基于動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形法的邊坡穩(wěn)定性分析

余榮春 莫敏華

（廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院，廣西南寧530001）

隨著露天開采深度逐步增加，露天礦邊坡的穩(wěn)定性控制變得愈加重要。理想的方法是可以預(yù)測滑落面位置以及發(fā)生滑落的條件，并且可以預(yù)測失穩(wěn)邊坡的運(yùn)動(dòng)過程。常用的設(shè)計(jì)方法有經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法、物理模型試驗(yàn)、極限平衡法以及數(shù)值方法。經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是利用已有的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)坡角，該方法雖然簡單，但精度有待提高。物理模型試驗(yàn)是在可控環(huán)境中模擬實(shí)際坡度條件，并通過修改參數(shù)來研究其對邊坡穩(wěn)定性的影響，該方法通常耗時(shí)較長且成本高。極限平衡法［1］是假設(shè)每一個(gè)可能的破壞面，然后相應(yīng)地計(jì)算安全系數(shù)，該方法已被廣泛應(yīng)用于巖質(zhì)邊坡設(shè)計(jì)。上述方法大體上將每個(gè)塊體簡化為剛體，且失穩(wěn)面在某種程度上必須事先已知，無法描述失穩(wěn)邊坡的運(yùn)動(dòng)過程。

近年來，數(shù)值方法憑借高效、高速、低耗的優(yōu)勢得到迅速發(fā)展，該方法可通過計(jì)算塊體中的應(yīng)力和位移，采用各種本構(gòu)關(guān)系，來對復(fù)雜邊坡進(jìn)行參數(shù)研究。數(shù)值方法可分為基于連續(xù)介質(zhì)的方法（如FDM，F(xiàn)EM，BEM）和基于非連續(xù)介質(zhì)的方法（如UDEC［2］，3DEC［3］，DDA［4］）。前者可處理的不連續(xù)塊體數(shù)量較為有限，且無法準(zhǔn)確模擬邊坡失穩(wěn)的動(dòng)態(tài)過程。后者在建模過程中可體現(xiàn)出巖體的不連續(xù)性，并能有效模擬塊體運(yùn)動(dòng)，但該類方法很難模擬完整巖石的破壞情況。巖質(zhì)邊坡破壞是一個(gè)典型的連續(xù)—不連續(xù)面組合問題，需使用混合連續(xù)介質(zhì)—不連續(xù)介質(zhì)的方法進(jìn)行模擬。STEAD等［5］開發(fā)了一種混合有限/離散元程序ELFEN，并成功應(yīng)用于模擬巖質(zhì)邊坡破壞。在ELFEN中，提出了兩種插入離散裂縫的方法，但它需要非常精細(xì)的網(wǎng)格來準(zhǔn)確地捕獲斷裂方向。具有人工節(jié)理的離散塊體系統(tǒng)的DDA也被用于模擬完整巖石中的破壞［6］，通過將滿足失效標(biāo)準(zhǔn)的人工節(jié)理轉(zhuǎn)換成真實(shí)節(jié)理來實(shí)現(xiàn)壓裂，然而其預(yù)測的裂縫軌跡取決于塊體的提前離散化結(jié)構(gòu)。Itasca的顆粒流編碼（PFC）具有完整巖石和節(jié)理的建模能力，在解決巖體相關(guān)問題方面顯示出了強(qiáng)大的能力，PFC2D軟件已被用于研究節(jié)理巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性［7］。

數(shù)值流形法（NMM）是另一種連續(xù)—非連續(xù)組合方法。NMM最初是由SHI［8-11］開發(fā)的，后來被用于研究裂紋擴(kuò)展等問題［12-14］。NMM的顯著優(yōu)勢表現(xiàn)為：①用于生成NMM模型的網(wǎng)格完全不受求解域幾何形狀的影響，這使得網(wǎng)格劃分更加方便，并且完全避免了非連續(xù)演化過程中的網(wǎng)格重新劃分；②不連續(xù)面通過雙覆蓋系統(tǒng)直接建模，不需要預(yù)設(shè)界面單元；③將有限元法和DDA相結(jié)合，使得在統(tǒng)一的框架內(nèi)對連續(xù)體、從連續(xù)體到不連續(xù)體的過渡以及不連續(xù)體進(jìn)行建模成為可能。在動(dòng)力學(xué)問題求解中，逐步積分法優(yōu)勢顯著，其中包括隱式積分法及顯式積分法，隱式積分法主要有中心差分法、Wilson-θ法［15］及Newmark-β法［16］等，中心差分法是顯式積分法的最優(yōu)代表［17-18］。王進(jìn)廷等［19］對多種顯式方法進(jìn)行了詳細(xì)分析，并對其穩(wěn)定性及精度進(jìn)行了比較。李常青等［20］針對位移項(xiàng)進(jìn)行了三步二階顯式積分方法的推導(dǎo)及驗(yàn)證，增強(qiáng)了其運(yùn)算穩(wěn)定性。

盡管NMM方法存在諸多優(yōu)勢，但在處理大規(guī)模非線性動(dòng)力學(xué)運(yùn)算時(shí)存在計(jì)算精度不高等問題。顯式積分雖然省去了對耦聯(lián)方程組求解的過程，但在運(yùn)算精度方面優(yōu)勢顯著。為此，本研究借助NMM的兩套覆蓋系統(tǒng)可在同一計(jì)算架構(gòu)下處理連續(xù)—不連續(xù)問題的優(yōu)勢，并結(jié)合顯式積分算法提出基于動(dòng)態(tài)加速度顯式積分算法的NMM，同時(shí)通過控制應(yīng)變增量大小保證運(yùn)算的收斂性。在此基礎(chǔ)上，將改進(jìn)后的基于動(dòng)態(tài)加速度顯式積分算法的NMM應(yīng)用到某露天礦邊坡穩(wěn)定性分析中。

1 基于動(dòng)態(tài)加速度顯式積分算法的NMM

1.1 NMM雙覆蓋系統(tǒng)

NMM使用一組重疊的片覆蓋問題域，片的邊緣不必與外部邊界或內(nèi)部不連續(xù)點(diǎn)重合。每個(gè)片被稱為數(shù)學(xué)覆蓋（Mathematical Cover，MC），用Mi表示，其中i是該問題所使用的MC的數(shù)量。外部邊界和內(nèi)部不連續(xù)區(qū)域（如材料邊界、裂隙燈）與每個(gè)MC相交，切割形成若干獨(dú)立的片，如果該片是在問題域，則稱為一個(gè)物理覆蓋（Physical Cover，PC），用Pj表示，其中j是MC被切割形成片的數(shù)量。圖1所示為NMM覆蓋系統(tǒng)示例，矩形片M1，圓形片M2和M3相互疊合形成數(shù)學(xué)覆蓋MC，經(jīng)邊界與內(nèi)部裂紋切割，形成一系列物理片（如P11，P22，P32等，其中下標(biāo)和上標(biāo)分別代表數(shù)學(xué)覆蓋的序號及物理覆蓋的序號），即物理覆蓋PC。物理覆蓋PC相互重疊區(qū)域稱為流形單元（Manifold Element，ME），例如 E1，E2，E3等。該雙覆蓋系統(tǒng)在生成求解域時(shí)不需要考慮求解域幾何形狀，便于網(wǎng)格劃分，在求解過程中也不需要重新劃分網(wǎng)格，且不必預(yù)設(shè)界面單元。

在物理覆蓋系統(tǒng)形成之后，NMM在其上賦予局部位移近似函數(shù)，一般選擇多項(xiàng)式進(jìn)行局部位移近似：

式中，x為位移矢量；PT為多項(xiàng)式的基函數(shù)矩陣；d為位移自由度列陣；k為PC序列號。

1.2 動(dòng)態(tài)加速度顯式積分算法

定義時(shí)間步長固定，加速度在單個(gè)時(shí)間步長內(nèi)呈線性變化，則加速度的斜率為

加速度方程可表示為

式中，b1為系數(shù)。

通過積分運(yùn)算可得速度、速度增值及位移函數(shù)分別為

式中，b1、b2為系數(shù)。

將式（2）至式（6）聯(lián)立求解，可得：

為控制預(yù)設(shè)條件加速度在單個(gè)時(shí)間步長內(nèi)呈線性變化的誤差，本研究采用顯式積分算法計(jì)算各加速度，即：

式中，M、K、C、F分別表示質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣及外力矢量。

2 動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形法穩(wěn)定性測試

為測試動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形方法在不同運(yùn)算步數(shù)下的穩(wěn)定性，本研究選用應(yīng)力波沖擊隧道經(jīng)典模型，運(yùn)用動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形方法計(jì)算并分析，并與傳統(tǒng)NMM及解析解對比。該模型彈性模量E=10 000 MPa，泊松比ν=0.25，容重γ=27.0 kN/m3。圖2顯示了不同時(shí)步運(yùn)算結(jié)果的收斂性，結(jié)果表明在第1.0×107時(shí)步、第2.0×107時(shí)步、第3.0×107時(shí)步、第5.0×107時(shí)步均表現(xiàn)出了良好的收斂性。

動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形方法、傳統(tǒng)NMM及解析解的對比結(jié)果如表1所示。由表1可知：該方法比傳統(tǒng)NMM精度高，且總時(shí)步數(shù)越多，塊體數(shù)目越多時(shí)，動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形方法的精度越高，優(yōu)勢愈明顯，當(dāng)總時(shí)步數(shù)達(dá)到108、塊體個(gè)數(shù)達(dá)到107數(shù)量級時(shí)，與解析解誤差接近于0，印證了該方法在處理大規(guī)模復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問題方面的可行性及準(zhǔn)確性。

3 露天礦邊坡穩(wěn)定性分析

3.1 計(jì)算模型及參數(shù)

某露天礦邊坡基巖裸露（圖3），東西寬約200 m，南北寬約160 m，高約150 m，傾角50°～80°。根據(jù)地質(zhì)勘探成果對邊坡體進(jìn)行建模，現(xiàn)場位移監(jiān)測結(jié)果顯示該邊坡已發(fā)生小幅位移，故取最危險(xiǎn)滑落面位置二維截面建立數(shù)值分析模型，如圖4所示，邊坡模型巖體參數(shù)見表2。

3.2 邊坡動(dòng)態(tài)失穩(wěn)過程

為準(zhǔn)確獲取滑落面準(zhǔn)確位置和對應(yīng)的安全系數(shù)，對該露天礦邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析與評價(jià)，并對于危險(xiǎn)邊坡提前采取措施進(jìn)行治理［21-25］。運(yùn)用經(jīng)過理論與經(jīng)典案例驗(yàn)證的基于動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形法程序?qū)υ撨吰逻M(jìn)行動(dòng)態(tài)失穩(wěn)表征與分析，確定滑落面位置，并給出相應(yīng)的安全系數(shù)，該邊坡動(dòng)態(tài)失穩(wěn)過程如圖5所示。

根據(jù)圖5所示的邊坡動(dòng)態(tài)失穩(wěn)過程，本研究將其分為滑坡預(yù)啟動(dòng)、滑坡區(qū)域蔓延、滑坡啟動(dòng)、滑坡動(dòng)態(tài)失穩(wěn)4個(gè)過程?；骂A(yù)啟動(dòng)過程出露面巖體出現(xiàn)較大變形，并向內(nèi)部區(qū)域呈不同程度的衰減趨勢；滑坡區(qū)域蔓延過程出露面巖體變形進(jìn)一步增大，并進(jìn)一步影響了內(nèi)部巖體，導(dǎo)致內(nèi)部巖體位移也相應(yīng)達(dá)到危險(xiǎn)值，動(dòng)態(tài)失穩(wěn)一觸即發(fā)；滑坡啟動(dòng)過程中滑坡體變形進(jìn)一步增大，巖體抗剪強(qiáng)度不足以支撐滑坡體，被迫啟動(dòng)滑坡過程，巖體位移進(jìn)一步加大，滑坡體勢能開始轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；滑坡劇烈失穩(wěn)過程中滑坡體動(dòng)能逐步增大，失穩(wěn)過程達(dá)到劇烈程度，上部滑坡體基本與剩余邊坡體分離，中下部滑坡體也呈現(xiàn)出劇烈滑動(dòng)狀態(tài)，與穩(wěn)定邊坡體區(qū)別明顯，程序可根據(jù)兩者特征區(qū)別判定出滑動(dòng)面位置及相應(yīng)的安全系數(shù)。該邊坡安全系數(shù)為1.174，不滿足相關(guān)規(guī)范規(guī)定的安全系數(shù)大于1.2的邊坡安全條件。

4 邊坡治理方案設(shè)計(jì)及實(shí)施

根據(jù)邊坡動(dòng)態(tài)失穩(wěn)過程可判斷該邊坡失穩(wěn)模式為中上部推移式滑坡，且安全系數(shù)較低，存在較大失穩(wěn)可能?？紤]到滑坡體厚度約為30 m，以及滑坡體的實(shí)際狀況，單純坡頂削坡及坡腳壓載無法從根本上解決問題，可優(yōu)先采取對滑坡體及失穩(wěn)面進(jìn)行注漿加固，增強(qiáng)其自承載能力來提高其穩(wěn)定性，進(jìn)而支撐滑坡體后方邊坡。

具體實(shí)施方式為：邊坡內(nèi)部經(jīng)管徑為60 mm的螺紋注漿管對水泥漿施加適當(dāng)壓力，使得水泥漿滲透進(jìn)入巖體節(jié)理裂隙中，并與松散結(jié)構(gòu)面中介質(zhì)緊密結(jié)合，大大提高結(jié)構(gòu)面黏聚力和內(nèi)摩擦角，從而提升軟弱結(jié)構(gòu)面兩側(cè)巖體強(qiáng)度。注漿完畢后，將螺紋注漿管封存在巖體中，借助注漿管實(shí)現(xiàn)錨桿加固的效果，同時(shí)可旋轉(zhuǎn)螺紋注漿管，產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力的作用。坡面布置金屬網(wǎng)，并將其與注漿管端部螺母固定，實(shí)現(xiàn)邊坡整體加固。

該方案實(shí)施后，現(xiàn)場邊坡監(jiān)測數(shù)據(jù)顯示塊體月累計(jì)最大位移不超過0.5 mm，并趨于平緩，從現(xiàn)場統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)方面印證了該方案的有效性，邊坡安全系數(shù)由1.174升至安全范圍內(nèi)的1.561，有效保證了該邊坡的穩(wěn)定性。

5 結(jié) 論

（1）提出了一種基于動(dòng)態(tài)加速度顯式積分算法的NMM，延續(xù)了NMM在同一計(jì)算架構(gòu)下處理連續(xù)—不連續(xù)問題的優(yōu)勢，增強(qiáng)了其處理大規(guī)模非線性動(dòng)力學(xué)問題的運(yùn)算精度。

（2）改進(jìn)了顯式積分算法，并推導(dǎo)了基于動(dòng)態(tài)加速度顯式積分算法，測試結(jié)果表明當(dāng)總時(shí)步數(shù)越多，塊體數(shù)目越多時(shí)，基于該算法的NMM優(yōu)勢越明顯，進(jìn)一步印證了該方法處理大規(guī)模非線性動(dòng)力學(xué)問題的可行性及準(zhǔn)確性。

（3）基于動(dòng)態(tài)加速度顯式數(shù)值流形方法，對某露天礦巖質(zhì)邊坡進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。該邊坡失穩(wěn)模式為中上部推移式滑坡，考慮到滑坡體厚度約為30 m，以及滑坡體的實(shí)際狀況，采取對滑坡體及失穩(wěn)面進(jìn)行注漿加固的方式，有效增強(qiáng)了邊坡穩(wěn)定性。