貨物三維裝箱問題建模及其烏鴉搜索算法優(yōu)化

王素欣 溫恒 盧福強 劉浩伯 王雷震

摘? ?要：針對貨物三維裝箱問題建立三維裝箱模型. 在模型中，為避免貨物在運輸過程中轉彎時由于偏心導致翻車現(xiàn)象的發(fā)生，加入了考慮轉彎時重心約束，得到重心區(qū)域投影為等腰三角形或者等腰梯形. 貨物放置規(guī)則中擴大了剩余空間區(qū)域，增加了解的多樣性. 在算法中，為了提高迭代收斂速度，增強其全局尋優(yōu)的能力，采用改進的烏鴉搜索算法對模型進行求解與優(yōu)化. 在改進算法中，提出并引入了多概率隨機游走策略和解修復策略. 解修復策略使得算法適用于模型求解，盡可能增加解的多樣性. 多概率隨機游走策略是種群迭代后繼續(xù)以多種不同的概率進行隨機游走，使得算法全局尋優(yōu)能力更強. 仿真實例與基準函數(shù)測試結果表明，改進后的算法優(yōu)化效果明顯.

關鍵詞：三維裝箱問題;集裝箱裝載問題;烏鴉搜索算法;轉彎重心約束;集裝箱包裝公司;優(yōu)化與決策

中圖分類號：TP391? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A? ?文章編號：1674—2974（2020）08—0021—10

Abstract：Aiming at the three-dimensional bin loading problem of cargo， a three-dimensional cargo loading model is established. In the model， in order to avoid the phenomenon of rolling over due to the eccentricity during the turn of the goods in the process of transportation， the gravity center constraint during the turn was added to obtain the projection of the gravity center area as an isosceles triangle or isosceles trapezoid. The cargo placement rules expand the remaining space area and increase the diversity of understanding. In order to improve the speed of iterative convergence and enhance its global optimization ability， an improved crow search algorithm is adopted to solve and optimize the model. In the improved algorithm， a multi-probability random walk strategy and a reconciliation strategy are proposed and introduced. The solution repair strategy makes the algorithm suitable for model solving and increases the diversity of solutions as much as possible. The multi-probability random walk strategy is to continue to walk randomly with different probabilities after population iteration， which makes the global optimization ability of the algorithm stronger. Simulation examples and benchmark function test results show that the improved algorithm has obvious optimization effect.

Key words：three-dimensional bin packing problem;container loading problem;crow search algorithm;center of gravity constraint in turning;container packaging corp;optimizaton and decision

貨物裝箱與物流運輸過程影響著企業(yè)的競爭力、成本、客戶滿意度、銷量、以及市場占有率，直接影響著企業(yè)的盈虧情況甚至是企業(yè)未來的發(fā)展. 貨物三維裝箱問題的優(yōu)化，可以減少物流過程所需要的成本，提高物流運輸效率，使企業(yè)得到更好發(fā)展.

貨物三維裝箱問題其本質屬于裝箱問題（Bin Packing Problem，BPP）. 作為一個經(jīng)典的組合優(yōu)化問題，“組合爆炸”現(xiàn)象的出現(xiàn)，導致這個NP-hard問題的最優(yōu)解很難找到.

目前，裝箱問題應用廣泛，考慮平衡、穩(wěn)定等因素的貨物三維裝箱問題逐漸增多. Galr？觔o等[1]針對集裝箱裝載問題，提出了一種具有靜力穩(wěn)定約束的集裝箱裝載算法，指出了靜態(tài)穩(wěn)定性與動態(tài)穩(wěn)定性的對立關系. Martínez等[2]考慮動態(tài)穩(wěn)定約束的集裝箱裝載問題，提出了墜落箱數(shù)及加速時可能損壞箱數(shù)兩項動態(tài)穩(wěn)定性指標. 裝箱問題的求解方法可以粗略地分為運籌學方法和啟發(fā)式方法兩大類. Paquay等[3]針對三維多尺寸箱型的裝箱問題，考慮了箱子的易碎性、穩(wěn)定性和定位，以及箱子的特殊形狀和重量等因素，提出了一個快速的建設性兩階段啟發(fā)式算法. Alonso等[4]考慮了幾何、重量、重心、動力穩(wěn)定性等約束，采用整數(shù)線性模型解決了多集裝箱裝載問題.

現(xiàn)有三維裝箱研究中存在如下問題：

1）一些模型的約束條件不完善，重心約束沒有考慮轉彎情況.

2）目標函數(shù)考慮較少，部分模型未說明假設條件.

3）用到的遺傳算法等求解方法較舊，全局尋優(yōu)的能力較弱，迭代收斂速度較慢.

烏鴉搜索算法[5]（Crow Search Algorithm，CSA）自被提出以來，廣泛應用到諸多領域，如圖像分割[6]、數(shù)據(jù)挖掘分類問題[7]、帕金森病的診斷[8]、評估噪聲對損傷檢測過程的影響[9]、圖像處理問題[10]等. 改進烏鴉搜索算法的方法可以分為兩大類，一類是引入策略對算法進行改進. 例如，Sayed等[11]引入了10種混沌映射，提出CCSA;另一類是與其他算法相結合的混合算法. 例如，Javaid等[12]將CSA與蝙蝠算法混合，提出了BCSA. Pasandideh等[13]將CSA和正弦余弦算法的優(yōu)點相結合，提出了余弦烏鴉搜索算法.

針對上述問題，為了減少翻車情況的發(fā)生，建立了具有考慮轉彎情況、重心約束等7個約束條件，容積利用率、載重總重量、重心坐標等5個目標函數(shù)的多約束多目標貨物三維裝箱模型. 為了使烏鴉搜索算法更好地適配裝箱問題，同時加快迭代收斂速度，提高全局搜索能力，提出并引入了多概率隨機游走策略和解修復策略對原始烏鴉搜索算法進行改進，并對模型進行了求解，裝箱效果更好.

為了驗證改進CSA的有效性，結合實例通過遺傳算法、粒子群算法、烏鴉搜索算法、灰狼優(yōu)化算法[14]（Grey Wolf Optimizer，GWO）、鯨魚優(yōu)化算法[15]（Whale Optimization Algorithm，WOA）、最有價值球員算法[16]（Most Valuable Player Algorithm，MVPA），以及改進后的烏鴉搜索算法對貨物三維裝箱問題進行了優(yōu)化仿真與測試，進一步說明了改進后的算法迭代收斂速度更快，跳出局部最優(yōu)的能力更強. 為了說明改進后的算法在連續(xù)問題中的適用性，通過對3個基準函數(shù)測試以及和其他部分算法對比，驗證了改進后算法的優(yōu)越性.

1? ?貨物三維裝箱模型的建立

由于大部分裝箱問題研究中給出的重心約束都沒有考慮貨車轉彎的情況，針對這一現(xiàn)象，建立了考慮轉彎的情況的模型，并得出了與其他研究不一樣的重心約束條件.

1.1? ?問題假設與符號說明

1.1.1? ?問題假設

由于貨車的實際運輸過程較為復雜，為了將問題簡化，提出如下假設：

1）貨車車廂與貨物均為標準長方體結構.

2）所有貨物均密度均勻，其質心為長方體結構幾何中心，且不發(fā)生形變.

3）用泡沫或棉花填充空隙，忽略填充物重量.

4）裝載時，貨物的高必須與車廂的高平行.

5）運輸過程中，貨車轉彎時的行駛路線為規(guī)則的圓形道路.

6）運輸過程中，道路均為平坦的道路，若存在傾斜情況，傾斜角度始終不變.

1.1.2? ?符號說明

模型用到的符號及相關說明見表1.

對貨物按照從1到D的順序進行編號，設可行解的結構為：

式中：X的每一行表示一個解Xn;xnd∈[-D，D]，且xnd是不為0的整數(shù)，表示第d個裝入的貨物其序號為xnd，xnd > 0表示貨物的長與車廂的長平行，xnd < 0表示貨物的長與車廂的寬平行.

1.2? ?建立貨物三維裝箱模型

在保證貨物與貨物之間不存在鑲嵌、包含現(xiàn)象，且貨車轉彎過程中不翻車的條件下，將貨物按照一定的順序以及擺放方式裝入到車廂內. 綜合考慮容積利用率以及貨物合重心等因素對整個裝載運輸過程的影響，對貨物三維裝箱問題建立合理的模型.

1.2.1? ?目標函數(shù)

下面對貨物三維裝箱問題建立具有優(yōu)先級的多目標優(yōu)化模型. 考慮到運輸成本的因素，應當盡量減少貨物運輸?shù)拇螖?shù)，因此，貨物裝箱的第1目標是車廂容積的利用率最大，即第1目標函數(shù)的表達式如式（2）所示. 合理利用空間之后，要合理利用載重量，在滿足第1個目標的情況下，貨物裝箱的第2目標是裝載貨物的總質量最大，即第2目標函數(shù)的表達式如式（3）所示. 不倒翁之所以不倒，正是因為其重心低的緣故，物體的重心越低越穩(wěn)定，因此，貨物裝箱的第3目標是在滿足前2個目標的情況下，貨物合重心的高度最低，即第3目標函數(shù)的表達式如式（4）所示. 貨物裝箱的第4目標是在滿足前3個目標的情況下，貨物合重心的Y坐標最靠近車廂寬度的中心，即第4目標函數(shù)的表達式如式（5）所示. 一般情況下，上述4個具有優(yōu)先級的目標函數(shù)足以區(qū)分不同的解，為了使模型的適用情況更加廣泛，這里引入第5目標，假設運輸過程中要求在滿足前4個目標的情況下，貨物合重心的X坐標要最靠近車廂長度的中心，則第5目標函數(shù)的表達式如式（6）所示. 即在滿足約束且貨物容積利用率最大的情況下，進一步按優(yōu)先級順序對合重心的各個坐標進行建模與優(yōu)化.

1.2.2? ?約束條件

在物流領域中，貨物裝箱后存在配送過程，轉彎的時候由于貨物偏心容易翻車. 為了避免翻車現(xiàn)象的出現(xiàn)，在貨物裝箱過程中加入考慮轉彎的重心約束.

1）轉彎時重心約束的推導過程

以（xi，yi，zi）表示第i個箱子的質心的坐標，則I個箱子的組合體質心坐標表示為（x，y，z），其公式如下：

考慮到貨車轉彎的對稱性，對貨車右轉彎過程進行分析. 貨車轉彎時，相當于受到一個離心力的作用，此時，貨車更容易繞著以貨車左前輪、左后輪分別與地面接觸的兩點所確定的直線看作為轉軸逆時針翻轉. 以靠近車頭的車廂左下角為原點，其引出的3條棱所在直線分別為X軸、Y軸、Z軸建立空間坐標系對車廂進行分析，僅考慮YOZ平面，即將車廂投影到YOZ平面上，對貨車在即將翻轉的臨界狀態(tài)進行受力分析，如圖1所示.

左下角的轉軸在YOZ平面投影為O點，其坐標為（0，0），貨物重心在YOZ平面投影為C點，其坐標為（y，z），直線CO與車廂底邊Y軸所夾的銳角為α：

同理，當?shù)缆反嬖趦A斜角為β的情況時，考慮最糟糕的情況，可以得到此時如果想要避免翻車，需要滿足約束條件，

式（15）所表示的重心約束條件是其他文章沒有考慮的，加入此約束后，貨物三維裝箱問題更貼合實際情況，并且可以進一步降低貨物運輸過程存在的安全風險. 重心應該位于圖3中的陰影區(qū)域.

2）約束條件描述

模型的約束條件描述為：

a）保證貨物不懸空放置.

b）保證貨物與貨物之間不存在鑲嵌、包含的現(xiàn)象.

c）貨物總重量不能超過貨車的載重量.

d）貨物的總體積不能超過貨車的總容積.

e）貨物放置的頂面要與車廂頂面平行，貨物放置的前面要與車廂前面平行.

f）裝入的貨物不能有在集裝箱箱外的部分.

g）貨物的組合重心滿足式（15）約束條件.

3）約束條件的特點

上述約束中，前6個為常用的現(xiàn)實約束，約束條件g中重心約束范圍與其他研究不同. 其他研究未考慮轉彎情況，只在靜止情況下得到的重心范圍投影為矩形區(qū)域，約束條件g考慮了轉彎情況，得到的是等腰三角形或等腰梯形區(qū)域，模型相對更完善.

1.2.3? ?貨物放置規(guī)則與特點

1）放置規(guī)則

將空容器看作一個剩余空間，將貨物的左后下角與剩余空間的左后下角重合放置貨物. 放入的貨物其每個面均可將占用的剩余空間切割為兩部分，取貨物不占用的那部分空間作為新的剩余空間. 圖4表示貨物上面切割出的剩余空間S.

每個面都切割空間后，刪除容積為0的剩余空間，將得到剩余空間與已有的剩余空間合并. 得到新的剩余空間，并嘗試放入下一個貨物. 貨物按照解序列所對應的貨物編號依次放入容器，且優(yōu)先放在靠下的剩余空間中.

2）放置特點

其他大部分文獻中，上空間的分割得到的底面積和貨物頂面的面積相同，即貨物上面的貨物，其底面面積必須不超過下方貨物的頂面面積，相當于增加了限定，而這里的規(guī)則突破了限定，增加了解的多樣性.

2? ?改進CSA求解貨物三維裝箱問題

對貨物三維裝箱模型優(yōu)化求解的目的是為了得到一個更好的裝箱方案，在保證運輸安全的情況下，更好地利用裝載空間，從而盡可能減少運輸成本.

2.1? ?CSA求解貨物三維裝箱問題

烏鴉搜索算法（CSA）是Askarzadeh[5]在2016年提出的啟發(fā)式算法. 其靈感來自于群居的烏鴉隱藏自己多余食物的過程. 烏鴉隱藏自己的食物，既要不被其他烏鴉發(fā)現(xiàn)，又想跟隨其他烏鴉找到它隱藏的食物. 由于其相對較好的優(yōu)化效果，被廣泛應用在各個領域中.

隨機初始化所有烏鴉種群X，如式（1）.

初始化烏鴉的記憶E，作為當前每個烏鴉的歷史最優(yōu)位置，即每個可行解的歷史最優(yōu)解.

按照解序列進行貨物裝箱，計算式（2）～式（6）所描述的5個目標函數(shù)值，再進行下一步迭代，迭代更新出新的烏鴉種群，即新解，更新公式為：

式中：n表示當前第n只烏鴉;s表示第s只烏鴉且s≠n;Xtn與Xt+1n? ? 分別表示在t時刻和t+1時刻烏鴉n的位置;Ets表示在t時刻烏鴉s的記憶;rn、rs為兩個隨機數(shù)且rn，rs∈[0，1];Ats表示t時刻烏鴉s的感知概率;ltn表示烏鴉n的飛行距離，ltn與Ats需要預先設定好.

檢查新解是否可行，如果不可行，將它修正為可行解. 解的具體修正過程將在下文中進行詳細介紹.

再次計算5個目標函數(shù)值，更新烏鴉記憶，即每個個體的歷史最優(yōu)解. 更新公式為：

繼續(xù)迭代更新烏鴉種群，修正解，計算目標函數(shù)，更新記憶，如此循環(huán)，直到滿足最大迭代次數(shù)或者其他終止準則時停止. 得出M中最優(yōu)的解作為最終的最優(yōu)解.

2.2? ?改進CSA的策略

由于原始CSA主要用于連續(xù)問題，且迭代收斂速度慢，容易陷入局部最優(yōu)，因此，這里對CSA進行改進，提出了兩個改進策略.

2.2.1? ?解修正策略

原始CSA主要用于求解連續(xù)函數(shù)的極值問題，屬于連續(xù)問題，而貨物三維裝箱問題的解是離散的，直接用CSA求解并不符合實際情況，原始CSA并不適用. 為了將CSA與貨物三維裝箱問題適配，且盡可能增大解的多樣性，這里提出了解修正策略，圖5是解修正策略的一個例子.

為了保持解的符號不變，先將解的符號提取出來，正號記為1，負號記為-1，如果為0則視為正號. 再將解序列的絕對值按照從小到大進行排序，如果大小一樣則保持其相對順序，將排序后的序號與解的符號按位相乘對解進行重新編碼.

2.2.2? ?多概率隨機游走策略

在加入解修正策略之后，CSA與貨物三維裝箱問題成功匹配了，但是其迭代收斂速度還不夠快，跳出局部最優(yōu)的能力還不夠強. 為了得到更優(yōu)方案，引入多概率隨機游走策略對烏鴉搜索算法進行改進，具體操作步驟如下.

式中：Xtn為第n只烏鴉在第t時刻隨機游走前的位置;Xt，hn? ? 為第n只烏鴉在第t時刻采用第h個概率隨機游走方式游走后的位置，h = 1，2，3;■t為烏鴉種群X對每1列的元素計算平均數(shù)后得到的一個行向量;q4，q5，q6，q7，q8，q9∈[0，1]，且為隨機數(shù);kth為t時刻第h個概率隨機游走方式游走的步長，kt2的默認值為2，kt1、kt3的默認計算公式為：

游走之后，分別計算Xt，hn? ? 的函數(shù)值，選出最優(yōu)的一個，存入與之對應烏鴉的記憶中. 繼續(xù)進行原算法的循環(huán)迭代操作.

2.2.3? ?改進CSA流程圖

將改進后的CSA稱為多概率隨機游走烏鴉搜索算法（Multiple Probability Random Walk Crow Search Algorithm，MPRWCSA）. MPRWCSA是在原始CSA的基礎上加入了解修正策略和多概率隨機游走策略兩個重要步驟，對于MPRWCSA，其算法步驟流程圖如圖6所示.

3? ?仿真實驗及結果分析

3.1? ?裝箱實例仿真

3.1.1? ?案例說明

設置轉彎時最大行駛速度Vmax = 72 km/h，道路轉彎的傾斜角β = 22°，轉彎半徑R = 0.1 km，重力加速度g = 9.8 m/s2.

貨車車廂與貨物的規(guī)格[17]分別見表2及表3.

設置種群數(shù)為150，最大迭代次數(shù)為1 000，分別用灰狼優(yōu)化算法（GWO），鯨魚優(yōu)化算法（WOA），烏鴉搜索算法（CSA），最有價值球員算法（MVPA），遺傳算法（GA），粒子群優(yōu)化算法（PSO）以及MPRWCSA對該案例進行建模，借助MATLAB程序對問題進行求解.

3.1.2? ?仿真結果

計算每個算法模型求解10次后平均值，只分析每一代中第2目標函數(shù)（重心高度最低）的值，可以得到如圖7所示的迭代收斂速度曲線.

通過仿真實驗可以得到，貨物裝箱的最大體積為17 816.336 m3，最大裝載質量為17 682 kg，最大容積利用率為60.095 8 %，最優(yōu)解的質心坐標為（2 407.425 2，1 147.815 7，663.556 16），最優(yōu)解序列為3，11，-2，15，-8，6，5，-16，-1，9，4，14，10，12，-13，7，裝箱效果圖如圖8和圖9所示，仿真結果見表4.

3.1.3? ?結果分析

通過圖7可以直觀地看出，改進后的烏鴉搜索算法（MPRWCSA）迭代效果明顯優(yōu)于其他優(yōu)化算法，迭代收斂速度更快，得到的解更優(yōu). 表4中，從解的優(yōu)劣程度上可以看出，CSA、WOA、 MPRWCSA所得到的解，明顯優(yōu)于GWO、MVPA、GA、PSO. MPRWCSA的合重心Z軸坐標的平均值較其他算法更優(yōu)，10次實驗中，Z軸坐標的最優(yōu)值比GWO、MVPA、GA、PSO好，雖然與WOA、CSA相同，但在Y軸坐標的最優(yōu)值上效果更好. 相比較CSA與WOA，MPRWCSA達到最優(yōu)解時所需要的平均迭代次數(shù)小于CSA與WOA. 說明改進CSA后得到的MPRWCSA其迭代收斂速度更快，跳出局部最優(yōu)的能力更強，在離散問題的應用上效果較好.

文獻[8]和文獻[19]中也用到了相同的仿真案例，對比實驗結果發(fā)現(xiàn)，MPRWCSA得到的結果在重心上優(yōu)于文獻[17-19]中的結果，且模型更為合理.MPRWCSA由于其在更新后，還會按照不同的概率繼續(xù)隨機游走，結合解修復策略，因此比其他算法優(yōu)化效果相對較好.

3.2? ?基準函數(shù)測試仿真

3.2.1? ?案例說明

通過3個常用的基準函數(shù)（Ackley、Sphere、Rastrigin）對MPRWCSA進行測試，并與CSA、PSO、GWO、WOA進行對比. 其中，Sphere函數(shù)為單峰函數(shù)，Ackley函數(shù)雖是多峰函數(shù)，但是峰值間差距不明顯，Rastrigin函數(shù)是顯著的多峰函數(shù). 3個基準函數(shù)的表達式及其對應自變量的取值范圍見表5. 問題維度設為2時，函數(shù)的圖像如圖10所示.

設置種群大小為150，最大迭代次數(shù)為1 000，問題維度為30，分別對MPRWCSA和CSA進行30次測試.

3.2.2? ?仿真結果

依次將不同基準函數(shù)的30次測試歷代當前最優(yōu)值取平均值，繪制迭代收斂的半對數(shù)曲線，如圖11～圖13所示. 記錄30次測試的最優(yōu)解，根據(jù)這30個數(shù)據(jù)，計算出最優(yōu)值、最差值、平均值、標準差、平均時間等評價指標，結果見表6.

3.2.3? ?結果分析

通過圖11～圖13可以看出，MPRWCSA能夠很好地應用在連續(xù)問題中，且其前期的迭代收斂速度明顯優(yōu)于其他幾個算法. 從最終結果上看，除Ackley函數(shù)中不及GWO外，MPRWCSA得到的結果相對更優(yōu)一些. 從表6中可以看出，較CSA而言，除運行時間與Ackley函數(shù)中測試標準差外，其他各項都比后者更優(yōu). 較WOA而言，除Ackley函數(shù)中測試最優(yōu)值外，其他各項都比后者更優(yōu). 較PSO與GWO而言，

雖然最優(yōu)值和運行時間上結果比后者差一點，但其算法穩(wěn)定性較好. 改進后的算法主要是為了提高前期的迭代收斂速度與全局搜索的能力，對于連續(xù)問題的尋優(yōu)精度改進效果并不明顯.

圖11中，MPRWCSA得到的結果其精度不如GWO的原因是由于CSA結果的精度比GWO差，而MPRWCSA并未針對最優(yōu)解精度進行改進，主要改進了迭代收斂速度與全局搜索能力.

4? ?結? ?論

針對貨物三維裝箱問題進行了建模與優(yōu)化，提出了更完善的模型與更高效的求解方法.

1）模型上的改進. 在6個現(xiàn)實約束的基礎上，加入了考慮轉彎時的重心約束，建立了容積利用率、載重總重量、重心坐標等5個目標函數(shù)的貨物三維裝箱優(yōu)化模型. 其中，重心區(qū)域的投影為等腰三角形或等腰梯形，較其他文獻中的矩形區(qū)域而言，考慮得更全面.

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