基于MATLAB的輪胎側(cè)偏剛度對汽車瞬態(tài)響應(yīng)影響研究

吳云兵，胥峰，李兵，熊樂，張鵬飛，應(yīng)宇汀

（中汽研汽車檢驗(yàn)中心（寧波）有限公司，浙江 寧波 315336）

前言

汽車的操縱穩(wěn)定性是指在駕駛員不感到過分行、疲勞的條件下，汽車能遵循駕駛員通過轉(zhuǎn)向系及轉(zhuǎn)向車輪給定的方向行駛，且當(dāng)遭遇外界干擾時(shí)，汽車能抵抗干擾而保持穩(wěn)定行駛的能力[1]。汽車瞬態(tài)響應(yīng)特性是指瞬態(tài)狀況下的運(yùn)動響應(yīng)，一般分為時(shí)域響應(yīng)特性和頻率響應(yīng)特性。時(shí)域響應(yīng)特性一般是基于角階躍輸入下瞬態(tài)響應(yīng)，頻率響應(yīng)特性可以用橫擺角速度的增益和相位角表示。

輪胎受力狀況、運(yùn)動狀態(tài)以及與路面間的相互作用復(fù)雜性極大增加了輪胎力學(xué)特性研究的難度[2]。而輪胎的側(cè)偏剛度又是輪胎的重要力學(xué)參數(shù)之一，對整車操縱穩(wěn)定性有重要影響。因此，研究不同輪胎側(cè)偏剛度對汽車瞬態(tài)響應(yīng)的影響，對提高整車操縱穩(wěn)定性有著重要意義。

本文通過建立線性二自由度汽車模型的橫擺角速度傳遞函數(shù)，并利用 MATLAB編寫角階躍輸入瞬態(tài)響應(yīng)試驗(yàn)仿真程序，研究了不同輪胎側(cè)偏剛度對汽車前輪角階躍輸入瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

1 輪胎的側(cè)偏特性

輪胎的側(cè)偏特性是輪胎力學(xué)特性的重要組成。側(cè)偏特性主要是指側(cè)偏力、回正力矩與側(cè)偏角之間的關(guān)系，它是研究汽車操縱穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。

輪胎坐標(biāo)系與地面反力的關(guān)系如圖1所示。垂直于車輪旋轉(zhuǎn)軸線的輪胎中分平面稱為車輪平面。坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為車輪平面和地平面的交線同旋轉(zhuǎn)軸線在地面上投影的交點(diǎn)。車輪平面與地平面的交線為X軸，規(guī)定向前為正。Z軸與地平面垂直，規(guī)定指向上方為正。Y軸在地平面上，規(guī)定面向車輪前進(jìn)方向時(shí)指向左方為正。

圖1 輪胎的坐標(biāo)系與地面反力

由于汽車行駛過程中常受到傾斜路面、離心力及側(cè)風(fēng)等因素的影響，當(dāng)側(cè)向力FY未到達(dá)附著極限的時(shí)候，車輪前進(jìn)方向偏離車輪平面，上述便是輪胎的側(cè)偏現(xiàn)象，側(cè)偏角α即為車輛前進(jìn)方向與車輪平面的夾角。試驗(yàn)結(jié)果顯示，當(dāng)側(cè)偏角不超過 5°時(shí)，側(cè)偏力FY與側(cè)偏角α為線性關(guān)系。汽車正常行駛時(shí)，側(cè)向加速度小于 0.4g，側(cè)偏角不大于 4°～5°，便可將側(cè)偏力FY與側(cè)偏角α的關(guān)系當(dāng)做線性關(guān)系，即：

式中：k為輪胎側(cè)偏剛度。

2 整車二自由度動力學(xué)模型

為便于掌握操縱穩(wěn)定性的基本特性，通常將車輛簡化成一個(gè)由前后兩個(gè)有側(cè)向彈性的輪胎支撐于地面、且只具有側(cè)向及橫擺運(yùn)動的二自由度汽車模型。

圖2 二自由度汽車模型

當(dāng)車輛側(cè)向加速度值限制在0.4g范圍內(nèi)時(shí)，輪胎側(cè)偏特性呈現(xiàn)線性關(guān)系。在車輛坐標(biāo)系下，根據(jù)二自由度汽車沿y軸方向受力及繞質(zhì)心的力矩情況，得到線性二自由度汽車運(yùn)動微分方程為：

式中：k1、k2分別為前輪和后輪的側(cè)偏剛度；a、b分別為汽車質(zhì)心至前、后軸的距離；β為質(zhì)心的側(cè)偏角，且β=u/v；u、v；分別為質(zhì)心速度V在車輛坐標(biāo)系x、y軸上的速度分量，即縱向車速和側(cè)向車速；ωr為汽車橫擺角速度；δ為前輪轉(zhuǎn)角；m為汽車質(zhì)量；IZ為汽車轉(zhuǎn)動慣量。

由式（2）可得：

對式（3）求導(dǎo)可得：

將式（4）代入式（2）得：

式（5）寫成以ωr為變量的形式，即：

式（6）是單自由度一般強(qiáng)迫振動微分方程式，通常寫成：

當(dāng)給定前輪的輸入為轉(zhuǎn)角盤角階躍輸入，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

當(dāng)t＞0時(shí)，式（8）進(jìn)一步簡化為：

3 動力學(xué)模型的解析

微分方程（9）為二階常系數(shù)非齊次，顯然它的通解為它的對應(yīng)的齊次微分方程的通解與特解之和。其特解為：

當(dāng)K=0時(shí)，此時(shí)車速與橫擺角速度與成比例關(guān)系，該狀態(tài)稱為中性轉(zhuǎn)向（見圖3）。

當(dāng)K＞0時(shí)，較中性轉(zhuǎn)向時(shí)偏低，車速與其不再呈現(xiàn)比例關(guān)系，此時(shí)的橫擺角速度增益曲線低于中性轉(zhuǎn)向，當(dāng)汽車具備這種特性時(shí)便稱作不足轉(zhuǎn)向。當(dāng)K值增大時(shí)，橫擺角速度增益的曲線逐漸降低，不足轉(zhuǎn)向量增加。車速達(dá)到的時(shí)候，橫擺角速度增益的數(shù)值達(dá)到最大。uch稱為特征車速，對汽車不足轉(zhuǎn)向有著重要影響。

當(dāng)K＜0時(shí)，較中性轉(zhuǎn)向時(shí)偏高，此時(shí)的橫擺角速度增益曲線高于中性轉(zhuǎn)向，當(dāng)汽車具備這種特性時(shí)便稱作過多轉(zhuǎn)向。當(dāng)K值增大時(shí)（即K值的絕對值增大），帶來更大的過多轉(zhuǎn)向。車速達(dá)到的時(shí)候，車輛轉(zhuǎn)向靈敏度值趨近無窮大，ucr被稱作臨界車速，對車輛過多轉(zhuǎn)向量有著重要影響。臨界車速減小時(shí)，帶來更大的過多轉(zhuǎn)向。

圖3 橫擺角速度增益曲線

式（10）對應(yīng)的齊次方程為：

其通解可由如下的特征方程求得：

根據(jù)ζ的數(shù)據(jù)，特征方程的根為：

齊次方程的通解為：

上式中，積分常數(shù) C、Φ、C1、C2、C3、C4的值需依照車輛的初始條件來計(jì)算。

當(dāng)ζ＞1時(shí)，橫擺角速度ωr(t)為持續(xù)增長的，為大阻尼。當(dāng)時(shí)間持續(xù)推進(jìn)時(shí)，ωr逐步接近穩(wěn)態(tài)橫擺角速度ωr0；一旦車輛速度超過其臨界車速ucr，ωr便趨于發(fā)散，接近無窮大，該狀態(tài)下車輛失穩(wěn)。

當(dāng)ζ=1時(shí)，橫擺角速度ωr(t)曲線也是持續(xù)增長的且趨近ωr0，稱作臨界阻尼。

當(dāng)ζ＜1時(shí)，橫擺角速度ωr(t)是為減幅正弦曲線，且最終收斂于值ωr0，其瞬態(tài)響應(yīng)為小阻尼?，F(xiàn)代生產(chǎn)的汽車的瞬態(tài)響應(yīng)通常為小阻尼，因此本論文只探討前輪在轉(zhuǎn)向盤角階躍輸入下，ζ＜1時(shí)狀態(tài)下ωr(t)的變化規(guī)律，研究影響ωr(t)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。當(dāng)ζ＜1時(shí)，其橫擺角速度為：

或

下面確定積分常數(shù)C、A1、A2。

車輛的起始運(yùn)動條件是：當(dāng)t=0，ωr=0，v=0，δ=δ0。根據(jù)運(yùn)動方程式（2）能夠得到t=0的時(shí)候，

由于t=0時(shí)，ωr=0，求得式（17）中的一個(gè)積分常數(shù)為：

由于t=0時(shí)，，可求得另外一個(gè)積分常數(shù)為：

而

因此

圖4 轉(zhuǎn)向盤角階躍輸入下的汽車瞬態(tài)響應(yīng)

式（22）便是當(dāng)車輛前輪給定轉(zhuǎn)向盤角階躍輸入裝填下的橫擺角速度瞬態(tài)響應(yīng)。根據(jù)車輛的初始條件能夠德奧，當(dāng)t=0，ωr=0。由式（22）可知，t=∞時(shí)，也就是橫擺角速度ωr(t)最終趨近穩(wěn)態(tài)橫擺角速度ωr0。隨著t在0與∞之間變化，ωr(t)為一條正弦曲線，且是逐漸衰減的（見圖4）。很明顯地，當(dāng)阻尼比增加，衰減速度加快。

影響瞬態(tài)響應(yīng)的參數(shù)交通，通常使用以下幾個(gè)參數(shù)來確定車輛瞬態(tài)響應(yīng)品質(zhì)，以下描述部分參數(shù)。

（1）波動時(shí)的固有頻率ω0

根據(jù)方程式（7）能夠得到：

固有頻率ω0是評價(jià)車輛瞬態(tài)響應(yīng)的重要特征參數(shù)之一。當(dāng)ω0值相對高些時(shí)，車輛瞬態(tài)響應(yīng)好。所示為部分歐洲及日本轎車的穩(wěn)定性因素 K值與固有頻率f0值關(guān)系，固有頻率f0=ω0/ 2π。從圖5能夠看見，f0值為1Hz附近時(shí)。歐洲高速公路允許的最高車速最高，所以轎車行駛車速高，其固有頻率也較高，在0.9Hz以上[3]。

圖5 部分歐洲及日本轎車固有頻率f0值與穩(wěn)定性因素K值

（2）阻尼比ζ

由式（7）可知：

計(jì)算表明，隨著車速的提高，ζ值減小；在穩(wěn)定性因素K值不變的條件下，后輪胎側(cè)偏剛度增加有助于ζ值得增大；質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、軸距減小，ζ值亦有所增加[4]。

德國幾個(gè)大學(xué)的研究機(jī)構(gòu)進(jìn)行了規(guī)模較大試驗(yàn)，得出的結(jié)論是現(xiàn)代轎車超調(diào)量是ωrmax/ω0×100%=112%～165%，試驗(yàn)條件是31.3m/s（70mile/h），ay=0.4g。與此相對應(yīng)的阻尼ζ=0.5～0.8[5]。

（3）反應(yīng)時(shí)間τ

反應(yīng)時(shí)間為車輛前輪輸入轉(zhuǎn)向盤角階躍運(yùn)動后，橫擺角速度第首次到達(dá)穩(wěn)定值ωr0所需時(shí)間。也有部分文獻(xiàn)取到達(dá)0.9ωr0或0.63ωr0值需要的時(shí)間，被用來進(jìn)行定性分析時(shí)，沒有本質(zhì)區(qū)別。τ也是評價(jià)車輛瞬態(tài)響應(yīng)重要特征參數(shù)之一。τ值偏小時(shí)，車輛瞬態(tài)響應(yīng)較好。

加下來把車輛橫擺角速度響應(yīng)方式（16）重新列出：

當(dāng)t=τ時(shí)，

即sin（ωτ+Φ）=0

故

研究表明：當(dāng)車速增長時(shí)，車輛的響應(yīng)時(shí)間減小；當(dāng)車輛質(zhì)量增大時(shí)，軸距伸長，車輛的響應(yīng)時(shí)間也相應(yīng)減小；但轉(zhuǎn)動慣量增加時(shí)，車輛響應(yīng)時(shí)間有所增加。

（4）達(dá)到第一峰值ωr1的時(shí)間ε

車輛到達(dá)第一峰值ωr1所需時(shí)間ε通常也被用作評定車輛瞬態(tài)橫擺響應(yīng)品質(zhì)的特征參數(shù)。ε也稱作峰值反應(yīng)時(shí)間。

式（16）兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，得到：

當(dāng)t=ε時(shí)，

故

德國幾所大學(xué)的車輛研究機(jī)構(gòu)進(jìn)行了轉(zhuǎn)向盤角階躍響應(yīng)試驗(yàn)，得到下面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：近代車輛的ε=0.23～0.59s；而質(zhì)心側(cè)偏角與峰值反應(yīng)時(shí)間的乘積εβ，即汽車因素 T.B.為0.25～1.45s（°），相應(yīng)的試驗(yàn)工況為 31.3m/s（70mile/h），ay=0.4g。Benz中型貨車裝備不同輪胎時(shí)，在u=20m/s，ay=0.3g的試驗(yàn)條件下，ε=0.94～1.72s，T.B.=2.06～4.76s（°），質(zhì)心側(cè)偏角β=2.05°～3.03°。

4 模型的仿真分析

對式（6）進(jìn)行拉氏變換可得：

經(jīng)整理得到：

方程式（28）可以被當(dāng)作控制系統(tǒng)中的傳遞函數(shù)，也及時(shí)把車輛當(dāng)作一個(gè)開環(huán)系統(tǒng)。車輛方向盤轉(zhuǎn)角δ是輸入激勵(lì)，車輛橫擺角速度ωr是輸出響應(yīng)。式（28）即為汽車系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

二自由度汽車車身參數(shù)如表1所示。

選取試驗(yàn)車速為30m/s，在仿真時(shí)間為0時(shí)給前輪一個(gè)階躍信號，使前輪由 0°轉(zhuǎn)到 10°，并保持不變。為考察輪胎側(cè)偏剛度對汽車瞬態(tài)響應(yīng)的影響，前、后輪側(cè)偏剛度由－23140N/rad、-38320N/rad變?yōu)椋?3120N/rad、-66250N/rad。

表1 二自由度汽車模型仿真參數(shù)

圖6 轉(zhuǎn)向盤角階躍輸入下的汽車瞬態(tài)響應(yīng)

根據(jù)汽車橫擺角速度傳遞函數(shù)，編寫繪制不同側(cè)偏剛度下的汽車橫擺角速度的時(shí)域特性曲線的MATLAB程序。運(yùn)行程序，得到不同輪胎側(cè)偏剛度下的汽車橫擺角速度時(shí)域特性曲線如圖 6所示?？梢钥闯?，汽車在行駛速度相同、前輪轉(zhuǎn)角輸入相同的情況下，較大的輪胎側(cè)偏剛度，橫擺角速度峰值變化不大，但汽車響應(yīng)時(shí)間顯著縮短，汽車穩(wěn)定性變好。

5 結(jié)論

本文介紹了輪胎的側(cè)偏特性，建立了汽車二自由度動力學(xué)模型，并對動力學(xué)模型進(jìn)行了求解，最后應(yīng)用 MATLAB對動力學(xué)模型進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果表明：較高的輪胎側(cè)偏剛度（指絕對值），能顯著縮短汽車響應(yīng)時(shí)間，保證汽車具有良好的操縱穩(wěn)定性。