基于模糊自適應(yīng)的倒立擺控制系統(tǒng)研究

高夢(mèng)星 孫彥超 劉伯玉

摘? 要： 針對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的非線性、自然不穩(wěn)定特點(diǎn)，本文基于SIMULINK仿真環(huán)境下驗(yàn)證了模糊控制理論在二級(jí)倒立擺的控制中的有效性。通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，建立了倒立擺系統(tǒng)的空間狀態(tài)方程，從數(shù)學(xué)的角度對(duì)其進(jìn)行精確建模。模糊控制器作為基于模糊理論發(fā)展起來(lái)的控制策略，憑借其智能性和自適應(yīng)的特點(diǎn)，在一些復(fù)雜的系統(tǒng)中得到了應(yīng)用。本文利用SIMULINK的模糊控制工具箱構(gòu)建了兩輸入一輸出的模糊控制器，設(shè)計(jì)了相應(yīng)變量隸屬度函數(shù)，構(gòu)建了模糊規(guī)則。構(gòu)建成功的模糊控制器應(yīng)用于二級(jí)倒立擺控制的仿真中，通過(guò)觀察小車和兩級(jí)擺桿的位置、擺角等物理量，證明了在模糊控制下，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)在較短的響應(yīng)時(shí)間內(nèi)便能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，具備很好的動(dòng)態(tài)性能以及較強(qiáng)的魯棒性。

關(guān)鍵詞： 二級(jí)倒立擺;模糊控制;SIMULINK

中圖分類號(hào)： TP273+.4? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.10.059

本文著錄格式：高夢(mèng)星，孫彥超，劉伯玉. 基于模糊自適應(yīng)的倒立擺控制系統(tǒng)研究[J]. 軟件，2020，41（10）：229235

【Abstract】： In view of the nonlinear and natural instability characteristics of the double inverted pendulum system， this paper validates the effectiveness of the fuzzy control theory in the control of the double inverted pendulum based on the SIMULINK simulation environment. Through the study of the inverted pendulum system， the space state equation of the inverted pendulum system is established， and it is accurately modeled from the mathematical point of view. As a control strategy developed based on fuzzy theory， fuzzy controller has been applied in some complex systems by virtue of its intelligence and adaptive characteristics. In this paper， the fuzzy control toolbox of SIMULINK is used to construct a two-input and one-output fuzzy controller， the corresponding variable membership function is designed， and the fuzzy rules are constructed. The successfully constructed fuzzy controller is applied to the simulation of the two-stage inverted pendulum control. By observing the physical quantities such as the position and swing angle of the trolley and the two-stage pendulum rod， it is proved that under the fuzzy control， the two-stage inverted pendulum system has a shorter response. It can reach a stable state within a period of time， with good dynamic performance and strong robustness.

【Key words】： Double inverted pendulum; Fuzzy control; SIMULINK

0? 引言

在典型的被控對(duì)象中可以對(duì)多種控制理論進(jìn)行比較，并具有良好的延伸性，能夠?qū)⑵鋽U(kuò)展到更高的維度。倒立擺系統(tǒng)就是這樣的一個(gè)可以將理論應(yīng)用于實(shí)際的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。在對(duì)控制理論進(jìn)行研究之際，極具典型性的一類實(shí)驗(yàn)設(shè)備便是倒立擺系統(tǒng)，其優(yōu)勢(shì)為無(wú)需太高造價(jià)，結(jié)構(gòu)不復(fù)雜，同時(shí)可以十分方便的對(duì)其結(jié)構(gòu)以及物理參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，其還具備不少變量，屬于非線性且階次較高的系統(tǒng)，但不夠穩(wěn)定。在研究以及驗(yàn)證控制理論方面具備不錯(cuò)的契合度，同時(shí)還能對(duì)數(shù)類存在差異的控制策略進(jìn)行對(duì)比。

國(guó)內(nèi)外現(xiàn)狀：20世紀(jì)50年代，便有了研究倒立擺方面的內(nèi)容，率先進(jìn)行此方面研究的是來(lái)自于麻省理工大學(xué)的專家，同時(shí)對(duì)發(fā)射火箭之際其助推器進(jìn)行工作的相關(guān)原理，將首臺(tái)一級(jí)線性倒立擺研發(fā)出[1]。之后，倒立擺相關(guān)的概念被正式提出[2]。由于倒立擺并不是一種線性的存在，同時(shí)不夠穩(wěn)定，具備快速的特征，因此這一研究課題具備不小的難度，而這則使相關(guān)專家以及學(xué)者的關(guān)注度提升了不少[3]。到20世紀(jì)70年代，大家漸漸的在各類倒立擺內(nèi)運(yùn)用不同的控制策略，而PID以及LQR控制策略還有極點(diǎn)配置算法在各類控制策略中具備典型性[4-5]。一直到80年代末，在進(jìn)行生產(chǎn)之際，LQR這一控制策略得到了十分寬廣的應(yīng)用，最終所獲的效果也頗為不錯(cuò)。1985年時(shí)，尹征琦這位來(lái)自于西安交大的教授在對(duì)模糊控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)之后，成功控制了倒立擺，同時(shí)得到了成功運(yùn)用[6]。“隸屬云模型”的提出時(shí)間為1997年，其提出者為李德義團(tuán)隊(duì)，這一模型沒(méi)有太多關(guān)于硬件方面的要求，因此所產(chǎn)生的控制效果不錯(cuò)[7]?！白冋撚蜃赃m應(yīng)模糊控制理論”被提出的時(shí)間是1995年，其提出者為李洪興教授，這一研究以穩(wěn)定的方式對(duì)“四級(jí)倒立擺系統(tǒng)”進(jìn)行了控制，緊接著使控制二級(jí)以及三級(jí)擺得以完成[8]。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了模糊PID控制器，對(duì)拉格朗日函數(shù)方式進(jìn)行利用，將一個(gè)數(shù)學(xué)方面的二級(jí)倒立擺模型構(gòu)建起來(lái)，通過(guò)現(xiàn)代控制理論研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和能觀性，得到系統(tǒng)的控制條件，設(shè)計(jì)了模糊控制規(guī)則和推理過(guò)程。其所設(shè)計(jì)的控制方法要優(yōu)于單獨(dú)的模糊控制、PID控制。文獻(xiàn)[10]設(shè)了一種基于直線二級(jí)倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制方法，該方法是將控制器的多變量輸入分成兩組，形成兩個(gè)閉環(huán)，內(nèi)環(huán)對(duì)倒立擺所具備的角度進(jìn)行控制，外環(huán)則對(duì)倒立擺小車所處的具體位置進(jìn)行控制。

就倒立擺而言，這一研究對(duì)象并不穩(wěn)定，只要增加擺桿的數(shù)量，就會(huì)讓其變得愈發(fā)難以控制[11]，與此同時(shí)，想要將一個(gè)具備不錯(cuò)精準(zhǔn)度的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建起來(lái)也不容易，因此在進(jìn)行此方面研究之際，所有學(xué)者都感到步履維艱由于現(xiàn)目前所應(yīng)用到的智能控制中，只有模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制不依靠于具體的數(shù)學(xué)模型。因此，有必要將模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法控制引入到多級(jí)倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行研究，本文就是基于自適應(yīng)控制對(duì)其進(jìn)行了較為深入的研究。

1? 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)建模

為完成以穩(wěn)定的方式對(duì)倒立擺進(jìn)行控制方面的研究，第一步必須把其數(shù)學(xué)模型構(gòu)建起來(lái)，如此方可實(shí)施下一步應(yīng)該實(shí)施的仿真程序。在構(gòu)建模型之際，其方式可做兩類劃分：實(shí)驗(yàn)以及機(jī)理建模。前者便是將研究者已經(jīng)準(zhǔn)備好的輸入信號(hào)添加到研究對(duì)象上面，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行激勵(lì)，同時(shí)對(duì)傳感器加以利用，進(jìn)行具體輸出的相關(guān)檢測(cè)，通過(guò)數(shù)學(xué)方式，將系統(tǒng)所具備的輸入以及輸出關(guān)系構(gòu)建起來(lái)。所涵蓋的內(nèi)容有設(shè)計(jì)以及選擇輸入信號(hào)、精準(zhǔn)的對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，研究具體的數(shù)學(xué)算法。后者則首先需要掌控研究對(duì)象所具備的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同時(shí)基于此采取物理抑或是化學(xué)方面的知識(shí)還要U相關(guān)的數(shù)學(xué)方法將存在于系統(tǒng)內(nèi)部的輸入以及輸出關(guān)系構(gòu)建起來(lái)。

1.1? 直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型

由于對(duì)牛頓力學(xué)加以利用實(shí)施建模之際，必須運(yùn)用不少微分方程，因此構(gòu)建二級(jí)倒立擺模型之際，建模會(huì)因?yàn)檫@些微風(fēng)方程而出現(xiàn)復(fù)雜程度上升的情況，因此此篇文章通過(guò)對(duì)隸屬于分析力學(xué)范疇的Lagrange方程加以利用實(shí)施建模[21]。圖1所呈現(xiàn)的模型便是二級(jí)倒立擺。

首先，對(duì)該系統(tǒng)做如下假設(shè)：

（1）小車、一級(jí)擺桿和二級(jí)擺桿都是剛體。

（2）皮帶輪與同步帶之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，且同步帶不會(huì)拉伸變長(zhǎng)。

（3）小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力與小車速度成正比。

（4）各級(jí)擺桿與轉(zhuǎn)軸間的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩與擺桿的角速度成正比。

本次控制系統(tǒng)采用的二級(jí)倒立擺各物理參數(shù)取值如表1所示。

1.2? 倒立擺系統(tǒng)的定性分析

對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行分析，使用MATLAB中的dg（）命令得系統(tǒng)開(kāi)環(huán)特征為

因?yàn)橄到y(tǒng)有兩個(gè)根在S平面的右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

從定理1以及定理2兩個(gè)存在于2.2.1中的式子可以看出，在對(duì)存在于MATLAB內(nèi)的rank（）命令加以利用之后，便能夠算出rank（S）=6和rank（V）=6。因此，系統(tǒng)可以進(jìn)行觀測(cè)以及控制。因此能夠設(shè)計(jì)這一系統(tǒng)內(nèi)的控制器，讓系統(tǒng)變得更為穩(wěn)定。

按照二級(jí)倒立擺狀態(tài)方程（2-11），對(duì)存在于MATLAB內(nèi)的命令[U，S，V]=svd（A）加以利用，通過(guò)奇異值分解的方式處理A矩陣，可將其奇異值陣S獲取。

二級(jí)倒立擺的相對(duì)可控度：

δ=1/102.7083=0.0097。

模糊控制系統(tǒng)的原理圖如圖2所示。

2? 基于MATLAB/SIMUNLINK的二級(jí)倒立擺控制仿真

在MATLAB/SIMULINK仿真平臺(tái)中對(duì)基于模糊控制器的二級(jí)倒立擺進(jìn)行建模仿真，建立的仿真模型如圖3所示。

其中二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型用狀態(tài)空間方程進(jìn)行模擬，其參數(shù)設(shè)置界面如圖4所示。

通過(guò)設(shè)置狀態(tài)空間方程的各參數(shù)便能夠從數(shù)學(xué)的角度建立出二級(jí)倒立擺的模型。

控制器采用模糊控制器，在模型中對(duì)模糊控制器進(jìn)行了封裝，封裝成一個(gè)子系統(tǒng)以提高仿真模型的集成度，模糊控制器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

本次模糊控制器的結(jié)構(gòu)采用了兩輸入一輸出的系統(tǒng)，其編輯器的模型如圖6所示。

在模糊控制系統(tǒng)的編輯器界面中可以設(shè)置和查看各輸入量和輸出量的隸屬度函數(shù)，誤差e、誤差變化率ec和輸出u的隸屬函數(shù)見(jiàn)圖7—圖8所示。

在該編輯器中可以編輯和查看模糊控制器的模糊規(guī)則[30]，本文中的模糊控制器的模糊規(guī)則如圖10所示。

本文設(shè)計(jì)的模糊控制中共有49條模糊規(guī)則。是根據(jù)輸入論域和輸出論域上的模糊語(yǔ)言變量劃分而進(jìn)行設(shè)計(jì)的：

把上述規(guī)則寫成模糊規(guī)則表，如表2所示。

另外，在系統(tǒng)中為了清楚地觀察二級(jí)倒立擺的控制性能，用示波器對(duì)一些物理量進(jìn)行觀測(cè)，本系統(tǒng)中觀測(cè)的物理量有小車位移、小車速度、上擺桿角度、上擺桿角速度、下擺桿角度、下擺桿角速度等物理量。

運(yùn)行仿真模型，在示波器中觀察各物理量的變化情況。

小車位移波形曲線如圖11所示。

小車速度波形如圖12所示。

上擺桿的角度波形如圖13所示。

上擺桿的角速度波形如圖14所示。

下擺桿的角度波形如圖15所示。

下擺桿的角速度波形如圖16所示。

通過(guò)仿真試驗(yàn)，在示波器中觀察各物理量，能夠容易看出，小車的位置以及兩級(jí)倒立擺的擺桿的角度都得到了有效控制，響應(yīng)速度很快，在3s以內(nèi)便達(dá)到了平衡。證明了模糊控制器在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中的控制優(yōu)越性。

3? 結(jié)論

二級(jí)倒立擺作為倒立擺系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)，近年作為典型的被控對(duì)象被廣泛應(yīng)用于控制理論的研究中。二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的非線性、自然不穩(wěn)定特點(diǎn)對(duì)于控制理論提出了挑戰(zhàn)，多變量和強(qiáng)耦合性使其在建模中存在較大的困難。本文主要工作就是以二級(jí)倒立擺作為被控對(duì)象，在MATLAB/SIMULINK仿真環(huán)境下驗(yàn)證了模糊控制理論在二級(jí)倒立擺的控制中的有效性。通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，建立了倒立擺系統(tǒng)的空間狀態(tài)方程，從數(shù)學(xué)的角度對(duì)其進(jìn)行精確建模。模糊控制器作為基于模糊理論發(fā)展起來(lái)的控制策略，憑借其智能性和自適應(yīng)的特點(diǎn)，在一些復(fù)雜的系統(tǒng)中得到了應(yīng)用。本文利用SIMULINK的模糊控制工具箱構(gòu)建了兩輸入一輸出的模糊控制器，設(shè)計(jì)了相應(yīng)變量隸屬度函數(shù)，構(gòu)建了模糊規(guī)則。構(gòu)建成功的模糊控制器應(yīng)用于二級(jí)倒立擺控制的仿真中，通過(guò)觀察小車和兩級(jí)擺桿的位置、擺角等物理量，證明了在模糊控制下，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)在較短的響應(yīng)時(shí)間內(nèi)便能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，具備很好的動(dòng)態(tài)性能以及較強(qiáng)的魯棒性。

4? 展望

本文在二級(jí)倒立擺的模糊控制研究方面取得了一定的成果，但由于個(gè)人水平和時(shí)間所限，仍然有很多工作需要后續(xù)深入研究。

（1）本文主要研究了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，目前已經(jīng)有學(xué)者在對(duì)四級(jí)倒立擺進(jìn)行研究，后續(xù)的工作可以圍繞三級(jí)甚至更多級(jí)數(shù)的倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行研究;

（2）模糊控制具有自適應(yīng)的特點(diǎn)，這是其優(yōu)勢(shì)，但是單純的模糊控制有響應(yīng)速度慢等問(wèn)題，因此可以考慮模糊控制同PID控制等傳統(tǒng)控制策略相結(jié)合的方式，以提高倒立擺系統(tǒng)控制的動(dòng)態(tài)特性;

（3）目前控制理論發(fā)展迅速，更多的智能控制理論出現(xiàn)在控制器設(shè)計(jì)中，例如最優(yōu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等，后續(xù)可以嘗試采用更智能的控制策略;

（4）本文的理論驗(yàn)證是在MATLAB/SIMULINK仿真環(huán)境下進(jìn)行的，后續(xù)可以考慮在實(shí)際的二級(jí)倒立擺試驗(yàn)臺(tái)中對(duì)控制策略進(jìn)行實(shí)物驗(yàn)證。

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