基于上限定理的淺埋巷道掌子面穩(wěn)定性分析

王國(guó)科

(浙江佳途勘測(cè)設(shè)計(jì)有限公司,浙江 麗水 323000)

巷道開挖后,巖土原有的應(yīng)力平衡被破壞,應(yīng)力重新調(diào)整,掌子面形成應(yīng)力集中,極易形成垮塌破壞,進(jìn)而造成重大損失.因此,確定圍巖壓力成為掌子面穩(wěn)定性分析中的關(guān)鍵問題,研究巷道掌子面的穩(wěn)定性問題具有重要的理論價(jià)值和工程意義.

在巖土工程領(lǐng)域中,極限分析理論具有計(jì)算過程簡(jiǎn)單、快捷,計(jì)算結(jié)果較準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)[1],所以,近幾年在分析隧道穩(wěn)定性問題中運(yùn)用較廣泛,基于非線性準(zhǔn)則和極限分析法求解圍巖壓力已經(jīng)被國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者采用[1].Daniel等[2]采用剛性塊上限法和有限元極限分析法研究了方形巷道在不排水黏土中的穩(wěn)定性,但是方形巷道在工程應(yīng)用中并不多見,不太具有實(shí)際意義;Kentaro等[3]研究了在荷載作用下黏性土中雙圓弧巷道的穩(wěn)定性問題,將雙圓弧巷道的中心距作為一個(gè)新的問題參數(shù),采用有限元極限分析技術(shù)得到了最終的附加荷載，但是其模式構(gòu)建方法比較復(fù)雜,不便于在實(shí)際工程中進(jìn)行推廣和應(yīng)用;Huang等[4]研究了不排水黏性土不排水隧洞的穩(wěn)定性,用多剛體塊上限法得到了圍巖壓力的上限解析解,并對(duì)淺埋巷道平面應(yīng)變穩(wěn)定問題進(jìn)行了較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè),但假定剪切強(qiáng)度隨深度呈線性增加不太符合實(shí)際;Salvador等[5]基于極限分析法構(gòu)建了隧道的旋轉(zhuǎn)面垮塌機(jī)制,預(yù)測(cè)了臨界壓力和垮塌的類型;Nima等[6]將土體黏聚力的線性變化與深度的極限分析的上限定理應(yīng)用于封閉面開挖巷道掌子面的壓力計(jì)算,采用強(qiáng)度折減法和上限定理計(jì)算了巷道掌子面失穩(wěn)的安全系數(shù),分析采用平均土壤凝聚力和局部凝聚力會(huì)在施工中帶來(lái)的不良后果,但并未給出適合的土壤凝聚力的取值范圍;楊小禮等[7]根據(jù)極限分析上限定理,推導(dǎo)了圓形淺埋巷道圍巖壓力的計(jì)算公式,并計(jì)算出了圍巖壓力的最優(yōu)解,但其使用的圓形巷道破壞模式不太適用于實(shí)際工程中;Davis等[8]假定了4種不同的破壞模式,根據(jù)極限分析法上限定理對(duì)黏性土在不排水條件下的淺埋巷道的圍巖穩(wěn)定性進(jìn)行了分析;張佳華等[9]根據(jù)虛功率原理,從能量的角度出發(fā),對(duì)淺埋偏壓巷道的穩(wěn)定性系數(shù)和支護(hù)力進(jìn)行求解,并且對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比與分析,但其計(jì)算的精度有待提高;楊子漢等[10]通過構(gòu)建二維多塊體滑移破壞模式,采用極限分析法得到了不同飽和度下計(jì)算巷道掌子面破壞范圍的公式，該多塊體破壞模式并不是真正意義上的破壞模式,還需要做進(jìn)一步的改進(jìn).

上述研究運(yùn)用極限分析上限定理研究巷道穩(wěn)定性問題,并且分別采用的是Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則或Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則.但是Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則和Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則都有一定的局限性,Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則更適合土體,Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則更適合于巖體.而非線性Baker破壞準(zhǔn)則包括了這兩種破壞準(zhǔn)則,適用范圍也更加廣泛.為了擴(kuò)大適用范圍,本文采用非線性Baker破壞準(zhǔn)則,運(yùn)用極限分析上限法研究巷道開挖掌子面的穩(wěn)定性.

1 非線性Baker破壞準(zhǔn)則及其切線技術(shù)

Baker[11,12]基于三軸試驗(yàn)和已有試驗(yàn)研究結(jié)果,提出了一種廣義的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則.Baker提出的非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則如式(1).

(1)

式中:τ表示剪切應(yīng)力；Pa表示大氣壓強(qiáng)；σn表示法向應(yīng)力；A,n和T為相關(guān)參數(shù).

通過切線技術(shù)[15],將非線性Baker強(qiáng)度準(zhǔn)則式(1)寫成Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的形式,式(1)通過固定點(diǎn)(0,PaATn)和(-PaT,0)兩點(diǎn).將式(1)繪制成曲線,見圖1.

圖1 非線性Baker破壞準(zhǔn)則表示的強(qiáng)度曲線

對(duì)于強(qiáng)度包絡(luò)線上的任意一點(diǎn)M,其對(duì)應(yīng)的Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的表達(dá)式為

τ=ct+tanφt·σn.

(2)

式中:ct和φt分別為M點(diǎn)處的黏聚力和內(nèi)摩擦角,可由式(3)和(4)確定.

(3)

(4)

其中式(4)即為Baker強(qiáng)度準(zhǔn)則下幾個(gè)非線性參數(shù)的關(guān)系式.

2 極限分析上限定理

極限分析法以一種理想的方式考慮了巖土體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.上限定理要求對(duì)于任意機(jī)動(dòng)容許的破壞機(jī)制,內(nèi)能損耗率不小于外力功率,可用式(5)表示.

(5)

3 破壞模式的構(gòu)建

許敬叔等[16]采用的對(duì)數(shù)雙螺旋破壞模式已被證明適用于淺埋巷道掌子面的穩(wěn)定性研究.本文基于對(duì)數(shù)雙螺旋破壞模式構(gòu)建的掌子面前方土體的主動(dòng)破壞模式，如圖 2所示.破壞范圍由兩條對(duì)數(shù)螺旋線HE和BE組成,ra,rb分別表示OH,OB的長(zhǎng)度.O為HE和BE的旋轉(zhuǎn)中心.兩條對(duì)數(shù)螺旋線繞旋轉(zhuǎn)中心O點(diǎn)以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng).兩條對(duì)數(shù)螺旋線相交于E點(diǎn),在E點(diǎn)形成一個(gè)大小為2φt的夾角.OH,OB,OE與豎直方向的夾角分別為θ1,θ2,θ3.C表示巷道的深度,D表示巷道的寬度.HB為巷道的掌子面.開挖過程中,掌子面的支護(hù)荷載視為均布荷載,用σ0表示.

圖2 淺埋巷道掌子面破壞模式

其中:對(duì)數(shù)螺旋線HE和BE的表達(dá)式如式(6)和式(7)所示.

r1=raexp[(θ1-θ)tanφt];

(6)

r2=rbexp[(θ-θ2)tanφt].

(7)

根據(jù)幾何關(guān)系式可得式(8)～式(10):

(8)

(9)

(10)

式中:ra和rb為θ1和θ2的函數(shù);θ3為θ1和θ2的函數(shù).

4 計(jì)算過程

4.1 土體重力功率的計(jì)算

為了方便計(jì)算土體重力的功率,將破壞模式分成BHF和BFE這2個(gè)部分分別計(jì)算各自土體重力的功率,如圖2所示.兩部分土體重力的功率之和即為所求的土體重力功率.

在區(qū)域OHF中,土體重力的外功率可用式(11)計(jì)算.

(11)

其中函數(shù)f1(θ1,θ2)的表達(dá)式為

f1(θ1,θ2)=exp(3θ1){-3tanφt[exp(-3θ2tanφt)sinθ2-exp(-3θ1tanφt)sinθ1]-

exp(-3θ2tanφt)cosθ2+exp(-3θ1tanφt)cosθ2}/[3(1+9tan2φt)].

(12)

三角形區(qū)域OHB的土重做功的功率可用式(13)表示.

(13)

式(13)即三角形區(qū)域OHB的面積與土重γ與其重心處的速度在豎直方向的分量的乘積,其中函數(shù)f2(θ1,θ2)的表達(dá)式為

(14)

由此可得區(qū)域BHF土體重力做功的功率為區(qū)域OFH的土重做功的功率減去區(qū)域OHB的土重做功的功率,即:

W1=WOFH-WOHB.

(15)

對(duì)數(shù)螺旋線區(qū)域OBE的土體重力做功功率為

(16)

其中,函數(shù)f3(θ2,θ3)的表達(dá)式為

f3(θ2,θ3)={3tanφt[exp(3θ3tanφt)sinθ3-exp(3θ2tanφt)sinθ2] -exp(3θ3tanφt)cosθ3+

exp(3θ2tanφt)cosθ2}/[3exp(3θ2tanφt)(1+9tan2φt)].

(17)

對(duì)數(shù)螺旋線區(qū)域OFE的土重做功功率為

(18)

其中函數(shù)f4(θ2,θ3)的表達(dá)式為

f4(θ2,θ3)=exp(3θ1tanφt){-3tanφt[exp(-3θ3tanφt)sinθ3-exp(-3θ2tanφt)sinθ2]-exp(-3θ3tanφt)cosθ3+exp(-3θ2tanφt)cosθ2}/[3(1+9tan2φt)].

(19)

所以對(duì)數(shù)螺旋區(qū)域BFE的土體重力做功的功率可表示為

W2=WOFE-WOBE.

(20)

整個(gè)破壞模式土體重力做功功率為區(qū)域BHF與區(qū)域BFE兩部分的土體重力做功的功率之和,即:

W=W1+W2.

(21)

4.2 掌子面圍巖壓力功率計(jì)算

σ0可簡(jiǎn)化成均勻分布,其做功功率可用式(22)計(jì)算:

(22)

式中:f5(θ1,θ2)的表達(dá)式如式(23).

(23)

4.3 內(nèi)能損耗率計(jì)算

掌子面前方土體不同點(diǎn)的速度的大小和方向都不相同,內(nèi)能損耗發(fā)生在兩個(gè)速度間斷面HE與BE上,速度間斷面BE與HE上的內(nèi)能損耗可分別由式(24)和式(25)計(jì)算.

(24)

(25)

(26)

(27)

破壞模式總的內(nèi)能損耗功率為

D=DHE+DBE.

(28)

4.4 圍巖壓力的求解

根據(jù)外功率等于內(nèi)能損耗率,則有

D=W+P.

(29)

將式(21)、式(22)和式(28)代入式(29),通過數(shù)學(xué)方法化簡(jiǎn),計(jì)算,即可得到圍巖壓力的最終表達(dá)式為

(30)

式中:f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7為θ1和θ2的函數(shù).那么圍巖壓力σ0也為θ1和θ2的函數(shù).

4.5 約束條件的確定

為求出式(30)的最大值,需要在一定的約束條件下對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化,式中的物理參數(shù)要符合巖土體材料的特性,幾何參數(shù)要具有實(shí)際的幾何意義.綜上,可確定約束條件如式(31).

(31)

結(jié)合上限定理,采用序列二次規(guī)劃算法,通過Matlab軟件編程來(lái)求解σ0的最優(yōu)解.

5 結(jié)果分析

本文主要研究Baker準(zhǔn)則中的3個(gè)參數(shù)A,T,n及埋深比C/D,土體容重γ對(duì)巷道破壞的影響.在計(jì)算中,各相關(guān)的參數(shù)取值為土體容重γ=20～24 kN/m3,C/D=1.0～2.0.無(wú)量綱參數(shù)A=0.4～0.8.T=0.01～0.05.n=0.5～0.9.計(jì)算結(jié)果如圖3～圖8所示.

圖3 γ和C/D對(duì)圍巖壓力σ0的影響

圖4 無(wú)量綱參數(shù)A和n對(duì)圍巖壓力σ0的影響

圖5 無(wú)量綱參數(shù)A和n對(duì)圍巖壓力σ0的影響(T=0)

圖6 無(wú)量綱參數(shù)T和n對(duì)圍巖壓力σ0的影響

圖7 無(wú)量綱參數(shù)n和A對(duì)圍巖壓力σ0的影響

圖8 無(wú)量綱參數(shù)A和T對(duì)圍巖壓力σ0的影響

埋深比C/D從1.0～2.0變化,土體容重γ分別為20,21,22,23,24 kN/m3條件下,C/D和γ對(duì)圍巖壓力σ0的影響見圖3.從圖3中可以看出:在γ相同的條件下,圍巖壓力幾乎不隨C/D變化;在C/D相同的條件下,圍巖壓力隨γ的增加而增加.

當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)T=0.001 5,A從0.4～0.8變化,n分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9條件下,A和n對(duì)圍巖壓力σ0的影響見圖4.從圖4中可以看出:在n相同的條件下,圍巖壓力σ0隨著A的增加而減小;在A相同的條件下,圍巖壓力σ0隨著n的增大而增大.在此特別討論了當(dāng)T=0時(shí)的情況,T=0為純摩擦材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則(PF模型),見圖5.結(jié)果表明T=0的變化規(guī)律和T≠0時(shí)基本相同.當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)A=0.5,T從0.01～0.05變化,n分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9條件下,T和n對(duì)圍巖壓力σ0的影響見圖6.從圖6中可以看出:在n相同的條件下,圍巖壓力σ0隨著T的增加而減小;在T相同的條件下,圍巖壓力σ0隨著n的增大而增大.當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)T=0.001 5,n從0.5～0.9變化,A分別為0.4,0.5,0.6,0.7,0.8條件下,A和n對(duì)圍巖壓力σ0的影響見圖7.從圖7中可以看出:在T相同的條件下,圍巖壓力σ0隨著A和n的增加而增加.當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)n=0.5,A從0.4～0.8變化,T分別為0.01,0.02,0.03,0.04,0.05條件下,A和T對(duì)圍巖壓力σ0的影響見圖8.從圖8中可以看出:在T相同的條件下,圍巖壓力σ0隨著A的增加而減小;在A相同的條件下,圍巖壓力σ0隨著T的增大而減小.

繪制了不同埋深比和無(wú)量綱參數(shù)A,T,n對(duì)破壞模式的形狀的影響,結(jié)果如圖9所示.

圖9 各參數(shù)對(duì)破壞模式的影響

埋深比對(duì)破壞范圍的形狀影響如圖9a所示,從圖9a中可以看出,埋深比的變化并不會(huì)影響破壞范圍的形狀,但是會(huì)影響破壞范圍是否會(huì)伸出地表.如果埋深比過小,破壞模式會(huì)在地面發(fā)生拱起破壞,最小埋深比應(yīng)大于1.5.無(wú)量綱參數(shù)A,T,n對(duì)破壞模式的影響如圖9b～圖9d所示.從圖中可以看出,當(dāng)A減小時(shí),破壞范圍逐漸增大,由掌子面向前方外擴(kuò),破壞模式的形狀由短胖變得狹長(zhǎng);當(dāng)n逐漸增大時(shí),破壞范圍逐漸減小,與A不同的是,其主要影響的是“牛角”下方的范圍,即影響破壞范圍的深度；而T對(duì)破壞模式的形狀基本無(wú)影響.

6 結(jié)論

1)非線性Baker準(zhǔn)則的3個(gè)參數(shù)對(duì)圍巖壓力和掌子面破壞范圍的影響各不相同.

2)隨著A的增大,圍巖壓力非線性減小,破壞范圍不斷擴(kuò)大.

3)隨著n的增大,圍巖壓力非線性增大,破壞范圍也呈增大趨勢(shì).

4)隨著T的增大,圍巖壓力呈線性遞減的趨勢(shì),破壞范圍幾乎無(wú)變化.