不同圓周運動模型的求解方法與思維探究

摘 要：在高中物理教學(xué)活動中圓周運動無疑占有重要的地位，在力學(xué)、電學(xué)以及磁場等各個模塊都有圓周運動的身影。教師需要對于各種常見的問題解決方法進行分析、整理和研究，需要對不同的運動模型進行探討，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，讓同學(xué)們可以理清思路更快速地掌握這些陌生的學(xué)習(xí)方法并對所學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，進而提高整體的學(xué)習(xí)效率，鞏固學(xué)習(xí)成果。同時，在開展具體的題型分析時，要注重了解學(xué)生的實際情況，加強師生之間的交流互動，營造良好的解題氛圍和課堂授課氛圍。因此，學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下針對不同圓周運動模型的求解方法進行相應(yīng)的探討，比較不同模型的異同點，同時以具體的例題為依托開展相應(yīng)的解題活動，才能真正地掌握相應(yīng)的解題方法，有清晰的解題思路。

關(guān)鍵詞：圓周運動模型;求解方法;有效策略

高中所涉及的圓周運動有勻速圓周運動和變速圓周運動，所有這些圓周運動都是有規(guī)律可循的，學(xué)生通過模型學(xué)習(xí)和類型比較可以很好地解決此類問題。高中階段我們研究圓周運動的核心是定圓心、定半徑、定向心力。一般分析方法步驟是先定圓心、半徑，盡可能做出軌跡。然后在動力學(xué)方面一般從兩個角度來研究：第一，從功能的角度研究，一般是研究圓周運動的一段過程時使用，大部分的情況是使用動能定理就可以求解圓周運動兩點之間的聯(lián)系。中間如有能量突變則應(yīng)當分段研究;第二，從牛頓運動定律的角度研究，一般是單點研究。要探究圓周運動中單點受力與運動的特點。此時我們一般對研究對象定點受力分析，然后把力分解到與圓共面和與圓垂直的方向，再把與圓共面的力繼續(xù)分解為徑向和切向，各方向受力規(guī)律一般如下：垂直圓面的力是平衡的。共面切向的力如果是勻速圓周運動則平衡，變速圓周運動則切向加速度用來改變圓周線速度的大小。所有的圓周運動徑向合力都是用來提供圓周運動的向心力，滿足圓周運動的特征方程。高中階段的圓周運動實際向心力可以是由一個力提供也可以是由幾個力的合力，或一些力沿徑向的合力提供。因此，在對圓周運動模型進行探討和運用時一般應(yīng)當先判斷是什么類型的圓周運動即是勻速圓周還是變速圓周，然后選擇解題方法和解題策略。不同類型的圓周運動定點分析關(guān)鍵就是對于向心力的分析，以下對于轉(zhuǎn)臺類圓周運動、細繩類圓周運動以及漏斗類的勻速圓周運動展開重點探討。體會圓周運動求解的基本模型和主要的規(guī)律方法。針對這些內(nèi)容開始正式的探討。

一、 轉(zhuǎn)臺類圓周運動求解方法分析

在每年的高考中往往都會涉及很多關(guān)于圓周運動的題目，對于相應(yīng)的知識點進行綜合性的考查。勻速圓周運動的核心是定圓心、半徑、向心力，寫徑向特征方程。在有關(guān)勻速圓周運動的試題中有一種是水平轉(zhuǎn)臺類圓周運動。這種題目基礎(chǔ)模型是指圍繞一個豎軸轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上有一個質(zhì)量為M的物體，這一物體可以跟隨著轉(zhuǎn)臺一起運動。物體以靜摩擦力f充當了向心力，這一圓周運動的徑向特征方程滿足——f=mrω2。其中ω為物體的角速度，在轉(zhuǎn)盤模型中ω指轉(zhuǎn)臺的角速度，如果轉(zhuǎn)臺加速旋轉(zhuǎn)，那么要保持轉(zhuǎn)臺和物體的相對靜止，就需要更大的向心力，則轉(zhuǎn)臺賦予物塊的靜摩擦力也會變得更大。靜摩擦力有一個最大值，當超過這個值以后，二者往往就會發(fā)生相對運動。靜摩擦力的最大值為f=μmg，并且這個時候f=mrω2，并且ω在此過程中表示物體和轉(zhuǎn)臺保持相對靜止的臨界角速度，大小為μg/r的值。此類題目可以有進一步的升級，可沿徑向放兩個或更多個物塊，物塊間可用輕繩或輕桿鏈接，則物塊隨轉(zhuǎn)盤圓周運動的復(fù)雜性就提高很多，受靜摩擦力的大小變化方向變化也有更多可能。當然該模型也可加上各種電場與磁場成為一種復(fù)合場的圓周運動，所以這種基礎(chǔ)模型雖然簡單但是可以開拓出一系列的題型。升級該題型的情景，也增加了趣味性。

例如：轉(zhuǎn)臺的最邊緣處有一個小物體。當達到一定的旋轉(zhuǎn)速度后，小物塊剛好可以離開站臺。這一轉(zhuǎn)臺是圓形的，半徑R的大小為0.5米，高度為0.8米。小物塊兒在離開轉(zhuǎn)臺以后，在水平方向上的位移s等于0.4m。在這道題中可以將小物塊離開轉(zhuǎn)臺后的運動看作初速度為v的平拋運動，運動的時間t為2H/g，初速度v=s/t。求得數(shù)值為1米每秒。如果將小物塊受到的最大靜摩擦力和滑動摩擦力看作是相等的。那么小物塊在離開站臺的瞬間所受到的最大靜摩擦力和轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)速會滿足如下公式：f=mv2/R，并且f=μmg。此時可以有針對性地求得轉(zhuǎn)臺的動摩擦因數(shù)為μ=0.2。

增多研究對象提升學(xué)生臨界狀態(tài)的分析：假設(shè)A與B是質(zhì)量都為m的物塊，與平臺的摩擦系數(shù)都是μ。隨平臺一起繞豎直方向的軸轉(zhuǎn)動，兩物塊分居在軸心兩側(cè)，用長為3L的輕繩連接，物塊隨平臺做圓周運動的半徑分別為L和2L，已知物塊所受最大靜摩擦等于物塊受到的滑動摩擦。則平臺轉(zhuǎn)速從0逐漸增大到A、B即將滑動的過程中，求A、B所受摩擦力的大小變化。本變形題在研究圓周運動的基礎(chǔ)上充分體現(xiàn)了物理經(jīng)典思維，即尋找物理過程的臨界點，分別定出A、B即將滑動時的摩擦力。多物體研究時，有些學(xué)生研究對象選擇不當，會因為物體有繩子的連接而選擇整體法研究造成解題混亂。提醒學(xué)生在隔離研究A、B時應(yīng)注意靜摩擦力變化的復(fù)雜性，該題型能很好地鍛煉學(xué)生的物理思維與想象。

在此過程中運用到了諸多求解方法。需要進行差異化分析，既要分析轉(zhuǎn)臺，又要分析物塊。同時還要對于所運用到的運動公式進行合理的選擇，進行準確的運算，過程中學(xué)生會積累豐富的解題經(jīng)驗以及縝密的解題思路。在此過程中所建立起來的圓周運動模型往往可以讓同學(xué)們有很好的學(xué)習(xí)效果，降低學(xué)生的理解難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。高中物理教師在對于圓周運動模型開展分析時應(yīng)注重滿足學(xué)生的實際需求，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會出現(xiàn)一系列的學(xué)習(xí)問題，例如受力分析錯誤，選擇的解題方法錯誤，對于勻速圓周運動的規(guī)律理解不夠透徹，出現(xiàn)計算錯誤等。這都需要教師進行有針對性地引導(dǎo)和幫助，以學(xué)生為主體開展相關(guān)的求解方法的探索活動，才能真正地提高整體的解題效率，掌握更多的解題方法和解題技巧。

二、 針對漏斗類圓周運動的運動模型求解方法的分析

所謂漏斗類圓周運動并不是指真正的漏斗，而是指的是倒置的圓錐或者半球形物體。物塊在這個漏斗內(nèi)做的正是圓周運動。通常假設(shè)這個漏斗的內(nèi)壁都是光滑的。那么在此過程中物體所受到的重力以及支持力的合力就會為整個圓周運動提供相應(yīng)的向心力。如果圓周運動的半徑是R，圓周運動的角速度是ω，那么F合=mrω2。

針對這一模型的研究分析可以讓學(xué)生進行相關(guān)方法的總結(jié)以及運動模型的完善更好地理解勻速圓周運動，體會物理思維方法。常見的漏斗類圓周運動模型，就是一個半球形漏斗，內(nèi)壁上面有一個物體會跟隨著漏斗一起圍繞著中心軸勻速旋轉(zhuǎn)。例：質(zhì)量為m，漏斗的角速度為ω。物體和漏斗是保持相對靜止的，夾角大小為60°，半球形內(nèi)壁為光滑表面物體，不受摩擦力。則物體受到重力以及支持力的作用，重力的方向豎直向下，支持力的方向垂直側(cè)壁，這兩個合力為F=mgtanθ。這個合力充當了物體做圓周運動的向心力，因而F合=mrω2，在此過程中r為物體做圓周運動的半徑，和漏斗的半徑R的關(guān)系式為r=Rsinθ。然后將所給的數(shù)值進行相應(yīng)的代入運算，在經(jīng)過計算以后會得到ω的值為2g/R。升級題型可以把內(nèi)壁改為粗糙，當轉(zhuǎn)動ω大于光滑時的轉(zhuǎn)速ω0時，小物塊有向外飛的趨勢，會獲得一個向內(nèi)的摩擦力，反之將得到一個向外的摩擦力。教師可以設(shè)定一個角速度（ω1<ω0，ω2>ω0）讓學(xué)生求支持力N與摩擦力f。從而獲得更好的感受，體會圓周運動解題的基本方法。此類模型類似于傾斜路面的車轉(zhuǎn)彎。條件的各種變化能更好地提高學(xué)生的空間想象能力與模型建構(gòu)能力，讓學(xué)生更深入體會圓周運動模型的分析方法，形成物理思維。

三、 針對細繩類圓周運動模型求解方法的分析和探究

細繩類圓周模型十分普遍，處理圓周運動有大致相同的動力學(xué)方法，但繩類模型也有一些自己的處理特點。主要因為繩子比較柔軟，可能會在條件改變下松弛，或者是在一些模型里可能改變繩子的方向，以及需要考慮繩子能承受的最大張力等問題。例：將一個質(zhì)量m=1kg，用長L=30cm固定在頂角為60°的光滑圓錐的頂點。球隨圓錐一起繞豎直方向的軸做勻速圓周運動。則問題的順序可以設(shè)定為（1）當斜面支持力N=0時求轉(zhuǎn)速ω0;（2）當ω=1/2ω0時，求繩子拉力T;（3）當ω=2ω0時，求繩子拉力T。（1）問中向心力由拉力T與重力G的合力提供即mgtan30°=mω2Lsinθ。（2）問中向心力由T、N、G共同提供，豎直方向平衡，水平徑向滿足圓周運動的特征方程。（3）問中則應(yīng)該考慮繩子的特性，角速度太大小球飛起來，模型中的繩子方向發(fā)生變化，此時依然是由重力與拉力的合力提供向心力。當然也可設(shè)定繩子能承受的最大張力，然后算最大角速度。這種例子的設(shè)置通過同一個物理量的變化直觀讓學(xué)生感受到運動與受力的關(guān)系，可以很好地鍛煉學(xué)生的受力分析，空間想象力，模型的提煉，深入體會圓周運動基本分析法，體會物理分析解決問題中的臨界狀態(tài)的確定，物理解題的邏輯，以及思維的樂趣。

勻速圓周的模型學(xué)習(xí)對于受力分析、模型建立、物理公式運用能力、邏輯思維能力以及臨界狀態(tài)等核心物理方法都提出了更多的要求。在類型問題解決中不僅能整理自己的思路，總結(jié)規(guī)律，更能體會物理思考的嚴謹邏輯和科學(xué)解決問題的美感。

四、 結(jié)語

總而言之，在高中物理教學(xué)的過程中圓周運動的模型既是高考的重點也是學(xué)生學(xué)習(xí)物理思維建立科學(xué)觀的一個重要環(huán)節(jié)。教師應(yīng)該為學(xué)生營造相應(yīng)的環(huán)境，幫助學(xué)生尋找歸納正確的圓周運動模型的求解方法。在面對一些較難的題目時不斷地鼓勵學(xué)生進行知識探索和知識遷移運用，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，而不是單純地進行題海訓(xùn)練。系統(tǒng)地分析研究圓周運動不僅解決學(xué)生的實際需求，更能鍛煉學(xué)生的邏輯和模型思維，體會物理思考的美感和樂趣。鼓勵學(xué)生對學(xué)科知識的融會貫通，找尋學(xué)習(xí)的樂趣，能更好地持續(xù)性學(xué)習(xí)。

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作者簡介：

林文琴，福建省福州市，福建省福州市福清華僑中學(xué)。