波形鋼腹板-鋼底板-混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率的參數(shù)分析

冀偉 羅奎 馬萬良 王明宏

摘要：為計(jì)算和分析波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的純彎曲豎向振動(dòng)頻率，在綜合考慮剪切剪滯雙重效應(yīng)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用Hamilton原理和能量變分法推導(dǎo)出波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)的控制微分方程和自然邊界條件。根據(jù)自然邊界條件，求解得出考慮剪切剪滯雙重效應(yīng)影響的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率的計(jì)算公式。純彎曲豎向振動(dòng)頻率計(jì)算公式的可靠性得到了已建實(shí)橋的頻率實(shí)測值和ANSYS空間有限元值的驗(yàn)證。最后對波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響因素進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明：隨著高跨比的增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合變形對純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響程度依次減弱;波形鋼腹板的剪切變形對純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響較大，第4階純彎曲豎向振動(dòng)頻率的誤差已經(jīng)達(dá)到了52.38%，在實(shí)際工程計(jì)算中必須考慮其波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：箱梁橋;波形鋼腹板;動(dòng)力特性試驗(yàn);剪切變形;剪力滯效應(yīng)

中圖分類號：U448.21⁺3;U441⁺.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）05-1053-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.020

1概述

自20世紀(jì)70年代，法國學(xué)者PierreThivans提出用可沿橋梁縱向伸縮的波形鋼腹板替代傳統(tǒng)的混凝土腹板，由此出現(xiàn)了波形鋼腹板組合箱梁。國內(nèi)學(xué)者為進(jìn)一步降低波形鋼腹板組合箱梁的自重，解決箱梁的混凝土底板易開裂的缺陷，對波形鋼腹板組合箱梁進(jìn)行優(yōu)化，提出了波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁，其中波形鋼腹板一鋼底板的構(gòu)造如圖1所示。

目前，國外學(xué)者對波形鋼腹板的研究較多，研究成果主要集中靜力學(xué)方面。國內(nèi)的學(xué)者針對波形鋼腹板組合箱梁的動(dòng)力特性也做了許多的研究工作：張永健等運(yùn)用能量變分法推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁橋的振動(dòng)頻率解析公式，并用模型試驗(yàn)梁進(jìn)行了驗(yàn)證;鄭尚敏等研究了體外預(yù)應(yīng)力對波形鋼腹板組合箱梁自振頻率的影響，研究表明體外預(yù)應(yīng)力對自振頻率的影響可以忽略不計(jì);陳水生等研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對單箱多室波形鋼腹板組合箱梁動(dòng)力特性的影響;劉保東等根據(jù)其動(dòng)力特性的特點(diǎn)制定試驗(yàn)方案，對其動(dòng)力特性進(jìn)行了實(shí)測;李宏江等通過文獻(xiàn)調(diào)研和實(shí)橋調(diào)查，介紹了波形鋼腹板組合箱梁的自振特性及動(dòng)力響應(yīng)研究的最新進(jìn)展;任紅偉等推導(dǎo)了波形鋼腹板梁橋扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的解析公式;李杰等研究了體外束對波形鋼腹板簡支梁自振頻率的影響;冀偉等對波形鋼腹板組合箱梁橋的振動(dòng)頻率進(jìn)行了試驗(yàn)研究。

文獻(xiàn)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)外學(xué)者還未展開對波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁動(dòng)力特性的研究。因此，筆者運(yùn)用能量變分原理和Hamilton原理，推導(dǎo)出波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，最后對純彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響因素進(jìn)行了分析，所得結(jié)論可為今后該類橋型的設(shè)計(jì)提供一定的參考依據(jù)。

2彎曲豎向振動(dòng)方程的建立

2.1能量變分法的基本假定

（1）橋梁結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)工作，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁符合“擬平截面假定”;

（2）波形鋼腹板承擔(dān)全部剪力，計(jì)算應(yīng)變能時(shí)只考慮其剪切應(yīng)變能;

（3）不考慮波形鋼腹板和混凝土頂板連接處的層問滑移;

（4）忽略波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的扭轉(zhuǎn)變形和普通鋼筋的影響。

波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的橫截面如圖2所示，b和ζb分別表示混凝土頂板箱中部分長度的一半和懸臂部分的長度，hu和hb分別表示箱梁形心軸到混凝土頂板和鋼底板形心軸的距離。

3動(dòng)力特性測試與有限元模型的建立

3.1動(dòng)力特性測試

選取甘肅省蘭州市景中高速機(jī)場連接線的主匝道橋進(jìn)行了動(dòng)力特性實(shí)測，該橋?yàn)橹袊诮ㄔO(shè)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合箱梁，被交通運(yùn)輸部列為全國首批9座鋼結(jié)構(gòu)橋梁典型示范項(xiàng)目之一。計(jì)算跨徑為29.22m，采用4箱單室的截面形式，單箱截面的具體尺寸如圖4所示。箱梁混凝土頂板的彈性模量為3.5×10⁴MPa，泊松比為0.20，混凝土的密度為2.5×10³kg/m³。波形鋼腹板為1200型，波高為20cm，波形鋼腹板和鋼底板的厚度分別為1cm和1.6cm，鋼材的彈性模量為2.1×10⁵MPa，泊松比為0.30，鋼材密度為7.8×10³kg/m³。在鋼底板上設(shè)置兩道縱向的加勁肋，高度為18cm，箱內(nèi)每隔4.8m設(shè)置一道橫隔板。

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁純彎曲豎向振動(dòng)頻率計(jì)算公式的正確性，在沒有進(jìn)行橋面鋪裝之前，采用脈動(dòng)法對景中高速機(jī)場連接線主匝道橋的彎曲豎向振動(dòng)頻率和振型進(jìn)行了測試，如圖5所示。在橋梁的1/4跨、跨中以及3/4跨的橋梁中心線處和兩側(cè)對稱放置9個(gè)豎向拾振器，拾振器的布置圖如圖6所示，采樣頻率為256Hz。

通過脈動(dòng)試驗(yàn)測得的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的功率譜圖如圖7所示，將脈動(dòng)試驗(yàn)的實(shí)測信號輸入東方所的INV3060S型24位信號測試分析系統(tǒng)軟件進(jìn)行分析，識別出各階彎曲豎向振動(dòng)頻率和振型，本試驗(yàn)主要測得了在建實(shí)橋的前3階彎曲豎向振動(dòng)頻率和振型。

3.2波形鋼腹板-鋼底板-混凝土頂板組合簡支箱梁有限元模型的建立

運(yùn)用ANSYS 18.0空間有限元軟件建立了景中高速機(jī)場連接線的主匝道高架橋的三維模型。根據(jù)波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的特殊構(gòu)造，采用SOLID 45實(shí)體單元和SHELL 63殼單元兩種單元對三維模型進(jìn)行模擬。波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的混凝土頂板為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，采用SOLID 45實(shí)體單元進(jìn)行模擬，采用SHELL 63殼單元對波形鋼腹板、橫隔板以及鋼底板進(jìn)行模擬。

波形鋼腹板的殼單元與簡支箱梁混凝土頂板的實(shí)體單元以及鋼底板的殼單元，在連接處整排節(jié)點(diǎn)共用結(jié)點(diǎn)，波形鋼腹板的殼單元與混凝土頂板的實(shí)體單元連接處，以波形鋼腹板殼單元的1排節(jié)點(diǎn)為主節(jié)點(diǎn)，以體單元的節(jié)點(diǎn)為從節(jié)點(diǎn)，根據(jù)主從節(jié)點(diǎn)的自由度建立約束方程，形成剛性連接。波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁三維模型的邊界條件為：左端為固定鉸支座，即對簡支箱梁左端鋼箱最底下的1排節(jié)點(diǎn)的豎向、縱向以及橫向位移進(jìn)行約束;右端為活動(dòng)鉸支座，即對簡支箱梁右端鋼箱最底下的1排節(jié)點(diǎn)的豎向和橫向位移進(jìn)行約束。AN-SYS有限元模型一共211512個(gè)單元，其中SOLID45實(shí)體單元58752個(gè)，SHELL 63殼單元152760個(gè)。建立好的景中高速機(jī)場連接線的主匝道高架橋三維有限元模型如圖8所示。

4對比驗(yàn)證

4.1不同方法計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率比較

將本文所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的計(jì)算值與已建實(shí)橋的實(shí)測值和ANSYS三維有限元值進(jìn)行比較，其對比結(jié)果如表1所示。

從表1中可以看出：本文所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的計(jì)算值、ANSYS三維有限元值以及已建實(shí)橋的實(shí)測值吻合良好，證實(shí)了筆者所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的正確性。

4.2不同理論公式計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率比較

把景中高速機(jī)場連接線的主匝道高架橋的彎曲豎向振動(dòng)頻率分別按照筆者所推導(dǎo)的計(jì)算公式、歐拉梁和鐵木辛柯梁理論計(jì)算前6階彎曲豎向振動(dòng)頻率值，并進(jìn)行對比分析，如圖9所示。

從圖9可以看出，按歐拉梁計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率值與筆者所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率公式的計(jì)算值差別較大，2階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值已經(jīng)達(dá)到了23.21%，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是本文推導(dǎo)彎曲豎向振動(dòng)頻率計(jì)算公式時(shí)考慮了剪切剪滯雙重效應(yīng)，歐拉梁并未考慮剪切剪滯雙重效應(yīng)，剪切剪滯雙重效應(yīng)會降低波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的抗彎剛度。按鐵木辛柯梁理論計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率值與筆者所推公式的計(jì)算值差別不是很大，且前6階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值在1.79%以內(nèi)。

4.3不同混凝土底板厚度計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率比較

把景中高速機(jī)場連接線的主匝道高架橋的鋼底板改為混凝土底板，分別將其混凝土底板的厚度取為160，180，200，220和240mm，用本文所推導(dǎo)的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式計(jì)算其彎曲豎向振動(dòng)頻率值，討論其彎曲豎向振動(dòng)頻率值與混凝土底板厚度的關(guān)系。根據(jù)本文計(jì)算公式采用MATLAB自編程序計(jì)算不同混凝土底板厚度下的彎曲豎向振動(dòng)頻率值，如表2所示。

從表2可以看出，將波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的鋼底板換成混凝土底板后，采用本文推導(dǎo)的公式計(jì)算的彎曲豎向振動(dòng)頻率值均比箱梁底板為鋼底板時(shí)的計(jì)算結(jié)果要小，說明如果保持其他的幾何參數(shù)不變，僅將鋼底板換成混凝土底板，箱梁的抗彎剛度與單位長度的質(zhì)量比反而有所降低。

5彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響因素分析

5.1波形鋼腹板剪切模量是否修正對彎曲豎向振

動(dòng)頻率的影響

運(yùn)用本文所推導(dǎo)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式，從是否考慮剪切模量的修正系數(shù)分別計(jì)算出該橋型彎曲豎向振動(dòng)的頻率值，計(jì)算結(jié)果如表3所示，兩者的差值記為η1。

從表3可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率與波形鋼腹板的剪切模量是否修正關(guān)系不大，前4階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值在3.06%以內(nèi)，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而出現(xiàn)一種增大的趨勢，且增長趨勢緩慢。

5.2波形鋼腹板剪切變形對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響

只考慮彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式里面波形鋼腹板的剪切變形項(xiàng)的計(jì)算值與本文公式計(jì)算值進(jìn)行對比，對比結(jié)果如表4所示，兩者的差值記為η2。

從表4可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率受波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)影響較大，第4階彎曲豎向振動(dòng)頻率的差值已經(jīng)達(dá)到了52.38%，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而急劇增大。因此，在計(jì)算該類橋型的彎曲豎向振動(dòng)頻率時(shí)波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)不可忽略。

5.3箱梁的剪力滯及其耦合效應(yīng)對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響

只考慮彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式里面的箱梁的剪力滯及其耦合效應(yīng)項(xiàng)的計(jì)算值，并與本文公式計(jì)算值進(jìn)行對比，對比結(jié)果如表5所示，兩者的差值記為η3。

從表5可以看出，波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的彎曲豎向振動(dòng)頻率受箱梁剪力滯及其耦合效應(yīng)的影響很小，前4階頻率的差值在4.42%以內(nèi)，且兩者的差值隨著頻率階數(shù)的升高而出現(xiàn)一種增大的趨勢，增長趨勢較平緩。

5.4高跨比對修正系數(shù)βn的影響

為分析波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁在不同高跨比下的彎曲豎向振動(dòng)頻率，采用MATLAB自編程序計(jì)算出該橋型在波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者耦合作用下的彎曲豎向振動(dòng)頻率修正系數(shù)βn，其修正系數(shù)和高跨比的關(guān)系曲線如圖10所示。

從圖10可以看出：①當(dāng)n（頻率階數(shù)）值一定時(shí)，修正系數(shù)βn隨著高跨比的增大而減小，說明高跨比增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將會減弱;②當(dāng)高跨比h/l一定時(shí)，修正系數(shù)βn將隨n值的增大而減小，說明鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將隨頻率階數(shù)的升高而不斷減小。

5.5鋼底板厚度對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響

假定波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的截面高度、混凝土頂板厚度、波形鋼腹板厚度以及橫隔板的厚度和數(shù)量保持不變，僅僅改變其鋼底板的厚度。分別將其鋼底板的厚度取為15，16（實(shí)橋尺寸），20，25和30mm，用本文所推導(dǎo)的該橋型的彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式計(jì)算其彎曲豎向振動(dòng)頻率值，討論其彎曲豎向振動(dòng)頻率值與鋼底板厚度的關(guān)系。根據(jù)本文計(jì)算公式采用MATLAB自編程序計(jì)算不同鋼底板厚度下的彎曲豎向振動(dòng)頻率值，如圖11所示。

從圖11可以看出，鋼底板的厚度對其基頻的影響較大，鋼底板的厚度從15mm增加到20mm，20mm增加到30mm，25mm增加到30mm，豎向基頻依次增大9.65%，6.83%，5.05%，隨著彎曲豎向振動(dòng)頻率階數(shù)的升高，鋼底板的厚度改變對其彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響程度依次減弱。

5.6基頻與現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行對比

2015年出版的《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》（JTG D60-2015）第4.3.2條給出了簡支梁橋基頻的估算公式

采用式（33）對波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁的基頻進(jìn)行了計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與本文公式所得基頻進(jìn)行比較，對比結(jié)果如表6所示。

從表6中可以看出，采用文獻(xiàn)[16]中的基頻公式計(jì)算所得值比本文推導(dǎo)的公式計(jì)算的基頻值大6.30%。表明采用本文所推導(dǎo)的公式計(jì)算該類橋型的基頻更加準(zhǔn)確。

6結(jié)論

（1）本文推導(dǎo)的波形鋼腹板一鋼底板一混凝土頂板組合簡支箱梁彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的計(jì)算值與已建實(shí)橋的實(shí)測值和ANSYS三維有限元值吻合良好，從而驗(yàn)證了彎曲豎向振動(dòng)頻率求解公式的可靠性。

（2）波形鋼腹板的剪切模量是否修正、箱梁的剪力滯以及兩者的耦合效應(yīng)對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響很小，在實(shí)際計(jì)算中可以忽略不計(jì)。波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響較大，第4階頻率的誤差已經(jīng)達(dá)到了52.38%，在實(shí)際計(jì)算中必須考慮波形鋼腹板的剪切變形效應(yīng)。

（3）當(dāng)n（頻率階數(shù)）值一定時(shí)，修正系數(shù)βn隨著高跨比的增大而減小，說明高跨比增大，波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將會減弱;當(dāng)高跨比h/l一定時(shí)，修正系數(shù)βn將隨n值的增大而減小，說明波形鋼腹板的剪切變形、箱梁的剪力滯效應(yīng)以及其兩者的耦合效應(yīng)對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響將隨頻率階數(shù)的升高而不斷減小。

（4）鋼底板的厚度對其基頻的影響較大，隨著彎曲豎向振動(dòng)頻率階數(shù)的升高，鋼底板的厚度增加對彎曲豎向振動(dòng)頻率的影響程度依次減弱。