一類三維非線性系統(tǒng)的復(fù)雜簇發(fā)振蕩行為及其機(jī)理1)

馬新東 姜文安 張曉芳 韓修靜 畢勤勝

?(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

?(江蘇科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

引言

多尺度效應(yīng)廣泛存在于自然界的各種實(shí)際系統(tǒng)中,如不同神經(jīng)細(xì)胞的簇放電行為[1-3]、飛機(jī)的高速旋轉(zhuǎn)與慢速平動(dòng)的耦合[4]、化學(xué)系統(tǒng)中的同質(zhì)液相催化反應(yīng)[5]和周期激勵(lì)擾動(dòng)下齒輪振蕩器的快慢行為[6]等.多尺度的耦合往往使系統(tǒng)表現(xiàn)出大幅振動(dòng)和小幅振動(dòng)的組合[7],這種現(xiàn)象被稱為簇發(fā)振蕩[8-10].大幅振動(dòng)通常對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)在大振幅極限環(huán)內(nèi)的運(yùn)動(dòng),小幅振動(dòng)對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)在平衡點(diǎn)或小振幅極限環(huán)內(nèi)的運(yùn)動(dòng).連接大幅振動(dòng)和小幅振動(dòng)的可以是分岔[11-12],也可以是其他形式的動(dòng)力學(xué)行為,如脈沖式爆炸(PSE)[13-14]和吸引子的快速逃逸(speed escape of attractor)[15]等.

一般說來,多尺度效應(yīng)可以分成三類:第一種是時(shí)域上的,即系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間存在變化速率上的顯著差異,數(shù)學(xué)方程中出現(xiàn)小參數(shù)擾動(dòng)(0 < ε ?1);第二種是頻域上的,即系統(tǒng)中存在不同量級(jí)的頻率耦合,數(shù)學(xué)方程中出現(xiàn)與系統(tǒng)自然頻率有著量級(jí)差異的周期激勵(lì)頻率(0 < ω周期?ω自然);第三種是時(shí)域和頻域的耦合,由于快慢分析方法的限制,這類系統(tǒng)的研究存在較大的困難,目前只有較少的文獻(xiàn)[16-18].但這幾篇文獻(xiàn)也僅僅研究了激勵(lì)頻率遠(yuǎn)大于小參數(shù)的情況.對(duì)于前兩類多尺度效應(yīng),人們進(jìn)行了深入研究,取得了豐富的成果.如在時(shí)域多尺度方面,古華光[19]利用實(shí)驗(yàn)和理論相結(jié)合的方法,揭示了外激、參激和噪聲等不同調(diào)控機(jī)制下神經(jīng)元的多種簇放電模式及其轉(zhuǎn)遷規(guī)律;樊登貴等[20]從基于基底神經(jīng)節(jié)?丘腦皮層電路的帕金森神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)出發(fā),給出了電荷平衡雙相脈沖?深部腦刺激的最優(yōu)控制,并進(jìn)行了生理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證;包伯成等[21]提出了一種具有快慢結(jié)構(gòu)的三維Morris-Lecar 神經(jīng)元模型,通過分岔圖、時(shí)間序列等分析了混沌簇發(fā)和周期簇發(fā)等的機(jī)理; Desroches等[22]研究了由尖峰加周期分岔引起的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象,在這種動(dòng)力學(xué)行為中鴨式解起到了核心作用.

在頻域多尺度方面,鄭健康等[23]研究了參數(shù)激勵(lì)下一類三維混沌電路系統(tǒng)由叉形分岔滯后誘發(fā)的不同簇發(fā)行為及其機(jī)理; 韓青爽等[24]利用分岔圖、時(shí)間歷程圖等分析了周期激勵(lì)下水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)高溫氣動(dòng)薄膜的簇發(fā)特性;Zhou 等[25]分析了兩個(gè)參數(shù)激勵(lì)下最小化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)的簇發(fā),給出了4 種基于跨臨界分岔滯后的新型簇發(fā)形式;Makouo 和Woafo[26]在數(shù)值方面分析了兩種激勵(lì)下van der Pol 振蕩器的周期和混沌簇發(fā)現(xiàn)象,并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證;Kovacic 和Lenci[27]研究了低角激勵(lì)頻率下純非線性振子的簇發(fā),這種振動(dòng)模式是由繞慢流形的快速振蕩組成.

自激系統(tǒng)是自然界中廣泛存在一類動(dòng)力系統(tǒng),它的振蕩由系統(tǒng)自身的運(yùn)動(dòng)維持,如薄壁可縮軟管的自激振蕩現(xiàn)象[28],輪軌摩擦自激振蕩引起的鋼軌波磨現(xiàn)象[29],熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)的起振[30]和激波串的自激振蕩[31]等.如果自激系統(tǒng)某些參數(shù)發(fā)生周期變化且周期變化頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)簇發(fā)振蕩等豐富的動(dòng)力學(xué)行為.如Zdzislaw[32]研究了圓盤式單極發(fā)電機(jī)通過一個(gè)小振幅正弦電壓發(fā)生器向直流電動(dòng)機(jī)供電時(shí)的簇發(fā)振蕩、混沌振蕩等的產(chǎn)生條件.Shaw 等[33]對(duì)輝光放電等離子體自激裝置中的“fold/fold cycle” 型混沌簇發(fā)和混沌尖峰振蕩等進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究.Wang 和Ma[34]給出了噪聲影響下簡(jiǎn)化光學(xué)參量振蕩器的簇發(fā)振蕩產(chǎn)生機(jī)理.時(shí)培明等[35]分析了一類含準(zhǔn)周期參激剛度和摩擦阻尼的非線性扭振系統(tǒng)的周期簇發(fā)現(xiàn)象及其動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷.盡管對(duì)于自激系統(tǒng)不同形式的簇發(fā)及其機(jī)理研究已經(jīng)得到了豐富的成果,但由于多尺度效應(yīng)的復(fù)雜性,使得這類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性仍需要進(jìn)一步研究.本文針對(duì)一類自激單圓盤單機(jī)發(fā)電機(jī)三維非線性動(dòng)力系統(tǒng)[36-37],研究了系統(tǒng)在參數(shù)激勵(lì)作用下的不同簇發(fā)行為,如圖1 所示.該三維非線性系統(tǒng)可以描述兩種自激同極發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,這兩種發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上是等效的,都含有法拉第圓盤和線圈,不同的是一個(gè)含電容器,另一個(gè)含與線圈串聯(lián)的電機(jī).系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下

其中,x表示系統(tǒng)的重標(biāo)電流,y表示圓盤的角轉(zhuǎn)動(dòng)速度,z表示電容器的電荷或電機(jī)的角速度.α 表示力偶,κ 表示機(jī)械摩擦,β?1表示測(cè)量電樞的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或電容,ρ 表示電動(dòng)機(jī)的機(jī)械摩擦或漏泄電阻.這里將參數(shù)β 用函數(shù)β0+β1cos ωt調(diào)制,其中激勵(lì)頻率ω 滿足0 < ω1.這樣ω 與系統(tǒng)固有頻率ω0之間出現(xiàn)了量級(jí)差異,系統(tǒng)(1)成為一個(gè)典型的兩時(shí)間尺度自激系統(tǒng),其中方程(1)是快子系統(tǒng),方程=?ωβ1sin ωt是慢子系統(tǒng).該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究可以作為類似非線性低維系統(tǒng)研究的基礎(chǔ),可以用于描述地球物理流體動(dòng)力學(xué)中某些有趣的現(xiàn)象.諸如地球液態(tài)金屬核中自激磁流體動(dòng)力發(fā)電機(jī)作用產(chǎn)生的主要地磁場(chǎng)和地球大氣?海洋系統(tǒng)的“厄爾尼諾?南方濤動(dòng)”等,它們的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)表現(xiàn)出類似于非線性弛豫振蕩(或簇發(fā)振蕩)的特性,這是由大氣和海洋之間復(fù)雜的尺度效應(yīng)相互作用的結(jié)果.

圖1 參數(shù)β0=1,β1=0.8,α=2,κ=1,ω=0.01 時(shí)的不同簇發(fā)行為Fig.1 Different patterns of bursting oscillations for β0=1,β1=0.8,α=2,κ=1 and ω=0.01

本文以三維非線性電機(jī)系統(tǒng)(1)為例,圍繞多時(shí)間尺度簇發(fā)振蕩問題,旨在揭示亞臨界Hopf 分岔滯后和叉形分岔滯后行為誘發(fā)的多種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象機(jī)理,以及典型參數(shù)對(duì)簇發(fā)動(dòng)力學(xué)的影響.本文的組織結(jié)構(gòu)如下:在第1 節(jié)中,研究了快子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔,給出了Hopf 分岔、叉形分岔等典型分岔的產(chǎn)生機(jī)制.利用(β,x)平面內(nèi)的相圖與分岔圖的疊加,第2 節(jié)分析了對(duì)稱式亞臨界Hopf 分岔滯后簇發(fā)產(chǎn)生機(jī)理.第3 節(jié)給出了對(duì)稱式亞臨界Hopf 分岔滯后簇發(fā)隨參數(shù)ρ 變化的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷,得到了亞臨界Hopf 分岔滯后簇發(fā)、焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型對(duì)稱式叉形分岔滯后簇發(fā)和焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型叉形分岔滯后簇發(fā)3 種不同簇發(fā)模式.最后,第4 節(jié)總結(jié)全文.

1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔

對(duì)于方程(1),在任意參數(shù)條件下都會(huì)存在平衡點(diǎn)E0(0,α/κ,0).在E0處將系統(tǒng)線性化,可以得到Jacobian 矩陣

E0的穩(wěn)定性由對(duì)應(yīng)的特征方程F(λ)=a0λ3+a1λ2+a2λ +a3決定,其中a0=1,a1=κ+ρ+1 ?α/κ,a2=κρ+(κ+ρ)(1 ?α/κ)+β,a3=κρ(1 ?α/κ)+βκ.當(dāng)參數(shù)滿足a0a3?a1a2> 0 且a1> 0,a3> 0 時(shí),E0是穩(wěn)定的.當(dāng)a1a2?a0a3=0 時(shí),特征方程出現(xiàn)一對(duì)純虛根,此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf 分岔,產(chǎn)生振蕩頻率為=κρ+(κ+ρ)(1 ?α/κ)+β 的極限環(huán).

為了更清晰地說明系統(tǒng)的分岔行為,固定參數(shù)ρ=0.9,其他參數(shù)取值與圖1 相同,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)定性和分岔特性如圖2 所示.從中可以得到如下結(jié)論:平衡點(diǎn)E0總是不穩(wěn)定的;當(dāng)β>βLPC=0.807 1 時(shí),此時(shí)的穩(wěn)定吸引子為極限環(huán)LC1;當(dāng)β 隨時(shí)間慢變穿越叉形分岔點(diǎn)PB,出現(xiàn)另外兩個(gè)平衡點(diǎn)E1,2,并且在區(qū)間0.823 3=βsubH<β<βPB=0.9 內(nèi),E1,2都是不穩(wěn)定的;E1,2的穩(wěn)定性可以通過亞臨界Hopf 分岔subH1和subH2 改變,同時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán)LC2 和LC3,通過matcont[38]數(shù)值模擬可知LC2 和LC3 的振蕩幅值會(huì)逐漸增大.當(dāng)β 變化到達(dá)極限環(huán)的fold 分岔點(diǎn)LPC 和同宿分岔點(diǎn)Homo(βLPC=βHomo=0.807 1)時(shí),LC2 和LC3 與LC1 和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)E0碰撞消失.然后,在LPC 的左側(cè)只有兩個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E1,2.

圖2 ρ=0.9 的單參數(shù)分岔圖Fig.2 One-parameter bifurcation diagram for ρ=0.9

2 對(duì)稱式delayed subHopf/fold cycle 簇發(fā)

上節(jié)以ρ=0.9 為例研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔?xiàng)l件,基于此,這部分揭示ρ=0.9 時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為機(jī)理,其他參數(shù)的取值與圖1 相同.圖3 給出了ρ=0.9的系統(tǒng)相圖和時(shí)間序列,可以發(fā)現(xiàn),這種快慢動(dòng)力學(xué)行為顯然與穩(wěn)定極限環(huán)和穩(wěn)定平衡點(diǎn)有關(guān),這與圖2的分析相符.

圖3 ρ=0.9 的相圖和時(shí)間序列圖Fig.3 Phase diagram and time series for ρ=0.9

圖4 ρ=0.9 時(shí)(β,x)平面上的相圖與分岔圖的疊加Fig.4 The superposition of the phase diagram in(β,x)plane and bifurcation diagram for ρ=0.9

這種快慢動(dòng)力學(xué)行為的產(chǎn)生機(jī)制可以通過疊加(β,x)平面上的相圖和分岔圖[39]得到,見圖4.假設(shè)軌跡從β 的最大值1.8 處開始運(yùn)動(dòng),此時(shí)的穩(wěn)定吸引子為極限環(huán)LC1,LC1 的向量場(chǎng)使軌跡在LC1 的最大振幅和最小振幅之間大幅運(yùn)動(dòng).隨著β 減小到βPB,叉形分岔使系統(tǒng)出現(xiàn)另外兩個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E1,2.當(dāng)β 穿越βsubH1和βsubH2后,E1,2通過亞臨界Hopf 分岔穩(wěn)定,同時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán).同時(shí)可以看到,在subH1 和subH2 附近極限環(huán)LC1 的振蕩幅值變大,然后LC1 與兩個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)的fold分岔LPC 處碰撞消失,與此同時(shí),兩個(gè)不穩(wěn)定的環(huán)也與不穩(wěn)定平衡點(diǎn)E0曲線碰撞,出現(xiàn)同宿分岔Homo.最后,在LPC 和Homo 的左側(cè)只剩下穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E1,2,軌跡經(jīng)過短暫的振幅逐漸減小的高頻振動(dòng)后進(jìn)入平緩的平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng),直至β 減小到其最小值0.2.

當(dāng)β 從0.2 逐漸增大過程中,E1,2在subH1 和subH2 處失穩(wěn),但小幅平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)仍未消失,軌跡會(huì)繼續(xù)沿著不穩(wěn)定的E1,2運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間,表現(xiàn)為參數(shù)穿越亞臨界Hopf 分岔的慢通過效應(yīng),或者亞臨界Hopf分岔滯后.經(jīng)過一段滯后區(qū)間(見圖4(b),滯后區(qū)間寬度約為0.14),軌跡進(jìn)入穩(wěn)定極限環(huán)LC1 中大幅振蕩,直至β 增大到其最大值1.8,一個(gè)周期過程結(jié)束.

在這種快慢行為中,大幅運(yùn)動(dòng)開始于亞臨界Hopf 分岔滯后,結(jié)束于極限環(huán)的fold 分岔,而且在一個(gè)周期內(nèi)存在兩個(gè)對(duì)稱的大幅運(yùn)動(dòng),因此這種簇發(fā)模式可以稱為對(duì)稱式delayed subHopf/fold cycle 簇發(fā).

3 簇發(fā)的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷

上節(jié)給出了ρ=0.9 時(shí)的對(duì)稱式亞臨界Hopf 分岔滯后簇發(fā)的產(chǎn)生機(jī)理,下面研究這種簇發(fā)行為隨參數(shù)ρ 變化的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷,其他參數(shù)的取值仍與圖1相同.

3.1 兩參數(shù)分岔圖

圖5 給出了系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)β 和κ 的兩參數(shù)分岔集,從中可以發(fā)現(xiàn)β 從最小值?4 到最大值4 存在兩種穿越形式:一種是區(qū)域1,即這個(gè)過程只穿越了叉形分岔曲線PB;另一種是區(qū)域2,這個(gè)過程穿越了極限環(huán)的fold 分岔曲線LPC、亞臨界Hopf 分岔曲線subH 和叉形分岔曲線PB.穿越形式的不同,會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)不同的動(dòng)力學(xué)行為.

對(duì)稱式亞臨界Hopf 分岔滯后簇發(fā)是區(qū)域2 中當(dāng)LPC 曲線與subH 距離較遠(yuǎn)時(shí)的典型行為,ρ 的取值不會(huì)定性改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,因此可以取定參數(shù)ρ=0.9 進(jìn)行研究.

圖5 系統(tǒng)關(guān)于β 和ρ 兩參數(shù)分岔圖Fig.5 Two-parameter diagram related to β and ρ

3.2 Delayed subHopf/fold cycle 簇發(fā)

當(dāng)圖5 區(qū)域2 中的LPC 曲線與subH 距離較遠(yuǎn)時(shí),如ρ=0.8,由于LPC 分岔點(diǎn)和subH 分岔點(diǎn)距離很遠(yuǎn),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為受初始點(diǎn)的影響很大.圖6 給出了當(dāng)初始點(diǎn)分別為(0.001,0.001,0.001) 和(?0.001,?0.001,?0.001) 時(shí)的相圖和時(shí)間歷程,可以發(fā)現(xiàn)這兩部分關(guān)于x=0 是對(duì)稱的.

這種簇發(fā)行為的產(chǎn)生機(jī)制如圖7 所示.當(dāng)軌跡從β 的最大值1.8 處開始運(yùn)動(dòng)時(shí),此處的穩(wěn)定吸引子為L(zhǎng)C1,軌跡在LC1 中做大振幅振蕩.當(dāng)β 穿越叉形分岔PB 后,產(chǎn)生不穩(wěn)定平衡點(diǎn)E1.E1的穩(wěn)定性通過亞臨界Hopf 分岔subH1 改變,同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán).當(dāng)β 到達(dá)極限環(huán)的fold 分岔LPC 時(shí),穩(wěn)定極限環(huán)LC1 與不穩(wěn)定極限環(huán)碰撞消失.然后軌跡沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)E1曲線運(yùn)動(dòng),直至β 的最小值0.2.在β增大過程中,E1通過亞臨界Hopf 分岔失穩(wěn),軌跡繼續(xù)沿著不穩(wěn)定E1運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間,表現(xiàn)出分岔滯后效應(yīng)(此時(shí)滯后區(qū)間寬度約為0.16),隨后進(jìn)入穩(wěn)定極限環(huán)LC1 中運(yùn)動(dòng).

由圖可見,大幅運(yùn)動(dòng)開始于亞臨界Hopf 分岔滯后,結(jié)束于極限環(huán)的fold 分岔,因此這種快慢行為可以稱為delayed subHopf/fold cycle 簇發(fā).

3.3 焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型對(duì)稱式叉形分岔滯后簇發(fā)

圖6 ρ=0.8 的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.6 Phase diagram and time history for ρ=0.8

圖7 ρ=0.8 時(shí)(β,x)平面上的相圖與分岔圖的疊加Fig.7 The superposition of the phase diagram in(β,x)plane and bifurcation diagram for ρ=0.8

當(dāng)參數(shù)ρ 增大進(jìn)入?yún)^(qū)域1 時(shí),可以看到此時(shí)β雙向變化只會(huì)穿越叉形分岔PB,表現(xiàn)為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在不同平衡點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)遷.因此,平衡點(diǎn)的類型會(huì)決定系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的特性.如當(dāng)ρ=1.2 時(shí),E0是穩(wěn)定的焦點(diǎn)(當(dāng)β=1.52 時(shí),特征方程的特征根為λ1=?1,λ2,3=?0.1 ± 0.557i),E1,2也是穩(wěn)定的焦點(diǎn)(當(dāng)β=0.906 時(shí),特征方程的根為λ1=?1.08,λ2,3=?0.18 ± 0.714i).此時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為只與焦點(diǎn)有關(guān),對(duì)應(yīng)的相圖和時(shí)間序列如圖8 所示.

圖8 ρ=1.2 的相圖和時(shí)間序列Fig.8 Phase diagram and time series for ρ=1.2

圖9 給出了ρ=1.2 時(shí)的快慢動(dòng)力學(xué)分析.當(dāng)β從1.8 逐漸減小時(shí),軌跡會(huì)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)E0的平衡曲線做近似直線運(yùn)動(dòng).隨著β 穿越叉形分岔PB,系統(tǒng)出現(xiàn)了另外兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)E1,2.但在圖9 中可以看到,由于叉形分岔滯后的原因,軌跡沿著不穩(wěn)定的E0又運(yùn)動(dòng)很長(zhǎng)一段時(shí)間才轉(zhuǎn)到E1,2中運(yùn)動(dòng),直到β到達(dá)其最小值0.2.然后β 又開始逐漸增大,軌跡從沿著E1,2平衡曲線運(yùn)動(dòng)經(jīng)過叉形分岔轉(zhuǎn)入到E0的平衡曲線運(yùn)動(dòng),直至完成一個(gè)周期運(yùn)動(dòng).

圖9 ρ=1.2 的快慢動(dòng)力學(xué)分析Fig.9 Fast-slow analysis for ρ=1.2

這種快慢動(dòng)力學(xué)行為是軌跡從一個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)進(jìn)入另一個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),而且存在上下兩個(gè)對(duì)稱結(jié)構(gòu),同時(shí)又可以看到明顯的叉形分岔滯后特性(此時(shí)的滯后區(qū)間寬度約為0.5),因此這種簇發(fā)行為可稱為焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型對(duì)稱式叉形分岔滯后簇發(fā).

3.4 焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型叉形分岔滯后簇發(fā)

隨著ρ 的增大,對(duì)稱結(jié)構(gòu)發(fā)生破卻,初始取值決定了系統(tǒng)軌跡離開E0平衡曲線后的走向.圖10 給出了當(dāng)ρ=1.65 時(shí),初值分別為(0.001,0.001,0.001)和(?0.001,?0.001,?0.001)的相圖和時(shí)間歷程圖.

從圖11(a)可以看到系統(tǒng)軌跡從E0的平衡曲線進(jìn)入E1的平衡曲線時(shí),出現(xiàn)了一個(gè)很大的滯后區(qū)間.并且隨著ρ 的增大,這種叉形滯后區(qū)間的寬度越來越小(圖11(a)的滯后區(qū)間約為0.66,圖11(b)的滯后區(qū)間約為0.32,圖11(c)的滯后區(qū)間約為0.06,圖11(d)的滯后區(qū)間為0).這種動(dòng)力學(xué)仍是從焦點(diǎn)到焦點(diǎn)的簇發(fā)行為,并且沒有存在對(duì)稱結(jié)構(gòu),因此該簇發(fā)稱為焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型叉形分岔滯后簇發(fā).

4 結(jié)論

圖10 ρ=1.65 的相圖和時(shí)間序列Fig.10 Phase diagrams and time series for ρ=1.65

圖11 (β,x)平面上的相圖與分岔圖的疊加Fig.11 Overlapping of the phase diagram in(β,x)plane and bifurcation diagram

圖11 (β,x)平面上的相圖與分岔圖的疊加(續(xù))Fig.11 Overlapping of the phase diagram in(β,x)plane and bifurcation diagram(continued)

參數(shù)激勵(lì)下的兩時(shí)間尺度非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生非常復(fù)雜的簇發(fā)行為.在給定的參數(shù)條件下,對(duì)快子系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)叉形分岔、亞臨界Hopf 分岔、極限環(huán)的fold 分岔和同宿分岔,此時(shí)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的簇發(fā)形式為對(duì)稱式亞臨界Hopf 分岔滯后簇發(fā).在這種簇發(fā)行為中,發(fā)現(xiàn)了明顯的亞臨界Hopf分岔滯后現(xiàn)象.然后,借助兩參數(shù)分岔圖,研究了對(duì)稱式subHopf/fold cycle 簇發(fā)隨參數(shù)ρ 變化的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷,得到了delayed subHopf/fold cycle 簇發(fā)、焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型對(duì)稱式叉形分岔滯后簇發(fā)和焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型叉形分岔滯后簇發(fā),這些簇發(fā)的產(chǎn)生與ρ 和初始點(diǎn)的選取有關(guān).同時(shí),隨著ρ 的增大,亞臨界Hopf 分岔滯后區(qū)間寬度逐漸減小,叉形分岔滯后區(qū)間寬度先增大后減小.