)際中工程量巨大甚至難以實(shí)現(xiàn)；且提取HL*的過程需求解大量逆矩陣，使噪聲的擾動(dòng)放大而導(dǎo)致抗噪性較差[24]。

2 算例分析

2.1 仿真算例

采用某噴氣式飛機(jī)模型驗(yàn)證本文方法的有效性及抗噪性。模型整體結(jié)構(gòu)V及局部結(jié)構(gòu)VL、殘余結(jié)構(gòu)VR如圖3所示，采用Shell63板單元建模。其頻帶內(nèi)主要彈性模態(tài)為機(jī)翼一階、二階、三階彎曲及尾翼的彎曲。設(shè)置建模誤差存在于機(jī)翼所在局部區(qū)域，而機(jī)身與尾翼所在殘余結(jié)構(gòu)VR的模型參數(shù)無誤差。其中VL又劃分為蒙皮、襟翼、內(nèi)骨架等5個(gè)組(圖3)，每個(gè)組的彈性模量、密度及阻尼系數(shù)作為待修正參數(shù)θ。

以某組參數(shù)η*對(duì)應(yīng)的整體結(jié)構(gòu)有限元模型作為真實(shí)結(jié)構(gòu)，在所選激勵(lì)自由度及偽測(cè)試自由度上計(jì)算其頻響函數(shù)后添加10%噪聲(白噪聲與有色噪聲各5%)得到整體結(jié)構(gòu)測(cè)試頻響函數(shù)HA*ej；VR參數(shù)與η*中相應(yīng)分量ζ*(η*=[ζ*θ*])取相同，計(jì)算得偽測(cè)試自由度上殘余結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)HR*；VL的參數(shù)θ相對(duì)η*中相應(yīng)分量θ*設(shè)置一定的偏差作為待修正參數(shù)初始值，計(jì)算得初始局部結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)HL(θ(0))，并與HR*重構(gòu)得整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)初始擬合值，與測(cè)量值對(duì)比如圖4所示。

圖3 噴氣式飛機(jī)局部結(jié)構(gòu)與殘余結(jié)構(gòu)Fig.3 Local and residual structures of a jet

圖4 修正前整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)對(duì)比Fig.4 Comparison of global structure FRF before updating

圖5 修正后整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)對(duì)比Fig.5 Comparison of global structure FRF after updating

圖6 修正前后頻響函數(shù)幅值相關(guān)性對(duì)比Fig.6 FRF magnitude correlation coefficient plot before and after updating

圖7為θ(r)相對(duì)真實(shí)參數(shù)比值的迭代歷程以及修正前后對(duì)比，E1至E5、ρ1至ρ5分別為5個(gè)分組的彈性模量及密度。由圖知修正后大多參數(shù)收斂于真實(shí)值附近，僅ρ3及ρ5識(shí)別精度較差，推測(cè)其原因?yàn)槟繕?biāo)殘差函數(shù)對(duì)其靈敏度較小，使得該參數(shù)易受噪聲干擾。也正因此，在所分析頻段內(nèi)，該參數(shù)對(duì)整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性作用較小，其誤差不會(huì)影響修正后的整體模型預(yù)測(cè)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。通過該仿真算例表明所提方法能在噪聲干擾下有效地對(duì)含建模誤差的局部區(qū)域進(jìn)行修正，使得整體結(jié)構(gòu)模型的動(dòng)力學(xué)特性與真實(shí)情形一致。

圖7 迭代歷程及修正前后參數(shù)值對(duì)比Fig.7 Iterative process and comparison of parameters before and after updating

2.2 實(shí) 驗(yàn)

圖8 三角機(jī)翼飛機(jī)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.8 Experimental system for delta-winged aircraft

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)局部區(qū)域進(jìn)行模型修正的有效性，對(duì)三角機(jī)翼飛機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，如圖8所示。厚3 mm的機(jī)翼與尾翼通過螺栓與厚6 mm的機(jī)身連接，采用Shell63板單元建模并劃分為8個(gè)組(圖9)，且螺栓連接簡(jiǎn)化為固接。由于該結(jié)構(gòu)在低頻范圍內(nèi)主要為機(jī)翼的振動(dòng)，且機(jī)翼與機(jī)身連接處存在不確定的建模誤差，因此將機(jī)翼及其連接部分分離出來作為待修正的

圖9 三角機(jī)翼飛機(jī)有限元模型Fig.9 FE model of delta-winged aircraft

局部結(jié)構(gòu)VL，剩余部分則為近似無誤差的殘余結(jié)構(gòu)VR。實(shí)驗(yàn)中測(cè)試頻率范圍設(shè)置為100 Hz，取800條譜線。整體結(jié)構(gòu)采用彈性繩懸掛方式模擬自由—自由邊界條件，傳感器位于兩側(cè)機(jī)翼上，在均勻分布的41個(gè)測(cè)試點(diǎn)上進(jìn)行敲擊，獲得其頻響函數(shù)HA*ej。為抑制噪聲[23]，須合理選擇包含較多結(jié)構(gòu)信息的測(cè)試自由度集合。

表1 有限元模型參數(shù)Table 1 Design parameters of FEM

根據(jù)所提方法利用HA*ej和HR*對(duì)獨(dú)立狀態(tài)下的VL進(jìn)行修正后，將更新的VL重新與VR裝配即得到修正后的整體結(jié)構(gòu)有限元模型，其計(jì)算的頻響函數(shù)與測(cè)量值吻合較好(圖11)，且兩者幅值相關(guān)性相比修正前有了明顯的提高(圖12)。由此證明了所提方法能有效地對(duì)局部區(qū)域存在誤差的實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正。

圖10 修正前三角機(jī)翼飛機(jī)整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)對(duì)比Fig.10 Comparison of global structure FRF before updating for delta wing aircraft

圖11 修正后三角機(jī)翼飛機(jī)整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)對(duì)比Fig.11 Comparison of global structure FRF after updating for delta wing aircraft

檢驗(yàn)修正前后的模態(tài)特征量變化，如表2所示，修正前后平均頻率誤差由8.34%降低至0.39%， 振型相關(guān)性(MAC)平均值為0.95(圖13)。

圖14為整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)測(cè)試值與修正后的有限元模型計(jì)算值在全頻域的形狀[14]相關(guān)性，其相當(dāng)于MAC在頻域上的推廣，定義為

(35)

圖12 三角機(jī)翼飛機(jī)修正前后頻響函數(shù)幅值相關(guān)性對(duì)比Fig.12 FRF magnitude correlation coefficient plot before and after updating for delta wing aircraft

表2 修正前后各階頻率對(duì)比Table 2 Frequency comparison before and after updating

圖13 修正后振型相關(guān)性Fig.13 Modal assurance criterion after updating

式中：ωTk、ωFi分別為測(cè)試頻響函數(shù)與有限元模型計(jì)算頻響函數(shù)的頻率點(diǎn)。顯然，有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)越接近，αs的對(duì)角元素越接近1。由圖14知修正后的整體結(jié)構(gòu)有限元模型的準(zhǔn)確度相比修正前明顯改善。

圖14 修正前后頻響函數(shù)形狀相關(guān)性對(duì)比Fig.14 FRF shape correlation coefficient plot before and after updating

3 結(jié) 論

本文提出了一種針對(duì)局部結(jié)構(gòu)的有限元模型修正方法。通過數(shù)值算例與實(shí)驗(yàn)算例表明：

1) 對(duì)于一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)構(gòu)建模誤差可以確定為僅發(fā)生在某些關(guān)鍵的局部區(qū)域時(shí)，利用整體結(jié)構(gòu)測(cè)試頻響函數(shù)及近似無誤差的殘余結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)可直接對(duì)獨(dú)立狀態(tài)下的局部結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正，將更新的局部結(jié)構(gòu)模型與殘余結(jié)構(gòu)重新裝配即得修正后的整體結(jié)構(gòu)有限元模型。

2) 在測(cè)試噪聲較大、頻響函數(shù)初始擬合值與測(cè)試值殘差較大、待修正參數(shù)較多等復(fù)雜情形下，所提方法仍具有較好的收斂性。

3) 對(duì)三角機(jī)翼飛機(jī)的機(jī)翼所在局部區(qū)域進(jìn)行修正后，所計(jì)算的整體有限元模型動(dòng)態(tài)特性與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合較好，表明所提方法能適用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的模型修正，并提高效率。