基于空間直線位置關(guān)系的古塔變形研究

摘? 要： 針對(duì)古塔變形問(wèn)題，給出了一種基于極限思想的古塔各層中心的計(jì)算方法;利用空間直線的位置關(guān)系分析了古塔的各種變形，并利用MATLAB數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行了計(jì)算從而得到了數(shù)值結(jié)果。

關(guān)鍵詞： 多邊形的中心;極限思想;空間直線的位置關(guān)系;古塔變形;MATLAB

中圖分類號(hào)： O29? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.10.062

本文著錄格式：游晉峰. 基于空間直線位置關(guān)系的古塔變形研究[J]. 軟件，2020，41（10）：246249

【Abstract】： In this paper， the deformation problem of ancient pagoda is studied. A calculation method of the center of each layer of ancient pagoda based on limit thought is given; the various deformations of ancient pagoda is analyzed by using the position relationship between spatial lines， and the model is calculated by using MATLAB numerical experiment， and the numerical results are obtained.

【Key words】： The center of polygon; Limit thought; The position relationship between spatial lines; The deformations of ancient pagoda; MATLAB

0? 引言

古塔長(zhǎng)時(shí)間承受自重、氣溫、風(fēng)力等作用和地震、颶風(fēng)的影響，會(huì)產(chǎn)生傾斜、彎曲、扭曲等各種變形。2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題“古塔的變形”[1]，給出了1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月4次觀測(cè)數(shù)據(jù)，要求給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并分析古塔的變形情況。

陳俊等人[2-4]利用投影多邊形模型來(lái)確定古塔各層的中心，采用最小二乘法建立了線性模型，并借助三維高次曲線方程建立古塔的曲率模型和撓率模型。但這種用中軸變形曲線刻畫(huà)物體的整體扭曲是有缺陷的[5]。蔡志杰等人[5]將古塔看作連續(xù)體，利用位移函數(shù)來(lái)刻畫(huà)古塔的變形。其中所用知識(shí)均涉及了較專業(yè)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)。而數(shù)學(xué)建模應(yīng)遵循一個(gè)原則：盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具[6-7]。

本文首先分析了題目所給數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)觀測(cè)起止點(diǎn)不同。于是，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，同時(shí)繪制了古塔的三維網(wǎng)面圖和俯視圖，便于進(jìn)一步觀察古塔。其次，給出了一種基于極限思想的古塔各層中心的計(jì)算方法。然后，利用空間直線的位置關(guān)系分析了古塔各種變形，利用Matlab軟件完成了對(duì)模型的求解，得到了數(shù)值結(jié)果。

1? 數(shù)據(jù)分析

通過(guò)分析題目所給的觀測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，1986年和1996年觀測(cè)點(diǎn)的起止一致，2009年和2011年觀測(cè)點(diǎn)的起止一致。但前兩次觀測(cè)點(diǎn)的起止和后兩次的不同。

如圖1，對(duì)1986年第一層、1996年第二層、2009年第三層、2011年第四層的數(shù)據(jù)作圖可以看到，1986年和1996年的起止一致，2009年和2011年的起止一致。但前兩次觀測(cè)和后兩次觀測(cè)的起止點(diǎn)不同。

為方便后續(xù)的計(jì)算和變形分析，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使四次觀測(cè)數(shù)據(jù)的起止點(diǎn)一致。

1.1? 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

對(duì)2009年和2011年觀測(cè)點(diǎn)的起止順序進(jìn)行修改，即，將每層的第7個(gè)觀測(cè)點(diǎn)、第8個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)依次移動(dòng)到第1個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)之前。如圖2可以看到，數(shù)據(jù)修改后，4次觀測(cè)數(shù)據(jù)的起止保持一致。

1.2? 古塔觀測(cè)圖

利用題目觀測(cè)數(shù)據(jù)，繪制了古塔的三維網(wǎng)面圖和俯視圖，便于進(jìn)一步觀察古塔。由于1996年、2009年和2011年三次觀測(cè)數(shù)據(jù)的作圖結(jié)果和1986年的類似，故此處只給出1986年的古塔三維網(wǎng)面圖（圖3）和俯視圖（圖4）。

從1986年古塔的俯視圖（如圖4）可以看出，古塔各層的結(jié)構(gòu)近似于正八邊形，塔尖幾乎投影到了一點(diǎn)。

2? 基于極限思想的古塔各層中心的計(jì)算方法

2.1? 確定古塔在xoy平面上各層的中心

對(duì)于某次測(cè)量數(shù)據(jù)的第層（）在x軸和y軸的投影，求該多邊形的各邊的中點(diǎn)，并依次連線形成新的多邊形，再求新的多邊形的各邊的中點(diǎn)，……，如此循環(huán)多邊形會(huì)變小，直到該多邊形近似趨于一點(diǎn)，停止循環(huán)迭代。此時(shí)，得到的點(diǎn)為該多邊形的中心。

算法如下：

%賦初值

x_old=0;

y_old=0;

x_new=x（i，：）;

y_new=y（i，：）;

%迭代循環(huán)，直至兩次坐標(biāo)差值比小

while （abs（x_old-x_new）>0.0000005） & （abs（y_ old-y_new）>0.0000005）

x_old=x_new;

y_old=y_new;

for j=1：size（x_new，2）-1

x_new（j）=（x_new（j）+x_new（j+1））/2;

y_new（j）=（y_new（j）+y_new（j+1））/2;

end

x_new（size（x_new，2））=x_new（1）;

y_new（size（y_new，2））=y_new（1）;

end

需要注意的是，由于頂層數(shù)據(jù)嚴(yán)重缺失，只考慮第1～13層。

本文中，考慮允許的觀測(cè)誤差為[8]，故設(shè)置當(dāng)兩次迭代的值相差小于時(shí)，停止迭代。如圖5，對(duì)1986年的第一層的中心坐標(biāo)利用上述算法進(jìn)行計(jì)算，可以看到，多邊形逐漸趨于一點(diǎn)。

2.2? 確定古塔在z軸上各層的中心

2.1只考慮了古塔在xoy平面的中點(diǎn)，并未考慮z軸方向上的中心坐標(biāo)。

利用求某次測(cè)量的第層（）的z軸方向上的坐標(biāo)均值，來(lái)確定古塔第層（）的z軸方向上的中心坐標(biāo)。

2.3? 確定的古塔各層中心坐標(biāo)

確定古塔各層中心坐標(biāo)的最終方案為：

（1）利用無(wú)窮逼近的思想，確定古塔第層（）x軸和y軸方向上的中心坐標(biāo);

（2）利用z軸方向上的坐標(biāo)均值，確定古塔第層（）的z軸方向上的中心坐標(biāo)。

（3）利用四次測(cè)量結(jié)果的均值確定1986年和1996年塔尖的中心坐標(biāo)。

（4）直接利用題目所給的一次測(cè)量結(jié)果確定2009年和2011年塔尖的中心坐標(biāo)。

最終確定的四次測(cè)量的古塔各層中心坐標(biāo)，見(jiàn)表1。

3? 分析古塔的變形情況

針對(duì)古塔變形的情況，從古塔的墻體是否有裂縫或擠壓、古塔整體的傾斜量和傾斜角、古塔各層的沉降[9]、古塔的扭曲四個(gè)角度展開(kāi)研究。

3.1? 古塔墻體的擠壓與裂縫

檢測(cè)墻體線段的長(zhǎng)度，與前一年數(shù)據(jù)比較，根據(jù)發(fā)生的變化判定是否發(fā)生擠壓或裂縫使墻體變形。

各層各線段的長(zhǎng)度與前一年數(shù)據(jù)比較，結(jié)果如下。

通過(guò)分析圖6～8發(fā)現(xiàn)，1996年到2009年測(cè)量數(shù)據(jù)的波動(dòng)較大，即出現(xiàn)墻體有裂縫（圖中正數(shù)）和壓縮變形（圖中負(fù)數(shù)）的現(xiàn)象。其他兩個(gè)的比較數(shù)量級(jí)都在之間。

3.2? 傾斜量和傾斜角

利用2.3節(jié)得到的古塔各層中心坐標(biāo)計(jì)算傾斜量和傾斜角。

古塔中心坐標(biāo)的曲線如圖9。

3.2.1? 整體的傾斜量和傾斜角

利用第1層的中心坐標(biāo)和塔尖的中心坐標(biāo)連線形成的直線的傾斜量和傾斜角，估計(jì)整體的傾斜量和傾斜角。

整體傾斜量的計(jì)算公式如下：

整體傾斜角的計(jì)算公式如下：

利用Matlab軟件計(jì)算得到：

3.2.2? 彎曲，即各層的傾斜量和傾斜角

對(duì)于第層（）的傾斜量和傾斜角，利用第層的中心坐標(biāo)和第層的中心坐標(biāo)連線形成的直線進(jìn)行計(jì)算。

第層（）傾斜量的計(jì)算公式如下：

第層（）傾斜角的計(jì)算公式如下：

通過(guò)計(jì)算得到：

第1層～第13層的傾斜量依次為：0.0493、0.0472、0.0392、0.0411、0.1015、0.0390、0.0608、0.0610、0.0768、0.0580、0.0578、0.0660、0.0862。

第1層～第13層的傾斜角依次為：0.5113、0.4977、0.5188、0.5062、1.2924、0.6178、0.9901、1.0028、1.3249、0.7764、0.7780、0.9163、2.1702。

各層的傾斜量和傾斜角折線圖，如圖10和圖11。

從圖10、11可以看到，第5、9、13層的傾斜量和傾斜角相對(duì)比較明顯，因此要對(duì)第5、9、13層加強(qiáng)防護(hù)。

3.3? 古塔各層的沉降

利用2.3節(jié)得到的古塔各層中心的z軸方向的坐標(biāo)值、、、的差值

分析古塔的各層沉降。

例如：比較1986年和1996年z軸方向的差值，計(jì)算公式如下：

1986年和1996年之間、1996年和2009年之間、2009年和2011年之間各層的沉降為見(jiàn)表2（負(fù)數(shù)表示下沉）。

觀察表2發(fā)現(xiàn)，古塔各層均有不同程度的下沉，下沉范圍在0.0013 m～0.0288 m之間。

3.4? 古塔的扭曲變形

利用題目所給的觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)作圖觀察四次測(cè)量的第層（）的扭曲變形程度，見(jiàn)圖12。

通過(guò)觀察圖像發(fā)現(xiàn)，第1、2、3層四年之間幾乎沒(méi)發(fā)生扭曲，第4、5、7～13層四年之間發(fā)生了輕微的的扭曲，第6層1996年和2009年之間的扭曲較嚴(yán)重。

下面以第六層1996年和2009年的數(shù)據(jù)為例，計(jì)算該層此兩年間的扭曲變形情況，如圖13。

對(duì)于第條線段的扭曲度，其計(jì)算公式如下：

計(jì)算得到，對(duì)應(yīng)的八條線段的扭曲度依次為：1.1823、1.6083、0.3730、0.3603、0.8891、1.8980、2.1883、0.1329。

4? 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模講求盡量采用簡(jiǎn)單的模型，不盲目追求所謂的“高大上”的方法和“全能新”的模型[10]。本文利用初等方法解決古塔變形問(wèn)題，提出了利用取多邊形各邊中點(diǎn)的方法無(wú)限逼近古塔各層中心，從而得到古塔各層的中心坐標(biāo);利用空間直線的位置關(guān)系，分析了古塔可能的各種變形情況。對(duì)于古塔變形，不僅分析了題目要求的傾斜、彎曲、扭曲等變形，而且分析了題目古塔墻體是否有裂縫、古塔各層的沉降。該數(shù)據(jù)結(jié)果與陳俊的數(shù)據(jù)結(jié)果雖略有差距，但對(duì)于初接觸數(shù)學(xué)建模的學(xué)生較容易理解。

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