滲透模型思想 發(fā)展結(jié)構(gòu)性思維

四川省成都市武侯實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬小學(xué)/

所謂高階思維，是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)和認(rèn)知能力。高階思維具有發(fā)散性、結(jié)構(gòu)性、主動(dòng)性、批判性等特質(zhì)。思維的“結(jié)構(gòu)性”是高階思維的一個(gè)重要方面，主要是指有序、系統(tǒng)的立體化思維方式，具有系統(tǒng)性、遷移性、本質(zhì)性、創(chuàng)造性等特點(diǎn)。結(jié)構(gòu)性思維，能使方法簡(jiǎn)潔、分析深邃、決策高效，提高問題解決能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，以“建?！薄坝媚！薄白兡！薄俺！睘榫唧w路徑，可以發(fā)展學(xué)生思維系統(tǒng)性、遷移性、本質(zhì)性、創(chuàng)造性，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生高階思維能力。

一、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，發(fā)展系統(tǒng)性思維

創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)認(rèn)知興趣。從情境中篩選、提煉、整合信息，提出問題，系統(tǒng)梳理問題結(jié)構(gòu)，構(gòu)建問題體系，實(shí)現(xiàn)情境問題“數(shù)學(xué)化”，即構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型，是指鏈接已有知識(shí)，建立數(shù)學(xué)要素間關(guān)系，從“無形到有形”，抽象出簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，如概念、公式、定理、算法等模型。建立數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)語言把實(shí)際問題概括化表達(dá)，整體呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)性思維。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，基本上需要在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，重構(gòu)認(rèn)知體系，以數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)模型，如用“ab是表達(dá)a，b互為倒數(shù)”“形如的數(shù)就是分?jǐn)?shù)”等，系統(tǒng)認(rèn)知概念。

又如“暑假到了，瑞瑞一家三口自駕從成都到西昌旅游，距離約是450千米。他們?cè)缟?：30從家出發(fā)，上午11：30到達(dá)名山服務(wù)區(qū)，汽車行駛了150千米。休息半小時(shí)后按原速繼續(xù)行駛，中午吃飯花了一小時(shí)。下午6：00能到達(dá)西昌嗎？ ”自駕游已成為現(xiàn)在家庭旅游的方式之一，學(xué)生在生活情境中會(huì)經(jīng)常遇到此類問題，解決生活中的實(shí)際問題更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性。學(xué)生根據(jù)問題及信息梳理問題結(jié)構(gòu)：求結(jié)束時(shí)間，必須先求經(jīng)過時(shí)間；求經(jīng)過時(shí)間需要路程與速度；但由于題中沒有明確告知汽車行駛的速度，因此需要借助“早上9：30從家出發(fā)，上午11：30到達(dá)名山服務(wù)區(qū)，汽車行駛了150千米”這樣的信息先求出經(jīng)過時(shí)間，再用“路程÷時(shí)間=速度”的模型，算出汽車行駛的速度。接著算出剩下路程所用時(shí)間，再算出總共所花的經(jīng)過時(shí)間，最后算出結(jié)束時(shí)間，與下午6：00進(jìn)行比較。學(xué)生在解決此問題過程中，構(gòu)建了新的認(rèn)知體系，抓速度不變，構(gòu)建“路程÷時(shí)間=速度”關(guān)系模型，系統(tǒng)化思考“余下路程所用時(shí)間”的新問題。

西蒙的“問題分解法”是常見的結(jié)構(gòu)化方法?！胺纸狻笔且环N大智慧，幫助學(xué)生將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，將簡(jiǎn)單問題有序化、系統(tǒng)化。在問題情境中，學(xué)生需要將數(shù)學(xué)信息與生活信息、信息與問題之間進(jìn)行關(guān)聯(lián)性分析，再用已有的生活經(jīng)驗(yàn)、相關(guān)知識(shí)和數(shù)學(xué)模型，嘗試將大問題分解成一個(gè)個(gè)小問題，逐一有序解決。系統(tǒng)思考，能幫助學(xué)生形成解決問題的結(jié)構(gòu)框架、問題解決的模型和高階思維能力。

二、深化模型內(nèi)涵，發(fā)展遷移性思維

結(jié)構(gòu)化思維，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)構(gòu)建，而且還表現(xiàn)在模型的靈活運(yùn)用上，運(yùn)用已有的模型解決新問題，深化對(duì)模型內(nèi)涵的理解，發(fā)展遷移性思維：縱向延伸，串式思考，深入分析問題的本質(zhì)，如“倒數(shù)”在分?jǐn)?shù)除法算法中的應(yīng)用，探究倒數(shù)概念的作用，體會(huì)倒數(shù)的本質(zhì)意義；橫向聯(lián)系，網(wǎng)狀思考，建立不同問題間的聯(lián)系，立體挖掘模型意義，如分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、比等之間的必然聯(lián)系。從縱、橫不同角度，由點(diǎn)到面，將知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化為思維結(jié)構(gòu)，提高模型的應(yīng)用能力。

“以一定的邏輯順序整合、內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，是結(jié)構(gòu)化思維的真諦所在?！崩绫睅煷蟀鏀?shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)的“小兔請(qǐng)客”問題，學(xué)生觀察情境圖收集數(shù)學(xué)信息：“左邊擺了2盤果子，右邊擺了3盤果子，每盤有10個(gè)果子?！碧岢鰯?shù)學(xué)問題：“一共有多少個(gè)果子呢？”這是學(xué)生第一次接觸超過20的加法計(jì)算。用小棒代替果子，借助學(xué)具進(jìn)行操作，讓學(xué)生擺一擺，說一說有多少根小棒。學(xué)生借助小棒，將“一盤10個(gè)”與“一捆10根”對(duì)應(yīng)，進(jìn)行“10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)”，體現(xiàn)了數(shù)數(shù)模型的運(yùn)用與遷移：“1捆有1個(gè)十，左邊的2捆就有2個(gè)十，右邊的3捆就有3個(gè)十，合起來就有5個(gè)十，也就是50?！睌?shù)數(shù)模型進(jìn)一步發(fā)展到加法計(jì)算模型：“因?yàn)?+3=5，所以2個(gè)十+3個(gè)十=5個(gè)十，也就是50?！苯柚鷶?shù)的意義“2個(gè)十加3個(gè)十等于5個(gè)十”，運(yùn)用“十以內(nèi)加法”模型，拓展到“十以上加法”模型，縱向聯(lián)系，進(jìn)一步體現(xiàn)了加法計(jì)算法則的內(nèi)涵“相同的計(jì)數(shù)單位相加”。由整數(shù)加減法，到小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法，橫向勾連，都是應(yīng)用“相同的計(jì)數(shù)單位相加減”模型進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生掌握了計(jì)算模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生用舊知識(shí)解決新問題的思維遷移能力。

學(xué)習(xí)整十?dāng)?shù)的加法計(jì)算，就是學(xué)生學(xué)習(xí)加法運(yùn)算的意義，及經(jīng)歷整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算算理建模的過程。由一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“2個(gè)十加3個(gè)十”延伸至一類知識(shí)“小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減計(jì)算”，凸顯出數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，便于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型——相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減，這便是將一個(gè)問題的解決拓展為一類問題的解決，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有了全面、深刻理解，培養(yǎng)了學(xué)生高階思維能力。

三、拓展模型外延，發(fā)展本質(zhì)性思維

遵循知識(shí)間的邏輯關(guān)系，把握知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)結(jié)構(gòu)鏈中的具體位置，以“刨根問底”的態(tài)度，以問題串形式，由表及里，追尋知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)展本質(zhì)性思維。立體多向思考，突破模型化的思維定勢(shì)，破解“套?！?，變換模型不同式樣，建立模型間關(guān)系；從不同角度拓展模型外延，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。

在建立牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，建立良好的思維結(jié)構(gòu)。如“雞兔同籠”問題，學(xué)生學(xué)會(huì)列表法后，再探討多種方法，拓展問題解決模型，進(jìn)一步提出問題，以“問”促進(jìn)思考，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。如“還有哪些方法？ 你覺得哪種方法更簡(jiǎn)單？ 這些方法分別適用于哪些情況？ ”學(xué)生嘗試其他方法如極端假設(shè)法、任意假設(shè)法、除減法、盈虧法、比例分配法、布列方程法等，在多種方法的對(duì)比中，以一帶多，明白此類問題的內(nèi)涵。改變模型條件，擴(kuò)大模型外延，運(yùn)用聯(lián)想思維，由表及里，認(rèn)識(shí)模型本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題的多種表現(xiàn)形式，明確問題的本質(zhì)都是“猜想”“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，抓住了本質(zhì)，方可舉一反三。如運(yùn)貨運(yùn)費(fèi)中賠償問題、晴天雨天摘果子問題等，都可以用“同籠”方法解決。由“雞兔同籠”問題基本模型——已知雞兔頭之和與足之和，求雞兔各有多少只，到變換條件——已知雞兔頭之和與足之差，或已知雞兔頭之差與足之和，或已知雞兔頭倍數(shù)與足之差，或已知雞兔頭倍數(shù)與足之和，或已知雞兔頭之和與足倍數(shù)等，求雞兔各有多少只。如此拓展“雞兔同籠”問題，進(jìn)一步鞏固、轉(zhuǎn)化模型的數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用列表法或方程法解決問題，在建立知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展解決問題的高階思維能力。

再如北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“圖形中的規(guī)律”，有學(xué)生通過擺三角形發(fā)現(xiàn)：每多擺一個(gè)三角形，就增加2根小棒，當(dāng)擺n個(gè)三角形時(shí)，小棒的根數(shù)為3+（n-1）×2根，并解釋了算式中的“3”表示擺第一個(gè)三角形用去3根小棒，（n-1）×2表示除第一個(gè)三角形以外剩下的三角形都用2根小棒就可以擺好。也有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：先擺一根小棒，以后每擺一個(gè)三角形都只要2根小棒，當(dāng)擺n個(gè)三角形時(shí)，小棒的根數(shù)為（2n+1）根。這兩種思維方法似乎不一致，但通過討論交流發(fā)現(xiàn)：3+（n-1）×2化簡(jiǎn)后就等于（2n+1）。雖然思考的角度不同，但思維結(jié)構(gòu)一致：運(yùn)用三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系解決問題，找到了解決同一問題所運(yùn)用的不同思維方法之間的本質(zhì)聯(lián)系，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力。

四、深化模型思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維

在構(gòu)建模型、運(yùn)用模型、變換模型的基礎(chǔ)上，從不同的角度思考問題，多追問“還可以從哪些不同角度有哪些不同的思考？”“有沒有不同類的方法？”然后到超越舊模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，從有形到無形，實(shí)現(xiàn)“無模之?！保軌蛲伙@結(jié)構(gòu)性思維的更高價(jià)值——?jiǎng)?chuàng)造性。如“異分母分?jǐn)?shù)加法”，教材的計(jì)算法則是通分化為同分母后分母不變分子相加，掌握此法則后，可鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法進(jìn)行計(jì)算，再用這種方法檢驗(yàn)是否正確。有的學(xué)生根據(jù)“單位相同相加”，創(chuàng)造了“交叉乘”的方法：，少了直接通分環(huán)節(jié)，容易掌握。

再如：“一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加2厘米，則體積增加80立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加150立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加320立方厘米。那么原來長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)以“長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2” 計(jì)算模型無法解決此問題，需要運(yùn)用原始模型——表面積概念“長(zhǎng)方體各面積之和”，部分學(xué)生借助畫圖，突破原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，超越與突破了基本計(jì)算模型，找到新的計(jì)算方法。根據(jù)題目信息間的關(guān)系，重新建立“體積÷長(zhǎng)=左（右）面面積”“體積÷寬=前（后）面面積”“體積÷高=上（下）面面積”“（左面積+前面積+上面積）×2=表面積” 的計(jì)算結(jié)構(gòu)。雖建立了長(zhǎng)方體表面積公式的數(shù)學(xué)模型，但由于此問題比較抽象，且學(xué)生的空間觀念不強(qiáng)，因此僅靠讀題無法找到數(shù)學(xué)信息與問題之間的聯(lián)系。畫圖中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把抽象的數(shù)學(xué)問題用具體、形象、直觀的圖形表示出來，引領(lǐng)學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵，讓學(xué)生感受到了“柳暗花明又一村”的喜悅。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想提高了學(xué)生解決問題的能力、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型舉一反三的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)造性思維，促進(jìn)高階思維能力發(fā)展。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生從混亂中找到順序、從零散中找到關(guān)系、從發(fā)散中找到核心，從現(xiàn)象中抽象出本質(zhì)、在變化中形成創(chuàng)造性思維的能力，促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維能力的提升，從而發(fā)展學(xué)生高階思維能力。方法是路徑，思想是靈魂。沒有思想的方法僅是呆板工具；蘊(yùn)含思想的方法，才具有強(qiáng)大生命力。