p-樞紐中位問題與服務(wù)設(shè)備配置的聯(lián)合優(yōu)化模型

汪 瑜，車 通，張培文

-樞紐中位問題與服務(wù)設(shè)備配置的聯(lián)合優(yōu)化模型

汪 瑜，車 通，張培文

（中國民航飛行學(xué)院，機(jī)場工程與運(yùn)輸管理學(xué)院，四川 廣漢 618307）

傳統(tǒng)樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方法忽略了服務(wù)設(shè)備網(wǎng)絡(luò)配置對于樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方案的影響。為了提高樞紐網(wǎng)絡(luò)與服務(wù)設(shè)備之間的相互適應(yīng)能力，并降低樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)成本，以樞紐選址、各OD對路徑及各邊上配置的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量選擇為決策變量，結(jié)合各邊上預(yù)期服務(wù)設(shè)備最大數(shù)量及各類設(shè)備服務(wù)總時(shí)間限制等因素，構(gòu)建-樞紐中位問題與服務(wù)設(shè)備配置的聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。選取2016年國內(nèi)航空運(yùn)輸業(yè)中“9個(gè)城市、4種機(jī)型、72個(gè)OD對”數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：與傳統(tǒng)方法相比，該方法的樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)成本降低了1.34%，且兩者相互適應(yīng)能力更強(qiáng)。另外，各邊上預(yù)期配置的服務(wù)設(shè)備最大數(shù)量及各類設(shè)備服務(wù)總時(shí)間限制是影響兩者相互適應(yīng)能力的重要因素。

-樞紐中位；服務(wù)設(shè)備配置；樞紐網(wǎng)絡(luò)；聯(lián)合優(yōu)化模型；OD對

0 引 言

-樞紐中位問題要求確定未來計(jì)劃區(qū)域內(nèi)個(gè)樞紐節(jié)點(diǎn)的位址、樞紐與非樞紐之間的連接關(guān)系以及各OD（Origin-Destination）流的運(yùn)輸路徑。該問題是樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的核心并被廣泛應(yīng)用于航空、物流、郵政和電信等行業(yè)。針對該問題，早期的研究成果主要集中于對該類問題建模技巧的探討[1-4]。隨后的研究則更多關(guān)注于樞紐網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模經(jīng)濟(jì)性，并采用設(shè)置樞紐節(jié)點(diǎn)之間邊上的折扣因子來對樞紐網(wǎng)絡(luò)模型施加影響[5-9]。還有部分學(xué)者針對樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)環(huán)境的不確定性，將樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)參數(shù)（如單位流成本、OD流需求量等）視為隨機(jī)變量，并從風(fēng)險(xiǎn)控制的角度研究樞紐網(wǎng)絡(luò)的魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)（如區(qū)間魯棒優(yōu)化[10]、隨機(jī)優(yōu)化[11]）問題[12-17]。

上述方法在研究樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)時(shí)，需要預(yù)先知道未來網(wǎng)絡(luò)的邊成本和各OD對流量等網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)參數(shù)，但在實(shí)際樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)上的邊成本取決于該邊上配置的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量，例如物流、航空和郵政等行業(yè)中任意兩地間的服務(wù)成本取決于其配置的運(yùn)輸工具類型及其頻次，又如電信業(yè)中兩地間的數(shù)據(jù)傳輸成本則取決于其鋪設(shè)的線纜類型及其數(shù)量。面對這樣的情況，上述研究過程中僅使用折扣因子試圖體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)各邊上所配置的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量的差異，很可能會(huì)導(dǎo)致與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)結(jié)果有較大的偏差，并產(chǎn)生次優(yōu)的樞紐網(wǎng)絡(luò)方案。因此，近期的研究則集中在樞紐網(wǎng)絡(luò)規(guī)模經(jīng)濟(jì)性基礎(chǔ)上，通過引入服務(wù)設(shè)備固定成本來探討樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方法[18-21]。然而，僅僅將服務(wù)設(shè)備固定成本視為一個(gè)已知的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)參數(shù)，很難體現(xiàn)出網(wǎng)絡(luò)的邊成本和該邊上所配置的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量的關(guān)系。事實(shí)上，樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)過程中各OD對的運(yùn)輸路徑?jīng)Q定了網(wǎng)絡(luò)各邊上所承載的OD對類型及其流量，并由此決定了實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)成本最小的各邊上所需配置的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量。這一決策結(jié)果又反過來確定了網(wǎng)絡(luò)中實(shí)際的邊成本，進(jìn)而又會(huì)影響樞紐網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)結(jié)果。因此樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與服務(wù)設(shè)備配置是相互影響的兩類決策問題。

鑒于此，本文首先給出帶有樞紐設(shè)置成本的-樞紐中位問題數(shù)學(xué)模型，并分析服務(wù)設(shè)備配置決策與-樞紐中位問題的相互關(guān)系；然后，以樞紐選址、各OD對路徑及各邊上配置的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量選擇為決策變量，結(jié)合各邊上預(yù)期服務(wù)設(shè)備最大數(shù)量及各類設(shè)備服務(wù)總時(shí)間限制等因素，構(gòu)建-樞紐中位問題與服務(wù)設(shè)備配置的聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；最后，采用國內(nèi)航空運(yùn)輸城市對數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法的有效性。

1 問題描述與模型結(jié)構(gòu)

1.1 p-樞紐中位問題與模型結(jié)構(gòu)

在樞紐網(wǎng)絡(luò)中，任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的單位流成本通常與距離成正比，且滿足三角形邊長不等式關(guān)系[21]。因此樞紐節(jié)點(diǎn)之間必然采用直達(dá)運(yùn)輸方式，而非樞紐與樞紐節(jié)點(diǎn)之間轉(zhuǎn)運(yùn)的次數(shù)不會(huì)超過二次。采用CAMPBELL四下標(biāo)模型[3]表達(dá)方式，該問題可以表述如下：

式中，目標(biāo)函數(shù)（1）為樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)成本（運(yùn)輸成本和樞紐設(shè)置成本）最小化；約束（2）規(guī)定了樞紐節(jié)點(diǎn)的設(shè)置數(shù)量；約束（3）規(guī)定了任一OD對流量的轉(zhuǎn)運(yùn)必須要在樞紐節(jié)點(diǎn)上完成；約束（4）規(guī)定了任一OD對流量的運(yùn)輸任務(wù)必須全部完成；約束（5）和（6）規(guī)定了任一OD對的起點(diǎn)和終點(diǎn)有且只有一個(gè)樞紐時(shí)，如果需要中轉(zhuǎn)至多只能中轉(zhuǎn)一次，而當(dāng)起點(diǎn)和終點(diǎn)都是樞紐時(shí)則只能采取直達(dá)運(yùn)輸。上面兩式不僅限定了不同類型節(jié)點(diǎn)之間OD對流量的轉(zhuǎn)運(yùn)方式，而且還限定了這種轉(zhuǎn)運(yùn)方式的路徑表達(dá)形式：當(dāng)節(jié)點(diǎn)和都為樞紐時(shí)，其左端項(xiàng)中的變量必須全部為零，導(dǎo)致該OD對的路徑形式被限定在———；當(dāng)節(jié)點(diǎn)和中一個(gè)為樞紐、一個(gè)為非樞紐時(shí)，左端項(xiàng)中必有一個(gè)變量全部為零，導(dǎo)致該OD對的路徑形式被限定在———或———。式（7）和（8）為變量類型和取值范圍。

在沒有匯運(yùn)、轉(zhuǎn)運(yùn)和分運(yùn)功能[22]的非樞紐網(wǎng)絡(luò)中，各邊的單位流成本是由服務(wù)該邊的設(shè)備類型及其數(shù)量，以及邊上僅服務(wù)于對應(yīng)OD對的流量決定。但在樞紐網(wǎng)絡(luò)中，其他OD對因匯運(yùn)、轉(zhuǎn)運(yùn)和分運(yùn)而流經(jīng)該邊，并導(dǎo)致該邊上的流量增加而可以采用更大承載能力的設(shè)備服務(wù)（即“規(guī)模經(jīng)濟(jì)”）。正是如此，式（1）~（8）采用折扣因子來表示這種規(guī)模經(jīng)濟(jì)性。這一方法雖然可行，但忽略了網(wǎng)絡(luò)邊上的單位流成本c是由流經(jīng)該邊上的所有類型OD對及其流量（如式（9）右手項(xiàng)分母所示），以及配置的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量所產(chǎn)生的運(yùn)輸總成本（如式（9）右端項(xiàng)分子所示）共同決定這一關(guān)系。因此，傳統(tǒng)方法在進(jìn)行樞紐設(shè)計(jì)時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生次優(yōu)、甚至不可行的樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方案：

上式中分母表示任一邊（，）可能在作匯運(yùn)、轉(zhuǎn)運(yùn)和分運(yùn)功能時(shí)，所有OD對流經(jīng)該邊的總流量。

1.2 聯(lián)合優(yōu)化問題與模型結(jié)構(gòu)

式（9）去分母后轉(zhuǎn)換為新的聯(lián)合規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)：

上式左端是網(wǎng)絡(luò)中任一邊（，）的流服務(wù)成本，等于該邊上單位流成本乘以流經(jīng)該邊的所有OD對的流量之和；右端是關(guān)于該邊服務(wù)成本的另一種表達(dá)方式，即用該邊上所采用的服務(wù)設(shè)備類型及其數(shù)量所產(chǎn)生的服務(wù)成本來表示。對于網(wǎng)絡(luò)中的服務(wù)總成本，可在式（10）基礎(chǔ)上對所有邊上的服務(wù)成本進(jìn)行累計(jì)求和獲取，如下式所示：

簡化后，改寫為下式：

為了探究邊界條件的影響,我們還模擬了整個(gè)灌裝體約束在鋼殼中的情況。由于鋼殼是熱的良導(dǎo)體,溫度結(jié)果與不加鋼殼情況差別不大(數(shù)據(jù)從略)。應(yīng)力結(jié)果比較在圖6中(藍(lán)線),可見加了邊界鋼殼約束后,芯片中拉應(yīng)力有所減小,但焊點(diǎn)中的壓應(yīng)力有所增大。

故聯(lián)合優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)式（1）可以改寫如下：

聯(lián)合優(yōu)化模型的約束條件則由式（2）~（8），以及式（16）~（19）組成：

2 算例分析

選取航空運(yùn)輸業(yè)客運(yùn)吞吐量排名靠前的9個(gè)城市（依次用序號(hào)1~9來表示）進(jìn)行驗(yàn)證分析。9個(gè)城市各航線上機(jī)型（分別為150、200、250和300座位級(jí)）的單位運(yùn)輸成本和各機(jī)型機(jī)隊(duì)的最大服務(wù)能力來自于國內(nèi)某航空公司2016年生產(chǎn)運(yùn)營數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 各機(jī)型飛機(jī)小時(shí)運(yùn)營成本和最大生產(chǎn)能力

Tab.1 Hourly operation costs of each aircraft type and maximum service ability

9個(gè)城市對間的OD對客流量和期望飛行時(shí)間如表2所示，其數(shù)據(jù)來源于2016年國際航空運(yùn)輸協(xié)會(huì)MIDT（Market Information Data Types）。

表3給出了城市間航班運(yùn)行頻次（數(shù)據(jù)主要來源于SRS（Schedules Reference Service）航班計(jì)劃）。本文將表3中的航班運(yùn)行頻次用作各邊上預(yù)期配置的服務(wù)設(shè)備數(shù)量。

表2 城市之間的客流量和飛行時(shí)間

Tab.2 Passenger flow volumes and flight time between 9 cities

注：（）中代表客流量，單位為萬人次；代表期望飛行時(shí)間，單位為h。

表3 城市之間航班班次

Tab.3 The number of flights between 9 cities

9個(gè)城市的樞紐機(jī)場建設(shè)成本由《中國民用航空第十三個(gè)五年規(guī)劃》和2016年民航業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)匯總，并按照各城市機(jī)場的年旅客吞吐量占比，采用一定的比例修正獲得[23，24]，具體如表4所示。

表4 樞紐建設(shè)成本

Tab.4 Construction costs of each hub airport

2.1 結(jié)果分析與對比

（1）聯(lián)合決策結(jié)果。借助GUROBI求解器，算例在可接受時(shí)間范圍內(nèi)收斂，結(jié)果如表5所示。樞紐位址為{1，2，4}，網(wǎng)絡(luò)運(yùn)力配置方案如表6所示，總成本為769.36億元。

（2）傳統(tǒng)方法決策結(jié)果。首先利用航線運(yùn)力配置方法[25]獲取各邊選用機(jī)型及其頻次，由此獲取單位流成本；其次將其作為網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)參數(shù)，再利用式（1）~（8）進(jìn)行樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)（各個(gè)折扣因子如表5第1列所示），然后再據(jù)此進(jìn)行航線運(yùn)力優(yōu)化配置決策，計(jì)算結(jié)果如表5所示。當(dāng)=1.0，=0.8，=1.0時(shí)，樞紐網(wǎng)絡(luò)方案為{1，2，8}，與聯(lián)合決策的樞紐網(wǎng)絡(luò)方案不同，基于此網(wǎng)絡(luò)方案進(jìn)行運(yùn)力優(yōu)化配置，預(yù)計(jì)總成本為779.86億元，比聯(lián)合決策模型的總成本高10.50億元。整個(gè)航線運(yùn)力配置方案如表7所示。當(dāng)=0.8，=0.4，=0.8時(shí)，樞紐網(wǎng)絡(luò)方案為{1，2，8}。但是基于后兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)方案進(jìn)行航線運(yùn)力優(yōu)化配置時(shí)，由于受航線上最大飛行頻次和各機(jī)型飛機(jī)最大生產(chǎn)能力限制，導(dǎo)致無可行運(yùn)力配置方案，即不能滿足所有OD對客流量。

表5 兩種方法的結(jié)果對比

Tab.5 Result comparison of two approaches

注：=0.8，=0.4，=0.8時(shí)，無法計(jì)算總成本。

表6 聯(lián)合決策網(wǎng)絡(luò)方案

Tab.6 Integrated decision network scheme

注：a中代表機(jī)型編號(hào)，代表相應(yīng)機(jī)型飛機(jī)飛行頻次占比。

表7 傳統(tǒng)方法的網(wǎng)絡(luò)方案（=1.0，=0.8，=1.0）

Tab.7 Network scheme for traditional approach（α=1.0，β=0.8，γ=1.0）

注：a中代表機(jī)型編號(hào)，代表相應(yīng)機(jī)型飛機(jī)飛行頻次占比。

（3）計(jì)算結(jié)果對比。對比以上數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)方法先進(jìn)行樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)后進(jìn)行航線運(yùn)力配置，會(huì)出現(xiàn)機(jī)型與航線適應(yīng)度不高，甚至?xí)霈F(xiàn)無可行運(yùn)力配置方案，原因主要在于式（1）~（8）的樞紐網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃時(shí)僅考慮平均單位流成本和通過折扣因子反映規(guī)模經(jīng)濟(jì)性，這與實(shí)際最優(yōu)的航線運(yùn)力配置方案及成本差異較大。因此，本文所建立的聯(lián)合決策方法優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

2.2 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的靈敏度分析

航線上預(yù)期配置的服務(wù)設(shè)備數(shù)量和各機(jī)型機(jī)隊(duì)最大服務(wù)能力分別是指在考慮各航線及其相連節(jié)點(diǎn)空域和機(jī)場時(shí)刻資源，以及因飛機(jī)維修、飛行人力資源等因素制約時(shí)，預(yù)估的最大飛行頻次和各類機(jī)型機(jī)隊(duì)最大可用飛行時(shí)間，且兩者對聯(lián)合決策結(jié)果有著深刻影響。

為了分析上述因素對于樞紐網(wǎng)絡(luò)方案的影響，本文以算例中的航線最大飛行頻次為基準(zhǔn)，分別對比基準(zhǔn)的120%、100%和80%網(wǎng)絡(luò)方案差異，具體結(jié)果如表8所示。對比120%F和100%F相對應(yīng)的樞紐網(wǎng)絡(luò)方案可以發(fā)現(xiàn)，雖然樞紐位址未發(fā)生變化，但因航線上飛行頻次限制減弱而使得部分OD對路線發(fā)生改變，導(dǎo)致總運(yùn)輸成本降低了。對比80%F和100%F相對應(yīng)的樞紐網(wǎng)絡(luò)方案可以發(fā)現(xiàn)，由于航線最大飛行頻次限制更加嚴(yán)格，使得樞紐位址發(fā)生改變，同時(shí)總運(yùn)輸成本也增加了。

表8 航線最大飛行頻次對樞紐網(wǎng)絡(luò)方案的影響

Tab.8 Impact of maximum flight frequency on hub network scheme

以算例中的各類機(jī)型機(jī)隊(duì)最大可用飛行時(shí)間為基準(zhǔn)，分別對比基準(zhǔn)的120%、100%和80%網(wǎng)絡(luò)方案差異，具體結(jié)果如表9所示。

表9 各類機(jī)型機(jī)隊(duì)最大飛行時(shí)間對樞紐網(wǎng)絡(luò)方案的影響

Tab.9 Impact of maximum flight time for each type of aircraft fleet on hub network scheme

因此，上述兩個(gè)因素的估計(jì)值影響著樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方案，在樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)工作中必須考慮航線上預(yù)期配置的服務(wù)設(shè)備數(shù)量和各機(jī)型機(jī)隊(duì)最大服務(wù)能力限制，才能使設(shè)計(jì)的樞紐網(wǎng)絡(luò)方案更利于未來實(shí)際的運(yùn)營，從而為公司帶來更好的效益。

3 結(jié) 論

本文提出了-樞紐中位問題和服務(wù)設(shè)備配置的聯(lián)合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，該模型本質(zhì)上是在樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)階段考慮服務(wù)設(shè)備配置決策，并以服務(wù)所有OD對流量總成本最小為目標(biāo)函數(shù)，綜合考慮樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)階段的制約因素，以及服務(wù)設(shè)備配置決策階段的資源限制條件。算例研究結(jié)果表明，該模型可以使得樞紐網(wǎng)絡(luò)與服務(wù)設(shè)備配置之間的相互適應(yīng)性更高，并使得決策結(jié)果更加符合實(shí)際要求。需要說明的是，各類資源限制因素變化都可能對樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方案產(chǎn)生影響，因此本文討論了主要影響因素如何影響樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與服務(wù)設(shè)備配置決策結(jié)果，后續(xù)可進(jìn)一步研究基于各指標(biāo)值變動(dòng)的樞紐網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與運(yùn)力配置聯(lián)合決策問題。

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An Integrated Optimization Model of-hub Median Problem and Service Facility Configuration

WANG Yu, CHE Tong, ZHANG Pei-wen

(School of Airport Engineering and Transportation Management, Civil Aviation Flight University of China, Guanghan 618307, China)

Traditional network design approach neglected the impact of network-wide location of service facility configuration on hub network designing scheme. In order to improve the mutual adaptability between hub network scheme and service facility configuration, the selections including the location of hubs, the itinerary of OD pairs and the allocation of both types and number of service facilities on each link were considered as the decision variables. The limitations of the maximum expected number of service facilities deploying on each link and the total service time of each facility type were treated as constraints. Then an integrated mathematical model of-hub median problem and service facility configuration was constructed. A numeric example with the scale of 9 cities, 4 types of aircraft and 72 OD pairs in domestic airline industry in 2016 is used to verify the feasibility. The results indicated that the approach can decrease the hub network designing cost by 1.34% and the adaptability of hub network scheme to service facility configuration was significantly raised as compared to the traditional approach. In addition, two limitations of the maximum number of service facilities deploying on each link and the total service time of each facility type are both main factors that impact their adaptability.

-hub median; service facility configuration; hub network; integrated optimization model; OD pair

1672-4747（2020）04-0023-09

F560.5

A

10.3969/j.issn.1672-4747.2020.04.003

2020-03-12

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（U1733127）；中國民航飛行學(xué)院民航運(yùn)輸規(guī)劃智能決策研究所計(jì)劃項(xiàng)目（JG2019-32）；大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目（S201910624050）

汪瑜（1983—），男，中國民航飛行學(xué)院副教授，工學(xué)博士，研究方向?yàn)槊窈竭\(yùn)輸系統(tǒng)優(yōu)化，E-mail：wangyu2001.111@163.com

汪瑜，車通，張培文.-樞紐中位問題與服務(wù)設(shè)備配置的聯(lián)合優(yōu)化模型[J]. 交通運(yùn)輸工程與信息學(xué)報(bào)，2020, 18(4): 23-30, 60

（責(zé)任編輯：劉娉婷）