多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)場(chǎng)的降維模擬

劉子心 劉章軍

摘要：首先，在多點(diǎn)一維全非平穩(wěn)地震動(dòng)場(chǎng)的隨機(jī)模型基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)基于相干函數(shù)矩陣的譜分解統(tǒng)一表達(dá)式。同時(shí)，通過(guò)引入隨機(jī)函數(shù)的約束形式，實(shí)現(xiàn)了多點(diǎn)多維地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的降維模擬。其次，根據(jù)多維地震動(dòng)三分量強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)中參數(shù)相關(guān)性的回歸結(jié)果，給出了I。類場(chǎng)地的三維地震動(dòng)四段強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)取值。最后，以三維地震動(dòng)的松島豐模型為基礎(chǔ)，采用四段強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)、Clough-Penzien時(shí)變功率譜以及復(fù)合相干函數(shù)模型，生成了空間相關(guān)多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)的代表性樣本，數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。由于該方法生成代表性樣本集合的概率信息完備，進(jìn)而可與概率密度演化方法相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)隨機(jī)地震作用下大型復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)的精細(xì)化動(dòng)力反應(yīng)分析以及抗震可靠性評(píng)價(jià)。

關(guān)鍵詞：多點(diǎn)多維地震動(dòng);空間相關(guān);全非平穩(wěn)過(guò)程;譜分解;降維模擬

中圖分類號(hào)：P315.9;TU311.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）05-1002-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.015

引言

中國(guó)位于環(huán)太平洋地震帶與歐亞地震帶交匯處，地震區(qū)域分布廣闊，地震災(zāi)害發(fā)生頻繁。近幾十年來(lái)，中國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和交通事業(yè)高速發(fā)展，興建了大量體育場(chǎng)館、樞紐客站、大壩、近海平臺(tái)以及大跨橋梁等重大基礎(chǔ)設(shè)施，這些工程結(jié)構(gòu)一般具有大底盤(pán)、深基礎(chǔ)、長(zhǎng)距離和大跨度等特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，一旦發(fā)生震害，會(huì)造成嚴(yán)重的生命和財(cái)產(chǎn)損失。因此，保障重大基礎(chǔ)設(shè)施結(jié)構(gòu)在地震災(zāi)害作用下的服役功能具有十分重要的工程意義。眾所周知，地震動(dòng)具有顯著的空問(wèn)變異性，主要由地震動(dòng)傳播過(guò)程中的遲滯相干效應(yīng)、行波效應(yīng)、衰減效應(yīng)以及局部場(chǎng)地效應(yīng)等因素導(dǎo)致。此外，地震動(dòng)是一種十分復(fù)雜的多維運(yùn)動(dòng)，通?？稍诘卣鹩^測(cè)中獲得含有兩個(gè)水平分量和一個(gè)豎直分量在內(nèi)的三維平動(dòng)分量。研究表明，地震動(dòng)的空問(wèn)變異性以及多維地震作用會(huì)對(duì)大跨度復(fù)雜空問(wèn)結(jié)構(gòu)（如大型空問(wèn)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)等）在地震激勵(lì)時(shí)的耗能特性與破壞機(jī)理產(chǎn)生顯著影響。因此，對(duì)于大跨度復(fù)雜空問(wèn)結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析與抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用既能夠考慮地震動(dòng)空問(wèn)變異性又能夠同時(shí)考慮多維地震作用的空問(wèn)相關(guān)多點(diǎn)多維地震動(dòng)輸入更為合理。

地震災(zāi)害作用具有極強(qiáng)的隨機(jī)性，同時(shí)，由于實(shí)測(cè)強(qiáng)震資料數(shù)量有限以及對(duì)地震環(huán)境和場(chǎng)地條件的限制，通常很難滿足工程結(jié)構(gòu)抗震分析中對(duì)地震動(dòng)輸入的各種要求，因此，采用隨機(jī)方法合成地震動(dòng)一直備受關(guān)注。地震動(dòng)的隨機(jī)模型是應(yīng)用隨機(jī)振動(dòng)理論研究結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)的基礎(chǔ)，對(duì)于一維地震動(dòng)隨機(jī)模型的研究，目前已取得系統(tǒng)性進(jìn)展，提出并發(fā)展了隨機(jī)脈沖模型、白噪聲模型以及過(guò)濾白噪聲模型等平穩(wěn)功率譜模型，以及強(qiáng)度非平穩(wěn)模型（均勻調(diào)制過(guò)程）和強(qiáng)度一頻率全非平穩(wěn)模型（演變過(guò)程）等。多維地震動(dòng)的隨機(jī)模型正是在一維模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)進(jìn)一步考慮不同方向分量問(wèn)的相關(guān)性而得到，即多維地震動(dòng)隨機(jī)模型可看作是一維地震動(dòng)隨機(jī)模型的擴(kuò)展。此外，Penzien等提出了地震動(dòng)的主軸模型，研究了地震動(dòng)3個(gè)平動(dòng)分量的協(xié)方差隨時(shí)問(wèn)以及3個(gè)坐標(biāo)軸方位變化的規(guī)律，該模型在多維抗震分析的反應(yīng)譜法研究中得到了廣泛應(yīng)用。

目前，多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的模擬方法主要有線性濾波法、小波分析法、譜表示以及本征正交分解（POD）等，這些方法均是以地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的二階統(tǒng)計(jì)量（演變功率譜密度矩陣或相干函數(shù)矩陣）為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的，其本質(zhì)是通過(guò)對(duì)一系列隨機(jī)變量進(jìn)行大量Monte Carlo隨機(jī)抽樣來(lái)實(shí)現(xiàn)。其中，譜表示和POD因具有理論完善、計(jì)算簡(jiǎn)單以及易于實(shí)施等特點(diǎn)，在隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)場(chǎng)的模擬中得到了廣泛應(yīng)用。然而，采用經(jīng)典Monte Carlo方法模擬地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)時(shí)，通常需要對(duì)一系列高維隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣來(lái)保證模擬精度，這不僅極大地增加了隨機(jī)模擬的計(jì)算量，也在較大程度上限制了該方法在大型復(fù)雜空問(wèn)結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)與抗震可靠性精細(xì)化分析中的應(yīng)用。

針對(duì)上述研究現(xiàn)狀，本文首先從多點(diǎn)一維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)模擬的譜表示以及POD的理論出發(fā)，推導(dǎo)出基于相干函數(shù)矩陣的空問(wèn)相關(guān)多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的譜分解統(tǒng)一表達(dá)式。其次，通過(guò)引人隨機(jī)函數(shù)思想，建立了空問(wèn)相關(guān)多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的降維模型，實(shí)現(xiàn)了僅用兩個(gè)基本隨機(jī)變量即可在概率密度層次上精確地描述地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)。最后，基于多維地震動(dòng)的松島豐模型，生成了多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的代表性樣本集合。由于該代表性樣本集合的概率信息完備，因此可與概率密度演化方法相結(jié)合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)空問(wèn)大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)多維地震作用下的精細(xì)化動(dòng)力反應(yīng)分析與抗震可靠性評(píng)價(jià)。

1多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)場(chǎng)的隨機(jī)模型

在多點(diǎn)一維全非平穩(wěn)地震動(dòng)場(chǎng)的演變功率譜密度矩陣基礎(chǔ)上，考慮多點(diǎn)多維地震動(dòng)各分量問(wèn)的相關(guān)性，可將多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的雙邊演變功率譜密度矩陣表達(dá)為

文獻(xiàn)[1]根據(jù)大量強(qiáng)震記錄的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)地震動(dòng)不同方向分量問(wèn)的相關(guān)性進(jìn)行了深入研究，給出了抗震設(shè)防烈度為7度、8度和9度的近場(chǎng)及遠(yuǎn)場(chǎng)地震四段強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)取值。然而，對(duì)于現(xiàn)行的建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范（GB 50011-2010），該強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)缺少工。類場(chǎng)地的參數(shù)取值。為此，本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]統(tǒng)計(jì)的地震動(dòng)三分量強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)相關(guān)性的回歸結(jié)果，給出了工。類場(chǎng)地的四段強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)取值，具體如表1所示。

根據(jù)上述參數(shù)取值，得到抗震設(shè)防烈度為7度的近場(chǎng)多維地震動(dòng)強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)曲線，如圖1所示。從圖中可以看出，不同方向地震動(dòng)分量在強(qiáng)度的峰值到達(dá)時(shí)刻以及平穩(wěn)段持續(xù)時(shí)問(wèn)上有著較大差異，尤其是豎向分量，其強(qiáng)度峰值到達(dá)時(shí)刻較早，且持續(xù)時(shí)問(wèn)較長(zhǎng)?？梢?jiàn)，該強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)能夠有效地描述不同方向地震動(dòng)分量在強(qiáng)度上的時(shí)問(wèn)差異。

進(jìn)一步地，為充分反映地震動(dòng)的頻率非平穩(wěn)特

為了能夠定量分析降維模擬方法的精度與代表性樣本數(shù)量的關(guān)系，本文分別計(jì)算了代表性樣本數(shù)量為144條、233條、377條、610條以及987條的5種情況，并對(duì)此進(jìn)行研究分析。根據(jù)式（26），本文方法生成的代表性樣本集合的均值平均偏差以及標(biāo)準(zhǔn)差平均誤差的計(jì)算結(jié)果如圖4所示。圖中，縱坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值為每類場(chǎng)地代表性樣本的均值平均偏差與標(biāo)準(zhǔn)差平均誤差3個(gè)方向分量的平均值。從圖中可以看出，均值平均偏差以及標(biāo)準(zhǔn)差平均誤差都隨著代表性樣本數(shù)量的增多而逐漸減小，證明了本文方法具有良好的收斂性。此外，由于本文預(yù)先對(duì)正交隨機(jī)變量進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理，因此，均值平均偏差極小，達(dá)到了10¹³。數(shù)量級(jí)，有效驗(yàn)證了本文方法的精確性。同時(shí)，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差平均誤差，當(dāng)代表性樣本數(shù)量大約為400條左右時(shí)，四類場(chǎng)地的標(biāo)準(zhǔn)差平均誤差均小于10%，即能夠滿足實(shí)際工程的精度要求。

圖5為采用降維方法生成的多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的代表性樣本，本文以Io和Ⅱ類場(chǎng)地3個(gè)方向的加速度時(shí)程為例。從圖中可以看出，由于兩水平方向（x方向和y方向）的地震動(dòng)分量采用了完全相同的時(shí)變功率譜模型和參數(shù)，因此兩水平方向的地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線形狀基本一致，但由于采用的強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)不同，兩水平方向在加速度峰值到達(dá)時(shí)刻以及平穩(wěn)段持續(xù)時(shí)問(wèn)上存在微小差異。同時(shí)，由于考慮了豎直方向地震動(dòng)分量的時(shí)變功率譜模型參數(shù)以及強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)與水平方向地震動(dòng)分量的區(qū)別，生成的豎直方向地震動(dòng)加速度過(guò)程在幅值、強(qiáng)度峰值到達(dá)時(shí)刻以及平穩(wěn)段持續(xù)時(shí)問(wèn)上均與水平方向地震動(dòng)分量有著顯著差異。具體地，豎直方向地震動(dòng)加速度的幅值較小，約為水平分量的三分之二，此外，豎向分量的峰值到達(dá)時(shí)刻較早，且平穩(wěn)段持續(xù)時(shí)問(wèn)更長(zhǎng)，這體現(xiàn)了本文選用的演變功率譜模型的可行性與有效性。同時(shí)，由于充分考慮了地震動(dòng)場(chǎng)的空問(wèn)變異性，因此，不同場(chǎng)地類別的地震動(dòng)加速度在幅值、持時(shí)、頻率和衰減速率等方面也具有一定差異。

圖6為本文方法生成的多點(diǎn)多維非全平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的自相關(guān)函數(shù)（Ⅱ類場(chǎng)地）及互相關(guān)函數(shù)（Ⅱ與Ⅲ類場(chǎng)地）在遲滯時(shí)問(wèn)r分別為0及0.2s時(shí)與相應(yīng)目標(biāo)值的比較。從圖中可以看出，自相關(guān)函數(shù)的精度略高于互相關(guān)函數(shù)。圖7為工。類場(chǎng)地地震動(dòng)三方向分量在不同時(shí)刻的功率譜與相應(yīng)目標(biāo)值的比較。如圖所示，地震動(dòng)三分量的演變功率譜值與圖2中相同時(shí)刻的功率譜值基本一致，驗(yàn)證了模擬結(jié)果的正確性?？傮w上，相關(guān)函數(shù)及演變功率譜與其相應(yīng)目標(biāo)值的比較均具有較好的擬合結(jié)果，充分驗(yàn)證了本文方法的精確性和有效性。

6結(jié)論

結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)及抗震可靠度精細(xì)化分析是大型復(fù)雜空問(wèn)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的重要工作，合理描述及模擬結(jié)構(gòu)遭受的隨機(jī)地震作用則是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和前提。本文從多點(diǎn)一維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的譜分解（譜表示和POD）的理論出發(fā)，推導(dǎo)出空問(wèn)相關(guān)多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)基于相干函數(shù)矩陣的譜分解統(tǒng)一表達(dá)式。同時(shí)，通過(guò)構(gòu)造正交隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)形式，實(shí)現(xiàn)了空問(wèn)相關(guān)多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的降維模擬。研究表明，通過(guò)引入隨機(jī)函數(shù)的約束形式，能夠有效降低多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的隨機(jī)度（基本隨機(jī)變量的數(shù)量），即僅用兩個(gè)基本隨機(jī)變量即可在二階統(tǒng)計(jì)意義上精確地表達(dá)多點(diǎn)多維全非平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的概率特性。

同時(shí)，本文根據(jù)地震動(dòng)不同方向分量問(wèn)強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)相關(guān)性的回歸結(jié)果，給出了工。類場(chǎng)地四段強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)的參數(shù)取值，使得該強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)能夠適用于現(xiàn)行的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范。此外，為充分反映地震動(dòng)在時(shí)問(wèn)和頻率上的全非平穩(wěn)特性，引入了clough-Penzien時(shí)變功率譜模型來(lái)生成全非平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的演變功率譜。計(jì)算結(jié)果表明，采用強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)與時(shí)變功率譜模型生成的地震動(dòng)演變功率譜能夠全面反映地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性，同時(shí)，亦能夠合理地描述不同方向地震動(dòng)分量在強(qiáng)度、峰值到達(dá)時(shí)刻以及平穩(wěn)段持續(xù)時(shí)問(wèn)上的差異，具有較好的工程實(shí)踐意義。

此外，本文定義了兩種用以評(píng)價(jià)降維模擬方法精度的誤差準(zhǔn)則，即均值平均偏差與標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差，并計(jì)算了具有不同代表性樣本數(shù)量的樣本集合的精度。數(shù)值分析表明，采用降維模擬方法，僅需數(shù)百條代表性樣本即可獲得令人滿意的精度。同時(shí)，由于本文方法生成代表性樣本集合的概率信息完備，因此可與概率密度演化方法相結(jié)合，為基于性態(tài)和全壽命周期的大型復(fù)雜空問(wèn)結(jié)構(gòu)的精細(xì)化地震反應(yīng)分析、抗震可靠性評(píng)價(jià)以及抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了有效途徑。