包含Bernoulli 多項式的正整數(shù)的m 次方部分之和

朱萍萍，洪海燕

1993年，羅馬尼亞數(shù)學家F.SMARANDACHE在其論著中提出了一些新的函數(shù)，并且列舉了100 多個未曾解決的問題及猜想，眾多學者都對其中的很多問題進行了深入細致的研究，并獲得了一定的成果［1-3］.

對于任意大于1 的正整數(shù)m，n，設fm(n)是不小于n的最小m次方部分，例如f3(1)= 1，f3(2)= 8，f3(3)= 8，f3(4)= 8，f3(5)= 8，f3(6)=8，f3(7)= 8，f3(8)= 8.

設Sm(n)是不小于n的所有正整數(shù)的m次方 部 分 之 和，即文獻［4］利用初等方法研究了fm(n)的均值性質，并給出了fm(n)的漸近性公式；文獻［5］利用解析法給出了fm(n)及除數(shù)函數(shù)的漸近性公式；文獻［6］利用初等法和解析法研究了正整數(shù)的四次方數(shù)列求和問題，給出了S4(n)的計算公式，即但 是并沒有給出Sm(n)的計算公式.文獻［7］直接利用f3(n)的性質，給出了S3(n)的計算公式，即而當k= 2，n= 8 時，S3(8)= 11.6 不是整數(shù)，文獻［7］所給的公式是錯誤的.

鑒于目前仍未有學者研究Sm(n)的一般性公式及漸近性，本文根據(jù)Bernoulli 多項式與連續(xù)正整數(shù)的齊次和的關系式，推導出了Sm(n)的一般性計算公式及其漸近性，得到相應結論.

1 主要結果

由定義可知Sm(n)= (1m- 0m)1m+ (2m-1m)2m+ 3m(3m- 2m) + …(n-km)nm，即

根據(jù)二項式定理［8］可知

對于正整數(shù)c和t，設

所以有

結合（3）式，可得

由其 中Bt+1與Bt+1(c+ 1) 分 別 是 第t+ 1個Bernoulli 數(shù)和Bernoulli 多項式，因而

由式（5）及式（6）式可得定理1.

證 明 由當n→∞時，有k→∞，且(k- 1)m＜n≤km，顯然有

又由

可得

而當i=m- 1 時，

由定理1 及式（7）、式（8）、式（9）、式（10）可得推論1.

2 結語

對于連續(xù)正整數(shù)的m次方部分和的研究，筆者引入了正整數(shù)的齊次和與Bemoulli 多項式之間的關系式，再借助二項式定理展開式推導出Sm(n)的一般性計算公式，該方法可用于推導出Tm(n)的一般性計算公式及其漸進性（設Tm(n)是不大于n的所有正整數(shù)的m次方部分和），有興趣的讀者可以嘗試.