基于差分思想的高壓油管壓力控制

高峰 徐工 孫雪鵬

摘? 要：針對2019年“高教杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題——高壓油管的壓力控制，提出了一種基于差分思想的高壓油管內(nèi)壓力控制的建模方法。利用狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程與分段式處理得出了增壓階段單向閥開啟時(shí)長的控制方案，并進(jìn)一步驗(yàn)證與分析了模型的精度。分析結(jié)果表明：高壓油管內(nèi)部壓力穩(wěn)定在100MPa與150MPa時(shí)，單向閥開啟時(shí)長的相對誤差分別是1.19%與0.40%，模型精度高達(dá)98%以上，基于差分思想的數(shù)學(xué)建模方法可以有效控制高壓油管的內(nèi)部壓力，提高穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程;差分法;壓力控制;分段式處理;數(shù)值模擬

中圖分類號：O29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）27-0068-04

Abstract： Aiming at the A question in 2019 "Higher Education Cup" National Mathematical Contest in Modeling for College Students―pressure control of high pressure tubing， a modeling method of pressure control in high pressure tubing based on differential idea was proposed. The state transition equation and subsection processing are used to get the control scheme of the opening time of the one-way valve during the pressurization stage， and the accuracy of the model is further verified and analyzed. The analysis results show that when the internal pressure of high pressure tubing is stable at 100 MPa and 150 MPa， the relative error of one-way valve opening length is 1.19% and 0.40% respectively， and the model accuracy is over 98%. The mathematical modeling method based on difference idea can effectively control the internal pressure of and improve the stability of high pressure tubing.

Keywords： state transition equation; difference method; pressure control; piecewise treatment; numerical modeling

引言

燃油發(fā)動機(jī)作為目前技術(shù)和制造工藝最為成熟的熱功轉(zhuǎn)換裝置，在車輛運(yùn)輸，船舶動力和航空航天等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。而高壓油管作為燃油發(fā)動機(jī)的重要組成部件，決定著燃油發(fā)動機(jī)的工作效率[1]。然而，燃油進(jìn)入和噴出的過程具有間歇性，將引起高壓油管內(nèi)壓力發(fā)生變化，使噴出的燃油量與預(yù)期出現(xiàn)偏差，影響發(fā)動機(jī)的工作效率[2]。對高壓油管進(jìn)行相應(yīng)的壓力控制可以在一定程度上提高發(fā)動機(jī)工作效率[3]，故研究高壓油管的壓力控制機(jī)制具有著重要的意義。

高壓油管的壓力控制可以通過調(diào)節(jié)單向閥的開啟時(shí)長來實(shí)現(xiàn)，單次開啟時(shí)長直接地決定著高壓油管內(nèi)壓力的大小。蔡建明等[4]利用守恒思想和密度壓強(qiáng)之間的物理關(guān)系，得到了管內(nèi)壓強(qiáng)單向閥開啟一個(gè)周期內(nèi)壓強(qiáng)隨時(shí)間的變化。蔣思琦等[5]運(yùn)用質(zhì)量守恒建立微分方程模型，得到了恒壓條件下油管的噴油規(guī)律以及相應(yīng)情況下的閥門控制方案。楊永琪等[6]運(yùn)用流體流動方程、燃油進(jìn)出流量方程等方法，建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型，分析了高壓油管的壓力控制問題。

綜上所述，多數(shù)研究沒有采用在不同時(shí)間限定條件下油管增壓階段對時(shí)間進(jìn)行分段式處理的方法。此外，考慮到狀態(tài)方程作為解決各種熱力學(xué)關(guān)系、流體力學(xué)問題中扮演著重要角色[7-8]，故本文基于差分思想，構(gòu)建油體的狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程，確定了高壓油管分別穩(wěn)壓在100MPa和150MPa時(shí)的單向閥單次開啟時(shí)長，并采用對時(shí)間的分段式處理手段給定了限定時(shí)間為2s，5s，10s后油管內(nèi)增壓并趨于穩(wěn)定時(shí)單向閥開啟時(shí)長的調(diào)整方案。

1 問題描述

在給定的噴油器工作方法、高壓油管尺寸和初始壓力下，設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長，使高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa左右，并調(diào)整單向閥開啟的時(shí)長，使油管內(nèi)的壓力分別經(jīng)過約2s、5s和10s后實(shí)現(xiàn)從100MPa增加到150MPa且穩(wěn)定的狀態(tài)。噴油嘴的噴油速率及高壓油泵柱塞的壓油過程如圖1所示。

（a）噴油速率示意圖

（b）高壓油管示意圖

2 模型的建立與求解

2.1 基本假設(shè)

為便于問題的解決與模型的建立，提出以下幾點(diǎn)假設(shè)：（1）在進(jìn)油和出油的一個(gè)較短時(shí)間內(nèi)，假設(shè)油管內(nèi)的壓強(qiáng)P不變;（2）假設(shè)油管內(nèi)壓強(qiáng)為P時(shí)，油管各處壓強(qiáng)均勻分布;（3）流體在壓力差生成時(shí)的傳遞在毫米精度的高壓

油管內(nèi)看作是瞬時(shí)的;（4）假設(shè)高壓油管的容積不會因內(nèi)

部高壓油的作用而發(fā)生膨脹[9]。

2.2 流量狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程的模型構(gòu)建

燃油的壓力變化量？駐P與密度變化量？駐？籽成正比關(guān)系，且比例系數(shù)為，初始條件在壓強(qiáng)為100MPa情況下，燃油的密度為0.850mg/mm3，推導(dǎo)出二者的關(guān)系式為：

式中，流量系數(shù)C=0.85;A為小孔的面積，單位：mm2; ？駐P為小孔兩邊的壓力差，單位：MPa;？籽為高壓側(cè)燃油的密度，單位：mg/mm3;Q為單位時(shí)間內(nèi)流過某小孔A的燃油量（mm3/ms）。

高壓油泵在單位時(shí)間內(nèi)的供油量QA和噴油嘴在單位時(shí)間內(nèi)的輸油量QB對時(shí)間dt的累加和，在一個(gè)周期之內(nèi)可以看作是相等的，保證高壓油管中的壓力能夠穩(wěn)定在100MPa。單位時(shí)間內(nèi)可能出現(xiàn)的情況如表1所示。

對于高壓油管整體而言，每一時(shí)刻都存在上述情況的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。上一狀態(tài)A端流入的流量變化和B端流出的流量變化即為下一時(shí)刻高壓油管的流量變化，從一個(gè)周期的時(shí)間維度上看二者是沒有發(fā)生變化，故可以得出整體狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程：

式中，PA指A端流入的油體壓強(qiáng);V指高壓油管的體積;VA，B指A端流入或B端流出的油體體積;P和P′分別指高壓油管產(chǎn)生流量變化前后的壓強(qiáng)。利用差分的方法推進(jìn)狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程，即可求解出到達(dá)動態(tài)平衡狀態(tài)所需要的參數(shù)。

2.3 模型的求解

對于高壓油泵，根據(jù)已知數(shù)據(jù)和公式（3）計(jì)算出對應(yīng)壓力下的燃油密度，通過孔徑尺寸可以得到單向閥閥口面積，結(jié)合公式（4），能夠計(jì)算出單位時(shí)間內(nèi)的燃油流入量15.3506mm3/ms。對于噴油器，默認(rèn)外界標(biāo)準(zhǔn)大氣壓為101kPa，利用相同的方式能夠計(jì)算出單位時(shí)間內(nèi)的燃油輸出量。結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程，通過對瞬時(shí)流量的計(jì)算能夠得知每一時(shí)刻高壓油管內(nèi)部的流量變化。不斷更新下一狀態(tài)，利用均值函數(shù)尋找在周期范圍內(nèi)穩(wěn)定在100MPa的情況下所需要的單向閥開啟時(shí)間。基于Matlab編程求解的流程如圖3所示。

基于上述差分思想求解得到了100MPa時(shí)單向閥的單次開啟時(shí)間t0=0.2846ms。壓強(qiáng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的圖像如圖4所示。

由圖4可以得知，高壓油管在100MPa狀態(tài)時(shí)達(dá)到的穩(wěn)定是周期性波動穩(wěn)定，壓力的波動范圍在±1.2MPa之內(nèi)，故將單向閥的單次開啟時(shí)間t0設(shè)置為0.2846ms能夠很好地將高壓油管內(nèi)部的壓強(qiáng)控制在100MPa左右。圖4同樣表明，在不改變噴油口的周期t和高壓油管內(nèi)部壓強(qiáng)P的情況下，單個(gè)t0只能夠?qū)?yīng)單個(gè)穩(wěn)定壓力。因此對于限定時(shí)間條件在2s、5s、10s內(nèi)高壓油管增壓至150MPa且達(dá)到穩(wěn)定的單向閥開啟時(shí)長調(diào)整，采用了對增壓方式進(jìn)行分段式處理方法，即在壓力增強(qiáng)階段依據(jù)限定時(shí)間劃分區(qū)間，單向閥按照劃分的時(shí)段分段開啟，將壓力增強(qiáng)階段的單向閥開啟時(shí)間設(shè)為t和趨于穩(wěn)壓階段的開啟時(shí)間設(shè)為t0。得到的各限定時(shí)間條件下的穩(wěn)壓狀態(tài)圖與穩(wěn)壓周期圖如圖5所示。

綜上所述，單向閥的單次開啟時(shí)間t0對應(yīng)的穩(wěn)定壓力是固定的，分段式處理方法通過不斷調(diào)節(jié)增壓階段的單向閥開啟時(shí)長很好地控制了到達(dá)穩(wěn)壓的時(shí)間點(diǎn)。

3 結(jié)果分析

單周期內(nèi)噴油嘴噴油量QA已知的情況下，由于高壓油管系統(tǒng)需要在周期內(nèi)保證壓力的穩(wěn)定性，因此可以認(rèn)為單周期的流量輸入和流量輸出總量相同。假定在各周期內(nèi)有P=P0系統(tǒng)壓力等式，構(gòu)建進(jìn)油口A和出油口B在各自周期內(nèi)的平均流量相等等式：

式中，mA，B指A端進(jìn)油或B端出油的質(zhì)量;TA，B指A端進(jìn)油或B端出油的溫度。最終得到計(jì)算的單向閥單次供油時(shí)長t0推導(dǎo)式：

故可以計(jì)算出高壓油管內(nèi)壓力達(dá)到100MPa時(shí)的單向閥單次供油時(shí)長t0=0.288ms，增壓達(dá)到150MPa時(shí)的單向閥單次供油時(shí)長t0=0.751ms。依照相對誤差=（計(jì)算值-約定真值）/約定真值，分別計(jì)算出二者的相對誤差為1.19%和0.40%，因此可以認(rèn)為該模型的具有較強(qiáng)的合理性和準(zhǔn)確性。

4 結(jié)束語

本文基于逐差法狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程的數(shù)學(xué)建模思想，構(gòu)建了高壓油管內(nèi)壓力穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)的油體近似轉(zhuǎn)換方程。利用Matlab軟件求解，最終得到高壓油管穩(wěn)壓在100MPa時(shí)的單向閥的開啟時(shí)長為0.2846ms，當(dāng)油管內(nèi)壓強(qiáng)增加到150MPa時(shí)，結(jié)合分段式處理得到了單向閥每次開啟時(shí)段與時(shí)長的控制方案，最終達(dá)到穩(wěn)壓時(shí)的單次開啟時(shí)長均為0.754ms。利用前后高壓油管內(nèi)油體的壓力和流量近似不變的原理，得到了t0對于壓強(qiáng)P的影響因素方程，對模型的精度進(jìn)行驗(yàn)證，最終得出結(jié)果的相對誤差分別為1.19%和0.40%，認(rèn)為模型的構(gòu)建與分段式處理方法具有較高的可靠性，對高壓油管的壓力控制提供了一定的參考價(jià)值。

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