未知時(shí)變擾動(dòng)下的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制

張家旭 周時(shí)瑩 周洪亮 趙 健 朱 冰

(1吉林大學(xué)汽車(chē)仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)春 130022)(2中國(guó)第一汽車(chē)集團(tuán)有限公司智能網(wǎng)聯(lián)開(kāi)發(fā)院, 長(zhǎng)春 130011)(3哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院, 哈爾濱 150001)

自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)是解決城市交通擁堵問(wèn)題和環(huán)境問(wèn)題的重要手段之一，而連續(xù)、快速、穩(wěn)定的車(chē)輪滑移率跟蹤控制是自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)化的重要基礎(chǔ).因此，開(kāi)發(fā)連續(xù)、快速、穩(wěn)定的車(chē)輪滑移率跟蹤控制策略對(duì)于加速自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)產(chǎn)業(yè)化具有重要的意義[1-2].

傳統(tǒng)的車(chē)輪滑移率跟蹤控制通常以提高汽車(chē)的制動(dòng)穩(wěn)定性和最小化汽車(chē)的制動(dòng)距離為控制目標(biāo)，基于邏輯切換規(guī)則的控制方式將車(chē)輪滑移率控制在輪胎-地面附著系數(shù)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)滑移率附近.文獻(xiàn)[3]基于車(chē)輪制動(dòng)力矩、滑移率和角加速度等信息設(shè)計(jì)邏輯切換規(guī)則，將輪胎-地面附著系數(shù)控制在其峰值附近.文獻(xiàn)[4]基于車(chē)輪角加速度信息設(shè)計(jì)邏輯切換規(guī)則，使輪胎-地面附著系數(shù)在其峰值點(diǎn)附近形成穩(wěn)定的極限環(huán).文獻(xiàn)[5]采用車(chē)輪制動(dòng)力矩和滑移率的若干門(mén)限值作為切換條件，并從系統(tǒng)穩(wěn)定性角度給出了門(mén)限值的約束條件.文獻(xiàn)[6]采用優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)制動(dòng)系統(tǒng)切換規(guī)則的自動(dòng)調(diào)整，提高標(biāo)定效率.上述基于邏輯切換規(guī)則的控制方式難以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意目標(biāo)滑移率高精度的跟蹤控制，無(wú)法滿足自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)的需求.

相對(duì)于基于邏輯切換規(guī)則的控制方式，基于動(dòng)態(tài)模型的控制方式更容易實(shí)現(xiàn)連續(xù)、快速、穩(wěn)定的目標(biāo)滑移率的跟蹤控制，適用于自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)的需求.文獻(xiàn)[7]提出一種全狀態(tài)反饋的車(chē)輪滑移率跟蹤控制策略.文獻(xiàn)[8]建立線性時(shí)變參數(shù)控制模型，并采用線性二次最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)車(chē)輪滑移率跟蹤控制器.文獻(xiàn)[9]采用反饋線性化思想設(shè)計(jì)出一種車(chē)輪滑移率自適應(yīng)跟蹤控制策略.文獻(xiàn)[10]提出一種車(chē)輪滑移率二階滑模跟蹤控制策略.文獻(xiàn)[11]提出一種車(chē)輪滑移率最優(yōu)跟蹤控制策略.文獻(xiàn)[12]針對(duì)不同的地面附著條件，基于LuGre輪胎模型和回饋遞推控制方法設(shè)計(jì)車(chē)輪滑移率跟蹤控制器.文獻(xiàn)[13]提出一種干擾自補(bǔ)償車(chē)輪滑移率跟蹤控制策略.上述基于動(dòng)態(tài)模型的控制方式通常面臨控制模型無(wú)法精確表征車(chē)輪滑移率動(dòng)態(tài)而導(dǎo)致所設(shè)計(jì)的車(chē)輪滑移率跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)失穩(wěn).因此，設(shè)計(jì)具有強(qiáng)魯棒性、快速性和高精度的車(chē)輪滑移率跟蹤控制策略具有重要的實(shí)用價(jià)值.

本文針對(duì)自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)對(duì)車(chē)輪滑移率跟蹤控制的需求，提出一種對(duì)未知時(shí)變擾動(dòng)具有強(qiáng)魯棒性的車(chē)輪滑移率非線性跟蹤控制策略.基于Burckhardt輪胎模型建立車(chē)輪滑移率跟蹤控制模型，并基于此設(shè)計(jì)出可在線估計(jì)和補(bǔ)償未知時(shí)變擾動(dòng)的非線性干擾觀測(cè)器.同時(shí)，利用設(shè)計(jì)出具有有限時(shí)間收斂特性的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制律，并給出閉環(huán)系統(tǒng)平衡點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定的嚴(yán)密證明.最后，結(jié)合車(chē)輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)所提出策略進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

1 數(shù)學(xué)模型建立

車(chē)輪滑移率跟蹤控制模型是控制策略設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，但過(guò)于復(fù)雜的車(chē)輪滑移率跟蹤控制模型易導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)不確定性具有高靈敏度的控制策略.圖1為車(chē)輪滑移率動(dòng)態(tài)，圖中Fx為輪胎縱向力，F(xiàn)z為車(chē)輪垂向載荷，Tb為車(chē)輪制動(dòng)力矩，ω為車(chē)輪角速度，v為車(chē)速.基于圖1所示的車(chē)輪滑移率動(dòng)態(tài)建立關(guān)于車(chē)輪角速度和車(chē)速的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中，J為車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；r為車(chē)輪有效滾動(dòng)半徑；m為1/4整車(chē)質(zhì)量.

圖1 車(chē)輪滑移率動(dòng)態(tài)

為了使基于車(chē)輪滑移率跟蹤控制模型設(shè)計(jì)的控制策略簡(jiǎn)單有效，采用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、參數(shù)較少的Burckhardt輪胎模型描述輪胎縱向力為

Fx=Fzμ(λ)

(2)

式中，μ(λ)為輪胎-地面附著系數(shù)，可表示為[14]

μ(λ)=θ1(1-e-λθ2)-λθ3

(3)

式中，θ1、θ2和θ3為模型參數(shù)；λ表示制動(dòng)工況下車(chē)輪滑移率，即

(4)

對(duì)式(4)求二階導(dǎo)數(shù)，可得

(5)

對(duì)式(1)求一階導(dǎo)數(shù)并將其代入式(5)，可得

(6)

(7)

2 非線性干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

(8)

定義李雅普諾夫候選函數(shù)為

(9)

對(duì)式(9)求導(dǎo)，可得

(10)

(11)

將不等式(11)代入式(10)，可得

(12)

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，式(8)描述的非線性干擾觀測(cè)器估計(jì)誤差將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)域D，即

式中，ξ>0.

由式(13)可知，參數(shù)L1越大，觀測(cè)器估計(jì)精度越高.同時(shí)，觀測(cè)器估計(jì)誤差的有限時(shí)間收斂特性是其獨(dú)立于控制律設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).

利用非線性干擾觀測(cè)器的估計(jì)輸出設(shè)計(jì)車(chē)輪滑移率跟蹤前饋補(bǔ)償控制量，由此可將式(7)中包含的控制變量表示為

(14)

式中，u1為車(chē)輪滑移率跟蹤反饋控制量.

由式(14)可知，將非線性干擾觀測(cè)器的估計(jì)輸出作為車(chē)輪滑移率跟蹤前饋控制量可以有效減小車(chē)輪滑移率跟蹤反饋控制量的負(fù)擔(dān).將式(14)代入式(7)，可得

(15)

3 快速終端滑模控制律設(shè)計(jì)

考慮式(15)描述的車(chē)輪滑移率跟蹤控制模型，本節(jié)基于有限時(shí)間和快速終端滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制律.為此，采用下式描述的非奇異快速終端滑模面定義系統(tǒng)滑模特性：

σ=x1+κ1|x1|αsgn(x1)+κ2|x2|βsgn(x2)

(16)

式中，κ1>0、κ2>0、1<β<2和α>β為設(shè)計(jì)參數(shù).

由文獻(xiàn)[16]可知，非奇異快速終端滑模面上的狀態(tài)軌跡將在有限時(shí)間收斂到系統(tǒng)的平衡點(diǎn).因此，下面設(shè)計(jì)車(chē)輪滑移率跟蹤快速終端滑模控制律，使任意初始位置的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間收斂到式(16)描述的非奇異快速終端滑模面上，進(jìn)而得到如下定理.

定理1考慮式(15)描述的車(chē)輪滑移率跟蹤控制模型，設(shè)計(jì)如下車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制律：

(17)

式中，κ3>0、κ4>0、η1>1和0<η2<1為設(shè)計(jì)參數(shù).則由式(17)描述的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制律形成的車(chē)輪滑移率跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)的平衡原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

證明定義李雅普諾夫候選函數(shù)為

(18)

對(duì)式(18)描述的李雅普諾夫候選函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(19)

對(duì)式(16)描述的非奇異快速終端滑模面進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(1+κ1α|x1|α-1)x2+κ2β|x2|β-1(f(x)+

(20)

將式(20)代入式(19)，可得

(21)

將式(17)描述的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制律代入式(21)，可得

κ3|σ|η1+1-κ4|σ|η2+1

(22)

(23)

由設(shè)計(jì)參數(shù)η1>1和0<η2<1可知，當(dāng)式(18)描述的李雅普諾夫候選函數(shù)V2>1時(shí)，式(23)可簡(jiǎn)化為

(24)

由比較引理可知[17]，滿足不等式(24)約束的李雅普諾夫候選函數(shù)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至V2=1，且到達(dá)時(shí)間滿足

(25)

式中，V2(0)為李雅普諾夫候選函數(shù)初始值；T1為李雅普諾夫候選函數(shù)由初始值V2(0)收斂到V2=1所需的時(shí)間.

當(dāng)李雅普諾夫候選函數(shù)V2≤1時(shí)，式(23)可簡(jiǎn)化為

(26)

由比較引理可知[17]，滿足不等式(26)約束的李雅普諾夫候選函數(shù)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至V2=0，且到達(dá)時(shí)間滿足

(27)

式中，T2為李雅普諾夫候選函數(shù)由V2=1收斂到V2=0所需的時(shí)間.

因此，任意初始位置的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將在有限時(shí)間收斂至式(16)描述的非奇異快速終端滑模面上.再結(jié)合式(16)描述的非奇異快速終端滑模面的性質(zhì)可知，閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.證畢.

4 仿真分析

本節(jié)對(duì)所提出的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制策略進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并以車(chē)輛左前輪滑移率仿真結(jié)果為例，與基于傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的車(chē)輪滑移率跟蹤控制策略進(jìn)行對(duì)比分析[18].車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制策略參數(shù)設(shè)置為：L1=12，κ1=350，κ2=200，κ3=500，κ4=300，α=3.5，β=1.2，η1=3，η2=1.6，ρ1=ρ2=100，ρ3=200.仿真車(chē)輛主要參數(shù)設(shè)置為：m=1 416 kg，J=0.9 kg·m2，r=0.31 m.

4.1 階躍遞增信號(hào)仿真工況

在階躍遞增信號(hào)仿真工況中，車(chē)速初始值設(shè)置為33.34 m/s，變速器檔位設(shè)置為空擋，階躍遞增信號(hào)的幅值分別設(shè)置為0.05和0.1.仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2(a)～(e)分別為階躍遞增信號(hào)仿真工況的車(chē)速與輪速、車(chē)輪滑移率、車(chē)輪滑移率跟蹤誤差、輪胎-地面附著系數(shù)隨車(chē)輪滑移率變化歷程和車(chē)輪制動(dòng)力矩.由圖2(a)～(d)可知，基于傳統(tǒng)滑模控制方法設(shè)計(jì)的控制策略與本文提出的控制策略均可以快速、穩(wěn)定地跟蹤階躍遞增信號(hào)，并且可以使輪胎-地面附著系數(shù)由一種穩(wěn)態(tài)狀態(tài)平穩(wěn)過(guò)渡到另一種穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，但本文提出的控制策略具有更高的跟蹤精度和更快的響應(yīng)速度.由圖2(e)可知，基于傳統(tǒng)滑模控制方法設(shè)計(jì)的控制策略存在抖振現(xiàn)象，影響汽車(chē)制動(dòng)性能，而本文提出的控制策略可以有效抑制抖振現(xiàn)象.相對(duì)于基于傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的控制策略的最大車(chē)輪滑移率跟蹤殘差0.62%，本文提出的控制策略的最大車(chē)輪滑移率跟蹤殘差僅為0.32%，滿足自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)的需求.

4.2 斜坡信號(hào)仿真工況

在斜坡信號(hào)仿真工況中，車(chē)速初始值設(shè)置為33.34 m/s，變速器檔位設(shè)置為空擋，斜坡信號(hào)的幅值設(shè)置為0.1，斜坡信號(hào)的變化速率設(shè)置為0.1.仿真結(jié)果如圖3所示.

圖3(a)～(e)分別為斜坡信號(hào)仿真工況的車(chē)速與輪速、車(chē)輪滑移率、車(chē)輪滑移率跟蹤誤差、輪胎-地面附著系數(shù)隨車(chē)輪滑移率變化歷程和車(chē)輪制動(dòng)力矩.由圖3(a)～(c)可知，2種控制策略均可以快速、穩(wěn)定地跟蹤斜坡信號(hào)，但基于傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的控制策略在2.3～2.5 s期間圍繞目標(biāo)值存在較大的波動(dòng)現(xiàn)象，此波動(dòng)現(xiàn)象導(dǎo)致圖3(d)所示的輪胎-地面附著系數(shù)也產(chǎn)生波動(dòng)現(xiàn)象，降低了制動(dòng)平順性，而本文提出的控制策略在整個(gè)時(shí)間歷程均具有更高的跟蹤精度和更快的響應(yīng)速度.由圖3(e)可知，基于傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的控制策略存在抖振現(xiàn)象，影響汽車(chē)制動(dòng)性能，而本文提出的控制策略可以有效抑制抖振現(xiàn)象.同時(shí)，相對(duì)于基于傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的控制策略的最大車(chē)輪滑移率跟蹤殘差0.085%，本文提出的控制策略的最大車(chē)輪滑移率跟蹤殘差僅為0.042%，滿足自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)的需求.

(a) 車(chē)速和輪速

(d) 輪胎-地面附著系數(shù)隨車(chē)輪滑移率變化歷程

(a) 車(chē)速和輪速

(d) 輪胎-地面附著系數(shù)隨車(chē)輪滑移率變化歷程

5 結(jié)論

1) 建立了車(chē)輪滑移率跟蹤控制模型，并且設(shè)計(jì)了非線性干擾觀測(cè)器，在線估計(jì)和補(bǔ)償未知時(shí)變擾動(dòng)，提高了系統(tǒng)的魯棒性和降低了設(shè)計(jì)的保守性.同時(shí)，利用設(shè)計(jì)出具有有限時(shí)間收斂特性的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制律，并給出閉環(huán)系統(tǒng)平衡點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定的嚴(yán)密證明.

2) 結(jié)合車(chē)輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)所提出的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制策略的可行性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證，并且與基于傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的車(chē)輪滑移率跟蹤控制策略進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明，本文所提出的車(chē)輪滑移率魯棒非線性跟蹤控制策略具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性和魯棒性，可以將車(chē)輪滑移率跟蹤殘差控制在0.32%以?xún)?nèi)，滿足自動(dòng)駕駛電動(dòng)汽車(chē)的需求.