基于(p, q)-整數(shù)的一類新的Durrmeyer型Baskakov算子的收斂階

蔡清波

(泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362000)

0 引言

2012年, 文獻(xiàn)[1]提出如下一類基于q-整數(shù)的修正Durrmeyer型q-Baskakov算子并得到收斂階和若干加權(quán)收斂性質(zhì).

(1)

這里,

(2)

(3)

基于算子(1)以及(p,q)-整數(shù)的定義, 提出如下一類新的保持線性函數(shù)的修正的Durrmeyer型Baskakov算子:

其中:x∈[0, ∞), 0

(5)

給出以下有關(guān)(p,q)-整數(shù)、 (p,q)-積分等若干定義, 具體可參考文獻(xiàn)[7-11].

第二類(p,q)-Beta函數(shù)定義為:

其中: Γp, q(n+1)=[n]p, q!.f(x)在[0, ∞)上的(p,q)-積分定義為:

1 一些引理

為了證明文中的主要結(jié)論, 需要如下一些引理.

引理1令0

證明 由(p,q)-Beta函數(shù)和(p,q)-Gamma函數(shù)的關(guān)系, 有：

由式(6)和式(4), 有：

另一方面, 存在：

最后, 由式(6)和式(4), 可得：

由于[k]q[k+1]q=[2]qqk-1[k]q+p2[k]q[k-1]q, 從而有：

證畢.

推論1令0

引理2[12]設(shè)序列q:={qn}={1-αn},p:={pn}={1-βn}使得當(dāng)n→∞時有: 0≤βn<αn<1,αn→0,βn→0. 那么， 以下結(jié)論成立：

2 主要結(jié)論

在給出主要結(jié)論之前, 需要引入以下定義.

ⅲ) 設(shè)f∈CB(I),δ>0, 則二階光滑模ω2(f,δ)可以定義為如下表達(dá)式：

ⅳ) 設(shè)f∈CB(I), 則Steklov平均函數(shù)fh(x)定義為：

(7)

(8)

ⅴ)Bx2(I):={f∈I:|f(x)|≤Mf(1+x2)}, 其中,Mf是僅依賴于f的正常數(shù).

ⅵ)Cx2(I):={f∈C(I):f∈Bx2(I)}.

首先, 給出如下加權(quán)逼近定理.

證明 根據(jù)Korovkin定理[15], 只需證明如下條件成立:

(9)

由引理1的前兩個等式易知式(9)對于i=0, 1是成立的. 當(dāng)i=2時, 有：

從而有,

由式(4)和引理1, 有：

由式(10)～(11)可知：

由K-泛函和二階光滑模的關(guān)系[14], 有：

其中:C是一正常數(shù). 定理2證畢.

下面, 應(yīng)用Steklov平均可得如下定理.

由Taylor展開、 引理1及式(8), 有：

定理4設(shè)f(x)∈Cx2(I),ωa+1(f,δ)是區(qū)間[0,a+1](a>0)上的連續(xù)模, 則當(dāng)n>2時, 有：

證明 當(dāng)x∈[0,a],t>a+1時, 存在：

當(dāng)x∈[0,a],t≤a+1時, 有:

(13)

由式(12)～(13)可得:

從而, 當(dāng)x∈[0,a],t≥0時, 由Schwarz不等式及推論1, 有:

證明 設(shè)x0>0, 有: