基于變分模態(tài)分解和奇異值分解的頻率相近信號分離方法

邢婷婷，關 陽，劉子涵，樊鳳杰，孟 宗

(1.燕山大學河北省測試計量技術及儀器重點實驗室，河北 秦皇島 066004; 2.唐山工業(yè)職業(yè)技術學院, 河北 唐山 063000)

1 引 言

旋轉機械故障振動信號大多是非平穩(wěn)、非線性信號，如何從振動信號中提取和分析豐富的故障信息，一直是機械故障診斷的熱點和難點[1,2]。經驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)[3]作為一種常用的時頻分析方法，可以自適應地將信號分解為若干個不同頻段的本征模態(tài)分量(intrinsic mode function，IMF)，廣泛應用于機械故障診斷中[4～6]。然而當頻率比小于1.5時，EMD分解會產生模態(tài)混疊現(xiàn)象，不能將兩個單頻信號正確分離成IMF分量。當滾動軸承同時有兩種或多種故障時，其振動信號的頻率成分由于故障特征頻率和倍頻的存在變得十分復雜，兩種故障的特征頻率還可能十分接近，因此分離和提取故障信號中的相近特征頻率具有重要實際意義[7～9]。

2014年Dragomiretskiy K等人提出一種新的信號分解方法——變分模態(tài)分解(variational mode decomposition, VMD)[10]，該方法有較強的抗噪能力，對于相近頻率信號有更高的分辨率，還能夠提取出較微弱的信號成分[11]。文獻[12]中用VMD對滾動軸承的早期故障信號進行特征提取，取得了很好的效果；文獻[13]將VMD成功應用于滾動軸承故障診斷中；文獻[14]將VMD與EMD對比，證明了VMD在軸承故障診斷中具有更好的頻率分辨率。

本文將變分模態(tài)分解與奇異值分解相結合，利用VMD較強的抗噪能力和對相近頻率信號的高分辨率特性，以及奇異值分解能有效去除虛假頻率的特點[15～19]，首先對信號進行VMD分解，然后對所有分量進行奇異值分解，通過奇異值分解檢測虛假成分，實現(xiàn)相近頻率成分的有效分離。

2 變分模態(tài)分解

VMD將輸入信號分解為子帶信號的離散數(shù)據(jù)，在分解過程中具有一定的稀疏屬性，信號被分解為數(shù)個模態(tài)uk和中心頻率ωk，分解過程為：

(1)

(2)

式中：{uk}={u1,…,uk}表示分解所得的K個分量；{ωk}={ω1,…,ωk}表示各個分量中的中心頻率。

各模態(tài)分解優(yōu)化算法如下：

2)采用循環(huán)n=n+1，k=1:K

(3)

(4)

采用對偶上升法：ω≥0

(5)

直到收斂滿足：

(6)

3 奇異值分解理論

對于一個矩陣A∈Rm×n，必定存在正交矩陣U∈Rm×m和V∈Rn×n，使得下式成立：

A=USVT

(7)

(8)

式中：S∈Rm×n；O為零矩陣；q=min(m,n)；Δ1≥Δ2≥,…,Δq>0，Δi(i=1,2,…,q)為矩陣A的奇異值。

對信號進行奇異值分解首先要將信號構造成Hankel矩陣，令m=N-n+1，設有離散數(shù)字信號x(i),i=1,2,…，N，N是信號的長度，構造的Hankel矩陣形式如下：

(9)

分解后的所有奇異值按從大到小的順序形成序列：

S=Δ1,Δ2,…,Δq，q=min(m,n)

(10)

奇異值的大小反映了信號的能量強弱，從而根據(jù)能量強弱的不同區(qū)分不同的信號成分[20]。

4 基于VMD和奇異值分解的信號特征提取算法

與經驗模態(tài)分解(EMD)相比，VMD具有堅實的理論基礎，噪聲魯棒性好，在模態(tài)分離方面也有更高的分辨力。但是在信號分解前需要設定模態(tài)分解層數(shù)和懲罰因子α，算法步驟如下：

(1)設定懲罰因子α和VMD分解層數(shù)，對信號進行VMD分解；

(2)通過奇異值分解檢測虛假分量，如果虛假分量超過兩個則重新設定分解層數(shù)；

(3)對分解后的各分量進行幅值譜分析；

(4)從幅值譜中提取故障特征頻率。

流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Flow chart of algorithm

5 仿真分析

為驗證方法的有效性，通過仿真信號進行分析。仿真信號表達式如下所示：

x=2(1+3sin(200 π t))sin(500 π t)+

sin(140 π t)+sin(120 π t)+n(t)

(11)

式中：n(t)為隨機噪聲；采樣頻率為1kHz；信號x的波形如圖2所示。

圖2 仿真信號時域波形圖Fig.2 Time domain waveform of simulation signal

圖3 VMD分解后各分量Fig.3 Signal components after variational mode decomposition

VMD分解時，懲罰因子α采用默認值2 000，分解層數(shù)設為6，分解后各個分量如圖3所示。對每個分量進行奇異值分解，奇異值分布如表1所示。

表1 各分量的奇異值分布Tab.1 Singular value distribution of signal components

由于奇異值的時域能量聚集性，比較發(fā)現(xiàn)分量6的奇異值發(fā)生突變，所占能量也非常小，故判定分量6為虛假成分。為了驗證奇異值檢測的可靠性，對每個分量求幅值譜，如圖4所示。

圖4 各分量幅值譜Fig.4 Amplitude spectrum of signal components

圖4中分量6的幅值譜較為混亂且幅值較小，故判定分量6為虛假成分，可以剔除。由以上仿真實驗可以看出VMD經過6層過分解后可以將頻率相近信號60 Hz和70 Hz的分量準確的分離開，證明了VMD經過適當?shù)倪^分解有利于信號的充分分離，同時用奇異值分解可以檢測出虛假成分，剔除后對實驗結果沒有影響。

對仿真信號用EMD分解后，同樣對各個IMF分量進行幅值譜分析，如圖5所示。

圖5 EMD分解后各IMF的幅值譜Fig.5 Amplitude spectrum of signal components after empirical mode decomposition

由圖5可以看出，信號經過EMD分解后，并沒有將不同頻率成分的分量有效分開，發(fā)生了模態(tài)混疊的現(xiàn)象，還伴有虛假分量出現(xiàn)，大大降低了算法的精度。

6 滾動軸承故障診斷實驗研究

以美國西儲大學滾動軸承故障為研究對象，采用驅動端內圈和風扇端內圈混合故障的振動信號進行實驗。電機轉速為1 772 r/min，振動信號的采樣頻率為12 kHz，采樣點數(shù)為5 120點。計算得到驅動端內圈故障特征頻率為159.93 Hz，風扇端內圈故障特征頻率為146.10 Hz，混合振動信號如圖6所示。

圖6 混合振動信號Fig.6 Mixed vibration signal

用VMD將其分解，層數(shù)設置為6，分解后得到各個分量如圖7所示。

圖7 VMD分解后各分量Fig.7 Signal components after variational mode decomposition

對各分量求其幅值譜如圖8所示。

圖8中，VMD分解后各分量的頻率分布較為分散且沒有嚴重的混疊現(xiàn)象，有利于對特征頻率的提取。用奇異值檢測過分解后再對各分量進行包絡譜分析，選取有用信號的包絡譜如圖9所示。

圖9 VMD分解后分量的包絡譜Fig.9 Envelope spectrum of signal components after variational mode decomposition

由圖9包絡譜可見振動信號中的驅動端內圈和風扇端內圈故障特征頻率被分離開來，驗證了本文提出的方法能夠準確地提取出頻率相近的多故障特征頻率成分。作為對比，將該振動信號用EMD分解，分解后各分量的幅值譜如圖10所示。

EMD分解后各分量的頻率分布都有一定的重疊，大量的模態(tài)混疊對故障特征提取造成了很大干擾。對其進行包絡譜分析如圖11所示。

圖10 EMD分解后各分量的幅值譜Fig.10 Amplitude spectrum of signal components after empirical mode decomposition

圖11 EMD分解后分量的包絡譜Fig.11 Envelope spectrum of signal components after empirical mode decomposition

由圖11可知EMD只分離出該振動信號中驅動端內圈故障特征頻率，在IMF3之后出現(xiàn)大量的無用頻率。說明EMD不能將振動信號中的相近頻率信號分離出來，不利于提取有用信號。

7 結 論

本文針對故障診斷中相近頻率信號難以分離，復合故障中各類故障特征頻率難以提取的問題，提出了用VMD和奇異值分解相結合的方法對原信號中的頻率成分進行分離提取。通過仿真實驗證明了該方法對于相近頻率信號提取有非常好的效果；又通過復合故障數(shù)據(jù)實驗成功提取出了不同的故障特征頻率，相比于EMD方法有更高的分辨率，也有很好的抗噪能力。對于推動VMD在旋轉機械故障診斷工程實際應用中有一定的價值。