永磁直流電動(dòng)機(jī)的正則化參數(shù)辨識(shí)

劉擎文，胡永美

(博世汽車部件(長(zhǎng)沙)有限公司，長(zhǎng)沙 410100)

0 引 言

小功率永磁直流電動(dòng)機(jī)廣泛應(yīng)用于工業(yè)及軍事領(lǐng)域，無(wú)論是對(duì)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速或者轉(zhuǎn)子角度的精確控制，還是對(duì)電動(dòng)機(jī)使用狀態(tài)的監(jiān)控以及故障診斷，都涉及到電動(dòng)機(jī)模型的參數(shù)辨識(shí)。大部分文獻(xiàn)分析的重點(diǎn)都是假設(shè)電動(dòng)機(jī)的基本參數(shù)(包括電阻、反電動(dòng)勢(shì)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等)是已知的，然后再計(jì)算相應(yīng)的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和電流，并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較[1]，或是對(duì)計(jì)算后的轉(zhuǎn)速和電流等進(jìn)行信號(hào)處理[2-3]。這些分析模型的精度都嚴(yán)重依賴于初始提供的電動(dòng)機(jī)參數(shù)的準(zhǔn)確性，然而，這些基本參數(shù)相比轉(zhuǎn)速和電流的測(cè)量精度更低，需要用到更昂貴的傳感器。并且，每個(gè)電動(dòng)機(jī)會(huì)由于制造帶來(lái)的差異而造成基本參數(shù)上略有變化，因此并不推薦直接用廠家提供的數(shù)據(jù)用于后續(xù)的精確控制。

為了解決以上問題，并為以后的分析提供更為準(zhǔn)確的設(shè)計(jì)參數(shù)，有的文章著重探討在轉(zhuǎn)速、電流等已知的情況下來(lái)估計(jì)電動(dòng)機(jī)基本參數(shù)。文獻(xiàn)[4]提出分別基于粒子群優(yōu)化、蟻群優(yōu)化和人工蜂群優(yōu)化的生物類算法，但這類算法的代價(jià)函數(shù)的搜索空間都是六維的，且搜索方向不具有指向性，并且作者還基于經(jīng)驗(yàn)提前限定了搜索空間范圍，避免陷入局部最優(yōu)，因此該方法并不滿足參數(shù)辨識(shí)的實(shí)時(shí)性要求。有的文章[5]則是通過引入方塊脈沖函數(shù)，將非線性電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)模型方程離散化，較大地提高了計(jì)算效率。但作者的計(jì)算過程都是基于空載條件，轉(zhuǎn)速、電流的微小波動(dòng)會(huì)較大地影響其對(duì)應(yīng)微分的估計(jì)。并且作者在計(jì)算摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，直接利用了反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)的代數(shù)關(guān)系，這會(huì)將反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)的計(jì)算誤差引入后續(xù)的摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算中，因此，其計(jì)算精度有進(jìn)一步提高的空間。

本文則是在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，討論的也是更為一般的電動(dòng)機(jī)工況：

(1) 外部負(fù)載不為零；

(2) 電動(dòng)機(jī)的起動(dòng)轉(zhuǎn)矩不為零；

(3) 考慮電源電壓的波動(dòng)。

通過提取電動(dòng)機(jī)機(jī)械特性曲線和電流特性曲線對(duì)應(yīng)的電壓、電流、外部負(fù)載和轉(zhuǎn)速，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)計(jì)算電動(dòng)機(jī)基本參數(shù)的目的。并且，利用反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)的代數(shù)關(guān)系作為約束條件，通過參數(shù)遞歸的方式，不斷修正兩者之間的代數(shù)誤差，最終實(shí)現(xiàn)電動(dòng)機(jī)參數(shù)辨識(shí)的目的。

1 永磁直流電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)模型

永磁直流電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)模型包括電壓平衡方程和轉(zhuǎn)矩平衡方程：

(1)

(2)

(3)

T0與電動(dòng)機(jī)的內(nèi)部損耗有關(guān)，近似表示：

(4)

(5)

(6)

將式(5)和式(6)改寫成：

(7)

(8)

2 時(shí)域系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)

2.1 性能測(cè)試曲線

為了精確計(jì)算相應(yīng)的系數(shù)，電流、電壓、轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩必須是已知的，而后者可以通過測(cè)量電動(dòng)機(jī)的機(jī)械特性曲線和電流特性曲線得到，如圖1所示。

(a) 忽略壓降時(shí)的電動(dòng)機(jī)性能曲線

(b) 考慮壓降時(shí)的電動(dòng)機(jī)性能曲線

在外接電壓恒定的情況下，若忽略電動(dòng)機(jī)從電源到端子的壓降(由線束、外接電器元件等引起)，電動(dòng)機(jī)(特別是小功率永磁直流電動(dòng)機(jī))的兩條性能曲線近似為直線。當(dāng)考慮壓降時(shí)，兩條曲線近似為拋物線，特別是接近堵轉(zhuǎn)區(qū)域時(shí)曲線斜率的絕對(duì)值明顯增加(由于磁飽和效應(yīng)與外部電阻引起的壓降共同作用)。因此，本文計(jì)算過程中并不會(huì)假設(shè)輸入電壓為常數(shù)。相反，當(dāng)記錄端電壓(非電源電壓)時(shí)能更好地排除電源到端子壓降引起的干擾，提高計(jì)算的精度；并且能保證后續(xù)的矩陣最小二乘法計(jì)算滿足可逆性條件(矩陣為滿秩矩陣)。

2.2 方塊脈沖函數(shù)

為了得到電流、轉(zhuǎn)速相應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)，還必須知道電流和轉(zhuǎn)速的時(shí)域特性。直接根據(jù)采集數(shù)據(jù)通過差分的形式得到相應(yīng)微分的近似值，會(huì)極大地受到測(cè)量系統(tǒng)采樣和傳感器精度的影響，而微分的計(jì)算精度直接影響了整個(gè)參數(shù)辨識(shí)的精度。為了解決這個(gè)問題，本文引入方塊脈沖函數(shù)[6]。首先將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程的形式，再通過方塊脈沖函數(shù)將積分離散化，極大地降低了累計(jì)誤差。

首先，分別將式(7)和式(8)兩邊同時(shí)積分，得：

(9)

(10)

i(t)和n(t)分別對(duì)應(yīng)于0～T時(shí)刻區(qū)間內(nèi)的電流和轉(zhuǎn)速，i(0)和n(0)為相應(yīng)的初始條件。當(dāng)利用方塊脈沖函數(shù)來(lái)近似表示i(t),n(t),u(t)和T2(t)時(shí)：

i(t)≈IWT

(11)

n(t)≈NWT

(12)

u(t)≈UWT

(13)

T2(t)≈T2WT

(14)

I=[i1i2…im]

(15)

N=[n1n2…nm]

(16)

U=[u1u2…um]

(17)

T2=[T2,1T2,2…T2,m]

(18)

W=[φ1φ2…φm]

(19)

式中：W為方塊脈沖函數(shù)[6]。電流、轉(zhuǎn)速、電壓和負(fù)載的第k個(gè)分量分別如下：

(20)

(21)

(22)

(23)

m為0～T時(shí)刻區(qū)間內(nèi)方塊脈沖的個(gè)數(shù)，h=T/m，h表示方塊脈沖的步長(zhǎng)。當(dāng)h足夠小時(shí)：

(24)

(25)

(26)

(27)

當(dāng)利用方塊脈沖函數(shù)來(lái)近似電流、轉(zhuǎn)速、電壓和負(fù)載的積分時(shí)[7]：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：

(32)

把式(11)～式(14)以及式(28)～式(31)代回式(9)和式(10)，可以將積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。即：

IWT-i0EWT=A1IHWT+A2NHWT+A3UHWT

(33)

NWT-n0EWT=B1IHWT+B2NHWT+

(34)

(35)

(36)

通過引入正則項(xiàng)，得：

(37)

式中：

(38)

λ為正則化參數(shù)。這里兩式符號(hào)相反是為了保證后續(xù)求解收斂。顯然，直接求解方程組非常困難，本文采用參數(shù)遞歸的方式。不妨設(shè)初始狀態(tài)j=0時(shí)，滿足以下關(guān)系：

(39)

當(dāng)j≥1時(shí),滿足：

(40)

(41)

將求得的A1,j，A2,j，A3,j，B1,j，B2,j，B3,j代回式(40)，直至滿足：

(42)

ε為足夠小的殘差。理想情況下，只經(jīng)過一次計(jì)算便得到‖K1‖=0,即并不需要參數(shù)遞歸便能求得所有需要計(jì)算的電動(dòng)機(jī)參數(shù)。然而,現(xiàn)實(shí)中由于測(cè)量誤差和空載轉(zhuǎn)矩的影響，直接計(jì)算得到的Ke和KT代數(shù)關(guān)系會(huì)存在一定的差值?？梢钥闯?參數(shù)遞歸的本質(zhì)其實(shí)是利用Ke和KT必須滿足的代數(shù)關(guān)系，來(lái)修正通過測(cè)量系統(tǒng)測(cè)得的I和N，從而進(jìn)一步縮小參數(shù)辨識(shí)的計(jì)算誤差。這也是本文區(qū)別于其他電動(dòng)機(jī)參數(shù)辨識(shí)文章的主要內(nèi)容之一。

3 實(shí)驗(yàn)與仿真

為了驗(yàn)證這方法的有效性，本文將計(jì)算參數(shù)與Simulink的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,并把計(jì)算后的參數(shù)代回Simulink電動(dòng)機(jī)模型，將模擬的輸出轉(zhuǎn)速和電流數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)值對(duì)比。其中，實(shí)測(cè)值取自博世長(zhǎng)沙生產(chǎn)的NSA-iB座椅水平調(diào)節(jié)電動(dòng)機(jī)性能測(cè)試結(jié)果，電動(dòng)機(jī)的示意圖如圖2所示，測(cè)量數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖2 NSA-iB座椅水平調(diào)節(jié)電動(dòng)機(jī)

(a) 輸入電壓與負(fù)載轉(zhuǎn)矩

(b) 輸出轉(zhuǎn)速與電流

在獲得電動(dòng)機(jī)測(cè)量的原始數(shù)據(jù)后，可以通過Simulink的“Parameter Estimation”模塊得到電動(dòng)機(jī)的基本參數(shù)值。首先在Simulink環(huán)境下建立電動(dòng)機(jī)的基本模型，如圖4所示，此時(shí)的模型輸入為電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；輸出為轉(zhuǎn)速和電流。測(cè)量數(shù)據(jù)的描述如表1所示。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)說明

從圖3中看出，輸入電壓為恒定值，輸入負(fù)載呈階梯狀，因此相應(yīng)得到的轉(zhuǎn)速和電流也為階梯變換的曲線。這里，之所以測(cè)試的曲線為階梯型，是因?yàn)樵趯?shí)際的應(yīng)用環(huán)境中往往更關(guān)注于某些特定的負(fù)載以及相應(yīng)輸出轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定程度，因此本測(cè)量系統(tǒng)在程序設(shè)計(jì)時(shí)才會(huì)考慮把負(fù)載設(shè)計(jì)成階梯變化。當(dāng)然，即使是輸入負(fù)載呈線性變化，或者測(cè)試電壓也并非恒定值，Simulink仿真以及本文提到的正則化參數(shù)辨識(shí)也同樣能得到電動(dòng)機(jī)的基本參數(shù)。

Simulink環(huán)境下的“Parameter Estimation”模塊進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的邏輯是通過不斷修正電動(dòng)機(jī)的基本參數(shù)，使得計(jì)算得到的輸出轉(zhuǎn)速和電流不斷逼進(jìn)實(shí)測(cè)的轉(zhuǎn)速和電流，收斂條件是最小均方誤差小于設(shè)定值，或者相鄰兩次迭代的最小均方誤差的差值小于設(shè)定值(這時(shí)容易陷入局部收斂)。Parameter Estimation模塊最大的優(yōu)勢(shì)是能夠自適應(yīng)選擇不同的優(yōu)化算法，收斂速度的快慢以及是否收斂于全局最優(yōu)取決于初始值以及搜索空間設(shè)定的合理性。而本文提出的正則化參數(shù)辨識(shí)相比仿真計(jì)算，同樣需要不斷迭代，但并不需要對(duì)參數(shù)初始值進(jìn)行假設(shè)，即使只迭代一次也能夠獲得較高的精度。因此，能夠大大縮短計(jì)算時(shí)間，滿足在線辨識(shí)電動(dòng)機(jī)基本參數(shù)的要求。

利用本文的正則化參數(shù)辨識(shí)法，得到的電動(dòng)機(jī)基本參數(shù)，與通過Simulink Parameter Estimation模塊仿真得到的基本參數(shù)的對(duì)比，如表2所示。

表2 電動(dòng)機(jī)參數(shù)計(jì)算值對(duì)比

將電動(dòng)機(jī)參數(shù)代回Simulink模型,如圖4所示，計(jì)算得到的轉(zhuǎn)速和電流曲線，如圖5所示。

圖4 電動(dòng)機(jī)的Simulink模型

(a) 實(shí)測(cè)與仿真轉(zhuǎn)速對(duì)比

(b) 實(shí)測(cè)與仿真電流對(duì)比

從表2中看出，Ra,fr,Ke,KT,J*和L非常接近，驗(yàn)證了正則化參數(shù)辨識(shí)的精度。相比于Simulink仿真計(jì)算，本方法的計(jì)算速度要快得多，原因主要是：即使不迭代，也能保證較高的精度，即能夠保證初值盡量接近最終解；迭代一定是朝著收斂的方向。而Simulink仿真計(jì)算初始值的設(shè)定需要預(yù)設(shè)一個(gè)好的參考值，還需要預(yù)設(shè)搜索范圍，并且容易陷入局部最小。因此，正則化參數(shù)辨識(shí)相比Simulink仿真，能夠同時(shí)保證預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性與實(shí)時(shí)性。

從圖5中還可以看出，無(wú)論是通過Simulink仿真，還是通過正則化參數(shù)辨識(shí)得出的轉(zhuǎn)速和電流曲線，都能較好地?cái)M合實(shí)測(cè)曲線。并且兩種方法擬合的曲線幾乎重合，主要原因也是參數(shù)設(shè)定非常接近。當(dāng)然，兩種方法得出的曲線都與實(shí)測(cè)值有一定的差異，其原因可能是來(lái)自于測(cè)量誤差，以及對(duì)于轉(zhuǎn)速和電流相應(yīng)導(dǎo)數(shù)處理時(shí)引入的誤差。當(dāng)然，為了進(jìn)一步減小與實(shí)測(cè)值的差異，可以嘗試將原測(cè)量曲線分成若干段，并針對(duì)每段不斷調(diào)整電動(dòng)機(jī)參數(shù)來(lái)擬合。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了一種新的永磁直流電動(dòng)機(jī)正則化參數(shù)辨識(shí)法，能夠?qū)崟r(shí)、準(zhǔn)確地估計(jì)電動(dòng)機(jī)參數(shù)。與其它參數(shù)辨識(shí)法相比，引入了Ke和KT的相對(duì)關(guān)系作為正則項(xiàng)，能夠進(jìn)一步提高參數(shù)辨識(shí)的精度，并且適用于變負(fù)載、變電壓的工況。無(wú)論是與Simulink仿真，還是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，都證明了本方法有較高的精度，為后續(xù)的電動(dòng)機(jī)在線故障監(jiān)測(cè)或者轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)速精確控制提供更可靠的電動(dòng)機(jī)參數(shù)值。