始于現(xiàn)象，達(dá)于素養(yǎng)

黃雪林 徐建東 孫四周

摘要：根據(jù)現(xiàn)象教學(xué)的原則，用于學(xué)習(xí)的素材必須是真實(shí)的，學(xué)生的思考也必須是真實(shí)的、自然的。現(xiàn)象教學(xué)下的《正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)》一課，沒(méi)有設(shè)置奇特的問(wèn)題情境，而是讓學(xué)生直接面對(duì)問(wèn)題本身——運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變量及其關(guān)系;而啟動(dòng)思維的“問(wèn)題”，則由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并提出。這節(jié)課表明，現(xiàn)象教學(xué)完全可以進(jìn)入常規(guī)課堂，即便一道數(shù)學(xué)題也可以用現(xiàn)象教學(xué)的觀念實(shí)施教學(xué)。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象教學(xué) 《正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)》 學(xué)習(xí)素材

一、教學(xué)分析

（一）設(shè)計(jì)思路

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，掌握了這些函數(shù)的性質(zhì)以及從圖象研究函數(shù)性質(zhì)的方法。所以，本節(jié)課的學(xué)習(xí)，先要把這些知識(shí)和方法遷移過(guò)來(lái)，在研究完正弦函數(shù)以后再返回去加以整合，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的結(jié)構(gòu)化。

根據(jù)現(xiàn)象教學(xué)的原則，用于學(xué)習(xí)的素材必須是真實(shí)的，學(xué)生的思考也必須是真實(shí)的、自然的。因此，本課沒(méi)有設(shè)置奇特的問(wèn)題情境，而是讓學(xué)生直接面對(duì)問(wèn)題本身——運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變量及其關(guān)系;而啟動(dòng)思維的“問(wèn)題”，則由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并提出。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要。”問(wèn)題意識(shí)也是核心素養(yǎng)教育所重視的。

（二）學(xué)情分析

筆者授課班級(jí)的學(xué)生一共50人。學(xué)生思維比較活躍，接受新知識(shí)的能力和歸納能力都比較好，熟悉多媒體，會(huì)使用科學(xué)計(jì)算器，可以利用“幾何畫(huà)板”軟件開(kāi)展猜想、驗(yàn)證、證明等探究活動(dòng)。課堂上，可以放手讓學(xué)生由單位圓中動(dòng)點(diǎn)的變化現(xiàn)象（生活現(xiàn)象）入手，在抽象出正弦函數(shù)以后，再把正弦函數(shù)當(dāng)作一種現(xiàn)象（數(shù)學(xué)現(xiàn)象）加以研究。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該獲得如下的發(fā)展：能夠理解正弦函數(shù)圖象形成的本質(zhì)屬性，并歸納出“五點(diǎn)法”作圖法;利用正弦函數(shù)圖象理解正弦函數(shù)的性質(zhì)，尤其是理解正弦函數(shù)是描述“周而復(fù)始”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型;積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠應(yīng)用正弦函數(shù)性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)生成正弦函數(shù)

師（投影單位圓和其上一點(diǎn)P，如圖1）現(xiàn)在有一個(gè)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)伸出你的手，模擬它的運(yùn)動(dòng)，多轉(zhuǎn)幾圈。

（學(xué)生的手指在空中轉(zhuǎn)圈。）

師在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，有很多量也在變化。你能說(shuō)出一些嗎？

生弧長(zhǎng)AP在變，點(diǎn)P的高度在變，點(diǎn)P到x軸的距離……

（教師提示：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)。）

生點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離（橫坐標(biāo)），點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，（有學(xué)生笑）點(diǎn)P到任何一個(gè)定點(diǎn)的距離，都在變。

師在這個(gè)變化的世界里，我們能發(fā)現(xiàn)無(wú)數(shù)的變化量。

生是的。

師但所有的變化都起因于——

生P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

師是的，P點(diǎn)的變化帶動(dòng)了所有這些變化，似乎P點(diǎn)能確定所有這些變量。

生是的。

師這里有什么數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

生有函數(shù)。

師函數(shù)？在哪里？請(qǐng)你說(shuō)出一個(gè)來(lái)。

[思考：這時(shí)，學(xué)生有清晰的函數(shù)“感覺(jué)”，表達(dá)卻有困難，因?yàn)椴粫?huì)選取“自變量”。而這，是建立函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)。]

師所謂函數(shù)，就是在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，對(duì)于x的任意一個(gè)值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。所以，（師生齊說(shuō)）要寫(xiě)函數(shù)必須把自變量寫(xiě)出來(lái)，用它來(lái)表示因變量。

師是不是可以選點(diǎn)P當(dāng)自變量？

生不可以，自變量必須是個(gè)實(shí)數(shù)，不能是點(diǎn)。

師那么，該選誰(shuí)呢？

生角。

師說(shuō)得好！用角來(lái)刻畫(huà)一個(gè)旋轉(zhuǎn)量，太方便了。再看，設(shè)哪個(gè)角為自變量？

生以x軸正方向?yàn)槭歼叄琌P為終邊形成的角，把它的弧度數(shù)記為x。

師一旦角x定了，其他那些量也都——（師生齊說(shuō)）唯一確定！

師我們來(lái)寫(xiě)幾個(gè)函數(shù)關(guān)系。弧長(zhǎng)是——（生答“y=x”）P點(diǎn)縱坐標(biāo)是——（生答“y=sinx”）P點(diǎn)橫坐標(biāo)是——（生答“y=cosx”）P點(diǎn)到圓心O的距離是——（生答“y=1”）。

[思考：在回答最后一個(gè)函數(shù)關(guān)系，即P點(diǎn)到圓心O的距離時(shí)，學(xué)生猶豫了一下，因?yàn)檫@個(gè)距離恒等于1，它不是變量。經(jīng)過(guò)一番糾結(jié)，他們才明白，這也是函數(shù)，即常函數(shù)y=1。學(xué)生以前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)“真實(shí)的”常函數(shù)，教師舉出的例子都是人為給定的，剛才感覺(jué)“好笑”的學(xué)生改變了對(duì)常函數(shù)的看法——這是個(gè)意外收獲。]

（二）在活動(dòng)之中生成真知

師當(dāng)我們把一種現(xiàn)象用函數(shù)刻畫(huà)以后，它就進(jìn)入了數(shù)學(xué)的范疇。在數(shù)學(xué)上，我們一般要研究函數(shù)的哪些內(nèi)容？

生定義域、值域、解析式、圖象、單調(diào)性、奇偶性、周期性……

師你準(zhǔn)備怎么研究？

生畫(huà)函數(shù)的圖象。

師現(xiàn)在我們來(lái)看這些函數(shù)中的一個(gè)。先看哪一個(gè)？

[思考：讓學(xué)生選擇，意在增強(qiáng)他們的參與意識(shí)、主體意識(shí)。自己選擇的，情感上最認(rèn)同，研究起來(lái)也最有熱情。其實(shí)，選擇哪個(gè)函數(shù)，教師有絕對(duì)的主導(dǎo)權(quán)。最后教師“幫他們”定下一個(gè)。]

師先研究正弦函數(shù)y=sinx。在正式研究之前，我們先來(lái)做一個(gè)大致的預(yù)估。當(dāng)角的弧度數(shù)x變化時(shí)，sinx是怎么變的？伸出你的手，在空中比畫(huà)一下。

（學(xué)生用手指頭代表點(diǎn)在空中轉(zhuǎn)圈，感受sinx值的周而復(fù)始變化：高→低→高→低……）

師大家都在比畫(huà)一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，那么這個(gè)圓是不是正弦函數(shù)的圖象？

生圓不可能是函數(shù)圖象，一個(gè)x值對(duì)應(yīng)兩個(gè)y值，不可能的。

師那么，函數(shù)圖象應(yīng)該是——

（學(xué)生用手做向右的運(yùn)動(dòng)，但還不太清楚，因而猶猶豫豫。）

師函數(shù)中有兩個(gè)變量，自變量x怎么體現(xiàn)？（學(xué)生手指向右做直線運(yùn)動(dòng)）函數(shù)值y怎么體現(xiàn)？（學(xué)生手指上下運(yùn)動(dòng)）綜合起來(lái)怎么體現(xiàn)？

（師生共同活動(dòng)：先體現(xiàn)x的變化，用右手的食指做水平運(yùn)動(dòng);再體現(xiàn)y的變化，手指做上下豎直運(yùn)動(dòng);最后再綜合起來(lái)，體現(xiàn)x變化時(shí)y隨之產(chǎn)生的變化，手指向右的同時(shí)也進(jìn)行上下的運(yùn)動(dòng)，在空中形成波動(dòng)曲線。）

[思考：至此，正弦函數(shù)的大致圖象正式呈現(xiàn)在眼前，下面需要做的就是用數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言精確表達(dá)。這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是個(gè)不太復(fù)雜的技術(shù)活。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)有了對(duì)圖象的整體認(rèn)識(shí)，而且非常清晰，“示意圖”已在心里，怎么表達(dá)就只是方法選擇的問(wèn)題。學(xué)生有多種作圖方法可以使用：可用坐標(biāo)描點(diǎn)作圖，可用尺規(guī)平移作圖，還可用更簡(jiǎn)便的“五點(diǎn)法”作圖等。相較于上面的意義生成，并不特別強(qiáng)調(diào)作圖能力的重要性。]

1.探究活動(dòng)一。

師現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出紙和筆，畫(huà)正弦函數(shù)y=sinx的圖象。

（學(xué)生繪制正弦函數(shù)圖象，熟悉和感知圖象的特征。3—4分鐘后，投影展示圖2—圖4中的學(xué)生作品并點(diǎn)評(píng)。）

生近似計(jì)算。

師很好， 坐標(biāo)為無(wú)理數(shù)，我們一般只能近似表示。當(dāng)然，近似計(jì)算不是精確的圖。那么，有沒(méi)有一種畫(huà)法能作出精確的函數(shù)圖象？

（學(xué)生討論。）

師用刻度尺來(lái)度量就肯定是近似的。

生（豁然開(kāi)朗）用不帶刻度的尺子反而可以畫(huà)出精確的圖象，那就是尺規(guī)作圖。

師是的，尺規(guī)作圖被認(rèn)為是精確的?？墒?，尺規(guī)作圖能畫(huà)出正弦函數(shù)的圖象嗎？

（學(xué)生嘗試。）

師請(qǐng)同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)你的想法。

生用圓規(guī)截指定長(zhǎng)度的線段作為縱坐標(biāo)，也就是……

生在單位圓里作正弦線，用作平行線的方法把正弦線平移過(guò)去，當(dāng)作縱坐標(biāo)。

師（面向全班）他們兩人說(shuō)的什么意思？大家認(rèn)可嗎？請(qǐng)按照你的理解畫(huà)圖看看。如果不清楚，可以討論。

（請(qǐng)兩位學(xué)生板書(shū)示范作圖方法。教師點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)作圖的原理，然后動(dòng)畫(huà)展示。）

師我們使用“幾何畫(huà)板”一起來(lái)感受?chē)?yán)格的數(shù)學(xué)刻畫(huà)。（出示圖5）“幾何畫(huà)板”是根據(jù)正弦函數(shù)的幾何意義畫(huà)圖的。同學(xué)們思考一下：在用“幾何畫(huà)板”繪制正弦函數(shù)圖象的過(guò)程中，各變量所包含的幾何意義是什么？

生自變量x是角，sinx是角x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

生自變量x還可以是單位圓角x所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，sinx表示點(diǎn)的縱坐標(biāo)，其絕對(duì)值就是點(diǎn)到x軸的距離。

（教師播放動(dòng)畫(huà)：AP伸長(zhǎng)時(shí)，P的縱坐標(biāo)隨之變化，且被弧長(zhǎng)x所確定。）

師同學(xué)們歸納得都非常好！既然自變量x表示的是弧長(zhǎng)，正弦函數(shù)y=sinx表示的是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，我們不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)變量達(dá)到了表達(dá)意義上的和諧統(tǒng)一。

生數(shù)學(xué)好神奇啊！原來(lái)這樣刻畫(huà)正弦函數(shù)關(guān)系的變量，意義上也獲得了統(tǒng)一。

師我們常常使用的多媒體工具中，還能用什么來(lái)輔助研究函數(shù)圖象？

生我們能不能用Excel軟件輔助我們研究？我們?cè)谘芯窟^(guò)程中就直接應(yīng)用變量的幾何意義，用弧長(zhǎng)x刻畫(huà)到y(tǒng)軸的位移，利用散點(diǎn)圖畫(huà)函數(shù)圖象？

（請(qǐng)學(xué)生在電腦上利用Excel軟件直接操作，再次感知正弦函數(shù)的圖象。）

師我們還可以利用“函數(shù)計(jì)算器”等現(xiàn)代信息技術(shù)，幫助研究函數(shù)的圖象。

[思考：學(xué)生利用幾何畫(huà)板、Excel等信息技術(shù)手段，畫(huà)出精確圖象，開(kāi)展自主探究，實(shí)現(xiàn)了“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變。]

2.探究活動(dòng)二。

師請(qǐng)同學(xué)們閉上眼睛感知一下正弦函數(shù)圖象的特征，設(shè)想一下，正弦函數(shù)的草圖要如何繪制？

生正弦函數(shù)的圖象像波浪一樣，有起伏高低。

生有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。

生正弦函數(shù)的圖象是對(duì)稱(chēng)的。

師怎樣對(duì)稱(chēng)的？

生一半在x軸上方，一半在x軸下方……關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

師觀察得很細(xì)致！對(duì)稱(chēng)中心之間有什么規(guī)律嗎？

生對(duì)稱(chēng)中心都在x軸上，（-2π，0），（-π，0），（0，0），（π，0），（2π，0）……每π弧長(zhǎng)都會(huì)與x軸相交，所以在一段完整的圖象上應(yīng)該有5個(gè)特殊的點(diǎn)，其中3個(gè)點(diǎn)在x軸上，再加上一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)。

師同學(xué)們觀察得很到位，總結(jié)歸納得也非常準(zhǔn)確！我們現(xiàn)在再閉上眼睛，眼前就能浮現(xiàn)出正弦函數(shù)的圖象。如果要你快速地畫(huà)出示意圖，可以選擇——

師我們?cè)趺蠢斫膺@“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)的圖象？下面請(qǐng)同學(xué)們利用“五點(diǎn)法”，快速作出y=sinx在[-2π，2π]的圖象。

[思考：選定區(qū)間去具體作圖，是為了讓學(xué)生對(duì)“五點(diǎn)法”有真切的感受，同時(shí)幫助他們明確“在不同周期里”特殊點(diǎn)的含義。這個(gè)區(qū)間上的圖形還體現(xiàn)了“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”，也隱含了圖象“往復(fù)出現(xiàn)”。標(biāo)出每一個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)、感知對(duì)稱(chēng)性和重復(fù)性，增加了對(duì)圖形的實(shí)在性的認(rèn)識(shí)，這有利于以后理解和記憶函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)為y=Asin（ωx+φ）的學(xué)習(xí)打下知識(shí)基礎(chǔ)。]

3.活動(dòng)探究三。

師如果把正弦函數(shù)的定義域推廣到R，如何繪制圖象？有沒(méi)有什么數(shù)學(xué)依據(jù)或者現(xiàn)象依據(jù)？

生任意角的周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)或者利用誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）=sinx，（教師補(bǔ)充“其中k∈Z”，并出示圖6）可知正弦函數(shù)圖象為以2π為周期的函數(shù)圖象。

師正弦函數(shù)圖象和我們生活中的周期現(xiàn)象一樣，周而復(fù)始地出現(xiàn)，我們稱(chēng)它為正弦曲線，周期為2kπ，k∈Z，其中最小正周期為2π。

[思考：三角函數(shù)是刻畫(huà)“周而復(fù)始”現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，所以學(xué)生通過(guò)自主探究感知“周期性”是本節(jié)課的重點(diǎn)。實(shí)際生活中，有很多具有周期性的現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，比如高中物理中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電中的電流、共振系統(tǒng)、流體力學(xué)，等等。同時(shí)，三角函數(shù)也是學(xué)生遇到的第一個(gè)用來(lái)刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于部分學(xué)生來(lái)說(shuō)也將是唯一的一個(gè)。]

4.探究活動(dòng)四。

師通過(guò)已有的正弦函數(shù)圖象，你知道正弦函數(shù)有哪些性質(zhì)？

（學(xué)生看圖寫(xiě)性質(zhì)，填寫(xiě)表1。）

（三）在反思之中實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展

師本節(jié)課我們做了哪些事？收獲了什么？

生我們研究了圓周運(yùn)動(dòng)中的正弦函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它是周期函數(shù)，圖象呈現(xiàn)周期性變化。

生了解到正弦函數(shù)圖象在形成過(guò)程中的幾何畫(huà)圖法，很神奇！

生掌握了“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)圖象，如果用它畫(huà)由正弦函數(shù)構(gòu)成的其他函數(shù)圖象也能用。

生掌握了研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法：定義→圖象→性質(zhì)。

[思考：最后的自我總結(jié)歸納，讓學(xué)生自己完成，目的在于實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。課堂實(shí)踐也證明了這樣做是有效的，特別是學(xué)生想到了“五點(diǎn)法”以及函數(shù)研究方法的“一般化”。]

（四）布置作業(yè)（略）

三、教學(xué)評(píng)析

現(xiàn)實(shí)中，有一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生會(huì)很自然地說(shuō)出“周期性”這個(gè)詞，比如對(duì)太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)、四季的更替、星期的周而復(fù)始等，他們會(huì)說(shuō)那是“周期性重復(fù)的”;但在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)以后，學(xué)生反而不能自如地說(shuō)“周期性”三個(gè)字了。在別人提起時(shí)，他們頭腦中閃現(xiàn)的則是公式T=2π/ω（正余弦）或T=π/ω（正切）。他們對(duì)“周期公式”非常熟悉，而對(duì)于其本原的意義卻失去了理解和運(yùn)用。

掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，反而抑制了“數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維和數(shù)學(xué)的表達(dá)”，根本原因是機(jī)械記憶和過(guò)度嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)化訓(xùn)練。這是知識(shí)教學(xué)天然的缺憾，通常也被歸結(jié)到“應(yīng)試教育”的名下。為了彌補(bǔ)，人們又先后嘗試了問(wèn)題教學(xué)、情境教學(xué)等，取得了一定的成效但并沒(méi)有完全解決問(wèn)題?，F(xiàn)象教學(xué)的出現(xiàn)，帶給了我們更大的希望。《正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)》這節(jié)課，就很好地體現(xiàn)了現(xiàn)象教學(xué)的特點(diǎn)。

其一，面對(duì)真實(shí)的學(xué)習(xí)材料。

要研究正弦函數(shù)，首先就要對(duì)其有清晰的概念，以前我們疏忽了這一點(diǎn)，以為給出了sinα=y/r的定義，學(xué)生就認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)了。其實(shí)并不是這樣。如果問(wèn)高三學(xué)生“什么是三角函數(shù)”，還會(huì)有學(xué)生回答：“sin30°就是三角函數(shù)”，或“三角函數(shù)就是y=sinx、y=cosx和y=tanx”等。

以知識(shí)教學(xué)的觀點(diǎn)，教師會(huì)分析“x的弧度是實(shí)數(shù)，因此這里給出的是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集之間的映射，因而可以說(shuō)是函數(shù)”。這在邏輯上自然是沒(méi)有問(wèn)題的，但是這種演繹式的教學(xué)只停留在知識(shí)的推演（講授）上，由邏輯帶來(lái)干巴巴的知識(shí)，學(xué)生沒(méi)有直觀的感受，沒(méi)有自由的想象，更沒(méi)有情感的觸動(dòng)和智慧的激發(fā)。在教師畫(huà)完一個(gè)周期[0，2π]的圖象后，學(xué)生可能連后一個(gè)周期[2π，4π]的圖象都沒(méi)有探究欲，更談不上通向無(wú)窮遠(yuǎn)的圖象了。

本節(jié)課，黃老師先給出一個(gè)現(xiàn)象——運(yùn)動(dòng)的P點(diǎn)，讓學(xué)生自己體會(huì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化量及依賴(lài)關(guān)系。這個(gè)現(xiàn)象是學(xué)生所熟悉的，也是直接就可以用來(lái)分析的，因此它本身具有“實(shí)在性、真實(shí)性”，不需要借助其他手段來(lái)解釋或襯托。在用手指比畫(huà)出波形曲線（多個(gè)波段）后，圖象的周期性及無(wú)窮性已經(jīng)不言自明了。

真實(shí)的材料引發(fā)真實(shí)的思考，才會(huì)有自由的想象、自然的感悟和自主的生成。

其二，讓知識(shí)自然生成。

點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，黃老師讓學(xué)生用手指在空中轉(zhuǎn)圈，演示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。如果改用多媒體來(lái)顯示這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，是否可以？當(dāng)然可以，但用手指來(lái)顯示更好。在屏幕上顯示運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把某些量做出特別標(biāo)記（比如正弦線標(biāo)為紅色）和提示，學(xué)生確實(shí)能“看到”其中的變化及規(guī)律，但這還是一種直接的灌輸，只是灌輸?shù)募夹g(shù)高明了一些——從單純的口頭語(yǔ)言變成了文字、圖形、聲音等多種形式的語(yǔ)言。借用的高科技并沒(méi)有發(fā)揮激發(fā)思維的作用，反而使得“觀察”更容易、“思維”更輕松，因而更膚淺、怠惰了。

黃老師的課堂，學(xué)生通過(guò)自己的手指運(yùn)動(dòng)，真切地感受到了“變化”及“依賴(lài)”關(guān)系，從而自然地生成了正弦函數(shù)的意義。x的向右運(yùn)動(dòng)和y的上下運(yùn)動(dòng)相伴進(jìn)行，形成了“波動(dòng)曲線”，這就有了對(duì)函數(shù)圖象的直觀感知。而當(dāng)腦子里有了函數(shù)圖象以后，再“畫(huà)”在紙上就容易了，至于用什么方法畫(huà)圖也就變成一件次要的事情。再后面的，從圖象上看值域、單調(diào)性、周期性等，就是一件自然而然的事情，輕松而愉快。而這些在“知識(shí)教學(xué)”中是被當(dāng)作重點(diǎn)或難點(diǎn)的，教師是強(qiáng)調(diào)再?gòu)?qiáng)調(diào)，學(xué)生往往還難以心領(lǐng)神會(huì)。

這節(jié)課上，學(xué)生用手在空中比畫(huà)圖象時(shí)，已經(jīng)“知道”函數(shù)有周期性，后面用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言sin（x+2kπ）=sinx來(lái)刻畫(huà)，直至給出周期性以及最小正周期的嚴(yán)格定義，就毫不費(fèi)力。這里的“過(guò)程價(jià)值”難以估量。

其三，注重活動(dòng)與體驗(yàn)。

這節(jié)課研究了y=sinx，但收獲的并不僅僅是這個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，更重要的是研究的體驗(yàn)以及所使用的研究方法。有了這節(jié)課的學(xué)習(xí)，后面y=cosx和y=tanx的圖象與性質(zhì)也完全可以由學(xué)生自己生成，而且越往后越容易。通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步獲得了“數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”，而不僅僅是知識(shí)和方法。

其四，先生成后表達(dá)。

我們所能“表達(dá)”的，是世界嗎？其實(shí)，我們只能表達(dá)自己的感受、想法或觀點(diǎn)。這些從哪里來(lái)？發(fā)自我們的內(nèi)心。你永遠(yuǎn)也說(shuō)不出你沒(méi)有想到的一個(gè)數(shù)，說(shuō)不出你所不知道的一個(gè)規(guī)律，也就是說(shuō)，我們只能表達(dá)內(nèi)心世界里已有的東西。于是結(jié)論就很清楚了，要“表達(dá)”，先要在內(nèi)心里有意義生成。用心理學(xué)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，必須先有“心理表征”，才可能形成“符號(hào)表征”。因此，“知識(shí)怎么生成”才是教學(xué)的關(guān)鍵。在科學(xué)研究上，新事物的意義建立起來(lái)后，如果沒(méi)有現(xiàn)成的符號(hào)，科學(xué)家會(huì)新創(chuàng)一套，就像萊布尼茲之于微積分、愛(ài)因斯坦之于相對(duì)論，這往往標(biāo)志著重大突破的到來(lái)。

其五，用現(xiàn)象教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)。

本節(jié)課在多處都采取了“先猜后證”的途徑，這是其他形式的課堂所少見(jiàn)的，而這正是“直觀想象”素養(yǎng)的具體落實(shí)。波利亞耶曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)既要教證明，也要教猜想?！比绻粋€(gè)人只會(huì)解決別人提出的問(wèn)題或猜想，就不可能產(chǎn)生突破性的重大貢獻(xiàn)。

著眼于知識(shí)傳承的教學(xué)，不鼓勵(lì)甚至排斥直觀想象;由問(wèn)題導(dǎo)引的教學(xué)，最喜歡嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?“情境”，則往往有強(qiáng)烈的暗示和誘導(dǎo)作用。它們都沒(méi)有給直觀想象留下太大的空間，而現(xiàn)象教學(xué)做到了。而在其他核心素養(yǎng)的培育上，現(xiàn)象教學(xué)又可以吸收其他教學(xué)法的一切優(yōu)點(diǎn)，因此，實(shí)踐的結(jié)果是現(xiàn)象教學(xué)用起來(lái)更自然也更自由。

現(xiàn)象教學(xué)強(qiáng)調(diào)面對(duì)真實(shí)的素材，重在知識(shí)的自然生成。在對(duì)真實(shí)的素材進(jìn)行思考時(shí)，學(xué)生的思維自然流淌，這就摒棄了知識(shí)教學(xué)中的那種強(qiáng)行植入，也避免了情境教學(xué)中的暗示和揣測(cè)。但是，現(xiàn)象教學(xué)不排斥情境教學(xué)，真實(shí)的情境就是現(xiàn)象;現(xiàn)象教學(xué)也不排斥知識(shí)教學(xué)，它要生成知識(shí)并在最后做規(guī)范表達(dá)。

自然生成是現(xiàn)象教學(xué)的核心所在，也是它區(qū)別于知識(shí)教學(xué)、問(wèn)題教學(xué)、情境教學(xué)的最顯著特點(diǎn)。自然的必然是真實(shí)的，那種扭曲的、虛夸的情境是現(xiàn)象教學(xué)所反對(duì)的。備課時(shí)把部分精力甚至主要精力耗費(fèi)在情境設(shè)置上，本身就不自然也不正?！，F(xiàn)象教學(xué)不排斥以前的任何教學(xué)方法（包括講授法），只在教學(xué)材料的呈現(xiàn)上提出“真實(shí)性”的要求，為的是思維的真實(shí)和生成的自然。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要從真實(shí)的世界中來(lái)，而不能從虛幻的或雕琢過(guò)的情境中來(lái)。知識(shí)不是教育的全部目的，甚至不是主要目的?！叭姘l(fā)展的人”不可能僅是“會(huì)背書(shū)的人”“會(huì)解題的人”，而應(yīng)該是直面世界、充滿好奇心與求知欲、能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的人。所以，知識(shí)教學(xué)、問(wèn)題教學(xué)、情境教學(xué)必然會(huì)再向前發(fā)展，這也是國(guó)際上熱切關(guān)注現(xiàn)象教學(xué)（芬蘭和美國(guó)最為積極）的一個(gè)原因。以前它以“主題教學(xué)”“項(xiàng)目化學(xué)習(xí)”等方式存在著，但這些往往是大范圍、長(zhǎng)時(shí)間的教育、學(xué)習(xí)活動(dòng)，所以又叫“跨學(xué)科綜合教學(xué)”，這導(dǎo)致它雖然廣受追捧卻難以成為教學(xué)的常態(tài)。黃老師的這節(jié)課表明，現(xiàn)象教學(xué)完全可以進(jìn)入常規(guī)課堂，即便一道數(shù)學(xué)題也可以用現(xiàn)象教學(xué)的觀念實(shí)施教學(xué)。這類(lèi)探索很值得期待。

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