化靜為動，發(fā)展空間觀念
——以“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)為例

□曹冠軍

皮亞杰的研究表明：靜態(tài)表象只能產(chǎn)生物理經(jīng)驗(yàn)，動態(tài)表象是學(xué)習(xí)數(shù)理——邏輯經(jīng)驗(yàn)生成的源泉。讓靜止的圖形動起來，化抽象為直觀，有利于學(xué)生直觀洞察、分析推理、發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，對圖形形成深刻表象，進(jìn)而深化轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)建知識體系，培養(yǎng)學(xué)生化靜為動的思維方式。

一、動態(tài)展示形成過程，形成深刻表象

教師通過動態(tài)展示，運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等幾何變換方法，可以直觀地呈現(xiàn)圖形變化、形成的過程，引導(dǎo)學(xué)生溝通和感受圖形之間的關(guān)系，形成深刻表象，促進(jìn)對圖形的本質(zhì)理解，完善知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間觀念。

如“柱體的體積”教學(xué)中，要計(jì)算立體圖形（如右圖）的體積，學(xué)生可能會運(yùn)用不同的方法：

方法1—方法3，運(yùn)用的是“割補(bǔ)法”，方法4則是通過單位立方體的層層“累加”得出結(jié)果。通過溝通不同方法間的聯(lián)系，學(xué)生體會到如果每一層的體積單位相同，那么不規(guī)則的立體圖形也可以是一層一層體積單位的累加，用底面積×高的方法計(jì)算，立體圖形在疊加中動了起來，學(xué)生更加深刻地理解，在求不規(guī)則柱體體積時可運(yùn)用不同的轉(zhuǎn)化方法，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)溫故而知新。

之后教師還可以通過這樣的題目進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對不規(guī)則立體圖形進(jìn)行正反辨析，以完善和深化學(xué)生對柱體概念本質(zhì)的理解，形成深刻的表象。

下列哪些圖形的體積可以用“V=Sh”來計(jì)算。

通過找到底面的體積單位，引導(dǎo)學(xué)生觀察是否可以一層一層地累加上去，在平移過程中圖形的形狀、大小不變。尤其是圖形⑥和圖形⑦的展示，進(jìn)一步豐富了柱體概念，拓寬了學(xué)生的視野。

二、動態(tài)剖析變化瞬間，深化轉(zhuǎn)化思想

教師在教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生提供豐富的“動態(tài)素材”，讓學(xué)生通過動手實(shí)踐，直接感知圖形的特點(diǎn)，體驗(yàn)圖形的變化過程，引導(dǎo)學(xué)生通過操作與想象相結(jié)合的方式去觀察與思考問題，從而積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)，深化轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)而對圖形有更深刻的認(rèn)識和感受，發(fā)展空間觀念。

如在“三角形等積變形”的教學(xué)中，教師呈現(xiàn)學(xué)習(xí)任務(wù)：以BC為底，畫出與△ABC面積相等的三角形（如右圖）。請獨(dú)立完成，并清楚地表示出三角形的高。

交流反饋：

師：比較這三種方法，哪種更簡潔？生：添上兩條平行線的方法3。

師：為什么添上平行線更加簡潔？生：不需要量高，高都一樣長。

生：這些高就是兩條平行線之間的距離。

師小結(jié)：剛才量高的方法，如果量得準(zhǔn)確一點(diǎn)，得到的這些三角形的頂點(diǎn)都會在上面這條平行線上，并且這些三角形的高就是兩條平行線之間的距離。

師：BC底不動，現(xiàn)在把三角形的頂點(diǎn)A向左移動，它會是一個什么三角形？（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形）

師：把頂點(diǎn)A向右移動。像這樣的三角形可以畫多少個？

師：在三角形的頂點(diǎn)移動的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師小結(jié)：我們把這些三角形叫作等底等高的三角形，等底等高的三角形面積相等。在兩條平行線之間，如果三角形的底相同，我們只要移動底對應(yīng)的頂點(diǎn)，就可以畫出無數(shù)個等底等高面積相等的三角形。

在教學(xué)中，激活、利用與提升學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)非常重要。教師引導(dǎo)學(xué)生展開自主探究，并通過有層次的展示交流，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些三角形的頂點(diǎn)都在上面一條平行線上，三角形的高就是兩條平行線之間的距離，從而引出平行線中底不動、頂點(diǎn)移動的過程?；o為動，學(xué)生在比較中感知、內(nèi)化等底等高的三角形模型的表象，為三角形的等積變形做鋪墊。

這一素材還可以再次被利用，讓學(xué)生的思維得到延續(xù)。

呈現(xiàn)要求：畫出與這兩個三角形面積之和相等的一個大三角形。

交流反饋：

生：方法1中，①號圖形的頂點(diǎn)移動到和②號的頂點(diǎn)重合，①號圖形與移動后的圖形同底等高面積相等，所以①和②的面積之和就是圖中陰影部分三角形的面積。

師：在這個轉(zhuǎn)化過程中，誰動了，誰沒動？

生：①號動了，②號沒動。

……

師：剛才這兩種方法有什么共同點(diǎn)？

生：只動了一個三角形。

師：但是在轉(zhuǎn)化過程中，這條底始終不動。

生：方法3中，①號②號的頂點(diǎn)都移動到中間某一點(diǎn)，移動后左邊三角形和①號圖形同底等高，右邊三角形與②號圖形同底等高。因此陰影中三角形的面積就是原來①號和②號的面積之和。

師：現(xiàn)在①號圖形和②號圖形都動了，但其中什么跟前面一樣一直都沒動？

生：底邊沒動。

師小結(jié)：三角形轉(zhuǎn)化成與它等底等高面積相等的三角形，這樣的轉(zhuǎn)化叫作三角形的等積變形。這三種方法都有一個共同點(diǎn)：這條底邊始終不動。兩條平行線之間，三角形等積變形的過程中，它們的頂點(diǎn)在移動，最后頂點(diǎn)重合在一起，組成了一個大三角形。在此基礎(chǔ)上學(xué)生還感受到，只要以兩個圖形的底的和為底，上頂點(diǎn)沿著上面這條平行線任意移動，得到的所有三角形的面積都是原來兩個三角形面積的和。這里把前面環(huán)節(jié)中內(nèi)化的模型表象外顯出來，以此進(jìn)一步深化表象，學(xué)生更深刻地理解三角形等積變形的本質(zhì)，思維在圖形運(yùn)動的過程中更加靈活。

三、動態(tài)溝通轉(zhuǎn)換關(guān)系，構(gòu)建知識體系

動靜結(jié)合的想象，少一些直觀演示，多一些空間想象，引導(dǎo)學(xué)生在腦海中對圖形進(jìn)行提取、改造、重組，建立空間表象，動態(tài)溝通圖形間的關(guān)系，有效建構(gòu)知識體系，使學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)思維體系，發(fā)展空間觀念。

如“圓錐的拓展練習(xí)”教學(xué)中，教師提出以下問題：如果直角△ABC的頂點(diǎn)A沿著中間這條平行線向右移動1.8cm（或向左移動1.2cm），它變成了一個什么三角形，繞BC旋轉(zhuǎn)后的體積是多少？

師：三種不同類型的三角形繞BC旋轉(zhuǎn)一周，在求所形成的圖形體積的過程中，有什么相同之處？

生：都可以把頂點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離作為圓錐的底面半徑，旋轉(zhuǎn)的那條邊作為高，轉(zhuǎn)化成一個大圓錐來求體積。

師：如果三角形的頂點(diǎn)沿著平行線的垂線向下移動到A1，并繞BC旋轉(zhuǎn)一周的體積是多少？

生：都可以轉(zhuǎn)化成底面半徑是4.8，高是10的圓錐，體積不變。

師：如果繼續(xù)往下移動到A3，體積還會不變嗎？

生：這個圖形的體積是大圓錐的體積減去小圓錐的體積：7.68π×（10+x）-7.68πx=76.8π。體積還是不變。

師：三角形頂點(diǎn)A移動的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：體積始終不變。體積與BC的長度和BC邊上的高有關(guān)。

生：我們都可以把它們轉(zhuǎn)化成以BC邊上的高為底，BC為高的一個圓錐來求體積。

頂點(diǎn)A在橫向、縱向移動的過程中，通過觀察、比較不同類型的三角形分別繞BC旋轉(zhuǎn)一周后圖形的體積，溝通方法間的共性，經(jīng)歷具體到抽象的概括過程，引導(dǎo)學(xué)生對方法進(jìn)行總結(jié)和歸一：把頂點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離作為圓錐的底面半徑，旋轉(zhuǎn)的那條邊作為圓錐的高，最后求圓錐的體積。

之后還可以繼續(xù)呈現(xiàn)任務(wù)：如圖，兩組平行線互相垂直，△ABC的兩條邊正好在兩組平行線上，如果△ABC的頂點(diǎn)C向下移動，并繞L2旋轉(zhuǎn)一周，所形成的圖形的體積是多少？

生：我們可以這樣想，這相當(dāng)于圓柱里面削去了兩個等底的小圓錐，也就是相當(dāng)于削去了一個與圓柱等底等高的圓錐，剩下的部分就是圓柱體積的

師：如果頂點(diǎn)C繼續(xù)往下移動呢？圖形的體積還會不變嗎？如果頂點(diǎn)C向下移動x厘米，圖形旋轉(zhuǎn)后的體積是多少？生：圖形的體積是大圓柱體積的減去小圓柱體積的6π×（8+x-x）=48π。體積始終不變。

頂點(diǎn)C移動到C'的過程中，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，深刻認(rèn)識圖形的體積始終是圓柱體積的，繼續(xù)深入探究，如果C繼續(xù)下移，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)C在L2上移動的過程中，體積始終不變，有效地溝通了三角形沿邊、沿頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后圖形間的關(guān)系，構(gòu)建知識體系。

綜上所述，化靜為動，讓學(xué)生學(xué)會“動態(tài)地想”，能“動態(tài)地想”，不斷創(chuàng)設(shè)讓靜止的圖形動起來的機(jī)會，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)想象的空間，可以有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展空間觀念。