核心素養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的教學(xué)啟示

文∣馬曉丹

教育部《關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》將核心素養(yǎng)定義為“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。基于這一界定展開(kāi)的研究體現(xiàn)了以“學(xué)生發(fā)展”為核心的教育視角的變化。[1]近年來(lái)，“朝著哪一方向發(fā)展”，又該“如何發(fā)展”成為教育研究者普遍關(guān)注的問(wèn)題。立足我國(guó)國(guó)情，縱覽世界各國(guó)、各地區(qū)對(duì)“核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵解讀，核心素養(yǎng)為新時(shí)代的教育發(fā)展提供了新的方向，新方向?qū)W(xué)科知識(shí)的教學(xué)意義也是重大的。本文將圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念性知識(shí)教學(xué)展開(kāi)討論。

一、數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的內(nèi)涵分析

數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)于數(shù)學(xué)概念的，而數(shù)學(xué)概念解釋了數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界中存在的數(shù)學(xué)規(guī)律。[2]概念性知識(shí)包括分類(lèi)和類(lèi)別的知識(shí)以及它們之間的關(guān)系性知識(shí)。[3]所謂分類(lèi)和類(lèi)別的知識(shí)，是指基于本質(zhì)特征進(jìn)行分類(lèi)或明確類(lèi)別的準(zhǔn)則性知識(shí)，如有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，這里“有一個(gè)角是直角”是用于判斷一個(gè)三角形是否直角三角形的本質(zhì)特征。關(guān)系性知識(shí)是指構(gòu)成同一類(lèi)別知識(shí)的基本要素之間的關(guān)系，以及這些關(guān)系之間的關(guān)系。如勾股定理闡明了直角三角形三邊之間的關(guān)系，這種基于關(guān)系形成的原理和通則知識(shí)可以進(jìn)一步豐富個(gè)體對(duì)分類(lèi)和類(lèi)別知識(shí)的認(rèn)識(shí)，因?yàn)闈M(mǎn)足這種三邊關(guān)系的三角形也屬于直角三角形。此外，“關(guān)系之間的關(guān)系”是指基于關(guān)系形成的原理和通則知識(shí)之間的關(guān)系，如勾股定理是余弦定理在夾角為90°時(shí)的特殊情況。事實(shí)上，概念性知識(shí)與程序性知識(shí)位于知識(shí)系統(tǒng)的連續(xù)體上，當(dāng)概念性知識(shí)達(dá)到運(yùn)用及以上的認(rèn)知水平時(shí)，就會(huì)轉(zhuǎn)化為智慧技能，也就是廣義的程序性知識(shí)。

二、數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的教學(xué)誤區(qū)

當(dāng)前考試多選擇易于觀測(cè)的外顯知識(shí)進(jìn)行測(cè)評(píng)，這就使得概念性知識(shí)的測(cè)評(píng)比重普遍低于程序性知識(shí)。其中，概念性知識(shí)的理解又低于概念性知識(shí)的運(yùn)用。測(cè)評(píng)比重對(duì)教學(xué)的直接影響表現(xiàn)為對(duì)概念性知識(shí)的重視不夠，特別是對(duì)概念性知識(shí)的理解重視不夠。具體表現(xiàn)為以下三個(gè)方面。

(一)概念性知識(shí)的學(xué)習(xí)止步于記憶水平

實(shí)際教學(xué)中，概念性知識(shí)中的分類(lèi)和類(lèi)別知識(shí)容易與事實(shí)性知識(shí)混淆，這也是止步于記憶水平的概念教學(xué)時(shí)有發(fā)生的原因。分類(lèi)和類(lèi)別知識(shí)是在基本事實(shí)基礎(chǔ)上概括出的更為抽象的知識(shí)，從基本事實(shí)要素到每一個(gè)類(lèi)屬關(guān)系的確立，都是遠(yuǎn)離具體細(xì)節(jié)、接近抽象領(lǐng)域的過(guò)程。[4]為此，尋求更高認(rèn)知水平的概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的必然。舉例來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)不能止步于“記住整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)”，而是要能夠解釋整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)三者之間的從屬關(guān)系，以及有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

(二)概念性知識(shí)的學(xué)習(xí)直接介入運(yùn)用水平

直接介入運(yùn)用水平的概念教學(xué)在實(shí)際教學(xué)中屢見(jiàn)不鮮，其原因有二。一是由于教學(xué)時(shí)間的分配并不能權(quán)衡知識(shí)學(xué)習(xí)與技能訓(xùn)練，表現(xiàn)為有意識(shí)地側(cè)重于技能訓(xùn)練。這樣的學(xué)習(xí)所建立的關(guān)系局限在知識(shí)的表面聯(lián)系上，不能解釋關(guān)系的實(shí)質(zhì)。二是由于教師混淆了概念的生成過(guò)程與具體的操作步驟，表現(xiàn)為無(wú)意識(shí)地用操作過(guò)程代替生成過(guò)程。如條形統(tǒng)計(jì)圖的教學(xué)常用“如何繪制軸、如何確定距離和寬度”等替代從象形統(tǒng)計(jì)圖到條形統(tǒng)計(jì)圖的“進(jìn)化”過(guò)程。這樣的學(xué)習(xí)割裂了學(xué)習(xí)者已有認(rèn)知基礎(chǔ)與新概念之間的聯(lián)系。

(三)概念性知識(shí)達(dá)到高階思維水平后出現(xiàn)的低階思維水平的喪失

由于絕大多數(shù)教學(xué)的目的都指向?qū)W習(xí)的遷移，教育的重心便不會(huì)只停留在低階思維水平，而是會(huì)向高階思維水平轉(zhuǎn)移。當(dāng)概念性知識(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)過(guò)“理解”水平后，達(dá)到“運(yùn)用”及以上水平，卻不能清楚地說(shuō)明構(gòu)成概念的基本要素之間的關(guān)系時(shí)，就會(huì)表現(xiàn)出低階思維水平的喪失，也就是“會(huì)而不懂”的現(xiàn)象。究其原因，主要在于對(duì)“理解”的認(rèn)識(shí)是片面的。在認(rèn)知學(xué)習(xí)中，理解是重要的，但無(wú)論理解是作為手段還是目的，都不是唯一的。[5]修訂版布盧姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)認(rèn)為，用于判定學(xué)習(xí)者“理解”的標(biāo)準(zhǔn)是能否從多種形式的教學(xué)信息中建構(gòu)意義。[6]為了實(shí)現(xiàn)意義的建構(gòu)，“理解”涉及多個(gè)層次的認(rèn)知過(guò)程。其中，“總結(jié)”“推斷”“比較”“說(shuō)明”是比“解釋”“舉例”“分類(lèi)”更高層次的理解，理解得越深入，越不容易在形成高階思維后出現(xiàn)低階思維水平的喪失。

三、核心素養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的教學(xué)啟示

面對(duì)核心素養(yǎng)所引領(lǐng)的教學(xué)變革，數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)走出誤區(qū)，并從以下三個(gè)方面尋求改進(jìn)。

(一)實(shí)施有意義的概念教學(xué)以促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展

核心素養(yǎng)視角下的“學(xué)生發(fā)展”指向了終身發(fā)展。已有研究普遍認(rèn)同“核心素養(yǎng)的獲得是一個(gè)持續(xù)的、終身的學(xué)習(xí)過(guò)程”[7]，學(xué)生需要在一個(gè)持續(xù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷實(shí)現(xiàn)有意義的建構(gòu)，即通過(guò)新經(jīng)驗(yàn)與原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的相互作用，來(lái)充實(shí)、豐富和改造自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)[8]。奧蘇泊爾認(rèn)為知識(shí)和意義是等價(jià)的，他用同化思想解釋了陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)了認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有適當(dāng)觀念對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的決定作用。[9]記憶、理解水平的數(shù)學(xué)概念性知識(shí)所對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)結(jié)果是用于回答“數(shù)學(xué)基本要素、對(duì)象或類(lèi)別是什么”的陳述性知識(shí)，新舊知識(shí)的相互作用也是有意義的概念學(xué)習(xí)的重要保障。指向終身發(fā)展的數(shù)學(xué)概念性知識(shí)不僅要發(fā)揮已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)當(dāng)前概念學(xué)習(xí)的固定作用，還要發(fā)揮當(dāng)前概念學(xué)習(xí)對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)的鋪墊作用。因此，這種既勾連過(guò)去，又通達(dá)未來(lái)的概念“鏈”，反映的是學(xué)習(xí)者對(duì)自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行有意義建構(gòu)的過(guò)程。同時(shí)，這也是一個(gè)由具體指向抽象的過(guò)程，一端連接學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，始于知覺(jué)辨別；另一端則可以無(wú)限延伸，進(jìn)行更為抽象的思維操作。根據(jù)抽象程度的不同，概念可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是從具體例證出發(fā)，依據(jù)事物的本質(zhì)屬性給出的描述性定義，即具體概念，通常用于概念學(xué)習(xí)的初級(jí)階段；另一類(lèi)是直接給出的定義性概念，通常用于概念的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。后者顯然不能孤立于許多舊概念，定義性概念之間是相互聯(lián)系的。[10]當(dāng)然，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)不可只停留在具體、直觀、視覺(jué)化的階段，必須升華、逐級(jí)地反省抽象，最后完成數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)。[11]因此，具體概念的學(xué)習(xí)終將走向定義性概念的學(xué)習(xí)，并成為定義性概念學(xué)習(xí)的前提條件。可見(jiàn)，學(xué)習(xí)者持續(xù)的、終身的學(xué)習(xí)過(guò)程需要對(duì)同一概念進(jìn)行多次建構(gòu)。當(dāng)前中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的設(shè)置普遍受到“知識(shí)螺旋式上升”這一理念的影響，概念的抽象性差異成為不同學(xué)段重復(fù)學(xué)習(xí)同一概念的原因之一。如小學(xué)階段學(xué)習(xí)圓的概念是以具體概念的形式給出的，到了中學(xué)階段就是以定義性概念的形式給出。抽象性的不同使建立起的有意義的聯(lián)系也是不同的(如圖1所示)。對(duì)于具體概念而言，需要在大量事實(shí)例證中辨別當(dāng)前學(xué)習(xí)的概念與易混概念，如明確圓不同于多邊形的本質(zhì)屬性是曲線(xiàn)圖形，圓不同于圓柱、球的本質(zhì)屬性是平面圖形；對(duì)于定義性概念來(lái)說(shuō)，則需要建立起當(dāng)前學(xué)習(xí)的概念與已有概念之間的聯(lián)系，如定點(diǎn)、定長(zhǎng)等是與圓、圓心、半徑的定義性概念相關(guān)的舊概念。

圖1 圓的概念在不同學(xué)段的建構(gòu)過(guò)程

(二)打通雙向聯(lián)系的概念教學(xué)以促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展

核心素養(yǎng)視角下的“學(xué)生發(fā)展”指向了全面發(fā)展。核心素養(yǎng)根植于知識(shí)、能力，卻比知識(shí)、能力更為豐富，是知識(shí)、能力、態(tài)度的綜合化形態(tài)。[12]全面發(fā)展所需的綜合化形態(tài)的知識(shí)是問(wèn)題解決的必要條件。如若運(yùn)用數(shù)學(xué)概念去解決問(wèn)題，離散的、鏈狀的數(shù)學(xué)概念就應(yīng)該朝著更為復(fù)雜的整塊形式的知識(shí)發(fā)展?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)將這種復(fù)雜的整塊知識(shí)稱(chēng)為圖式[13]，它在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上形成，并最終用于問(wèn)題解決[14]，它所表征的數(shù)學(xué)概念，應(yīng)當(dāng)在闡明構(gòu)成概念的基本要素之間的聯(lián)系(內(nèi)部的)基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步闡釋概念與概念之間的聯(lián)系(外部的)。如圓與圓之間的關(guān)系可以根據(jù)圓心的位置和半徑的大小確定(同圓、等圓、同心圓等)，還可以根據(jù)圓心的距離與半徑的和差關(guān)系來(lái)確定(相離、外切、相交、內(nèi)切等)。此時(shí)，所形成的概念圖式不再是離散的單點(diǎn)結(jié)構(gòu)，而是逐步將大腦中碎片化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化[15]，最終實(shí)現(xiàn)一個(gè)整體在不同情境間的自由遷移。因此，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題的過(guò)程是陳述性知識(shí)向智慧技能轉(zhuǎn)化的過(guò)程，高水平的認(rèn)知過(guò)程(運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造)對(duì)這一轉(zhuǎn)化過(guò)程起到積極的促進(jìn)作用。反之，智慧技能也會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)起到促進(jìn)作用。如運(yùn)用方格紙對(duì)不規(guī)則圖形(腳印、地圖、樹(shù)葉等)進(jìn)行度量，本質(zhì)上就是在問(wèn)題解決的過(guò)程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)面積的本質(zhì)，即用面積單位的個(gè)數(shù)來(lái)衡量面的大小。

(三)實(shí)現(xiàn)有深度的概念教學(xué)以促進(jìn)學(xué)生的深化發(fā)展

核心素養(yǎng)視角下的“學(xué)生發(fā)展”指向了深化發(fā)展。作為數(shù)學(xué)教育重要目標(biāo)之一的概念性理解[16]，其理解的深度不能停留在表面，而應(yīng)該朝概念的本質(zhì)深入挖掘?！袄斫狻蹦軌虼龠M(jìn)新知識(shí)與已有心理圖式和認(rèn)知框架的整合，這也是概念性知識(shí)與認(rèn)知過(guò)程“理解”之間存在慣性搭配的原因。課題組調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，用“解釋”“舉例”“分類(lèi)”等認(rèn)知過(guò)程來(lái)達(dá)成概念性知識(shí)理解水平的現(xiàn)象是較為普遍的。之所以說(shuō)對(duì)“理解”水平的認(rèn)識(shí)是片面的，一方面原因在于，忽視了“理解”水平是多種認(rèn)知過(guò)程共同作用的結(jié)果。除了“解釋”“舉例”“分類(lèi)”之外，“總結(jié)”“推斷”“比較”“說(shuō)明”也是“理解”類(lèi)別中的認(rèn)知過(guò)程[17]，不同認(rèn)知過(guò)程中數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的例子如表1所示。

表1 數(shù)學(xué)概念性知識(shí)在不同認(rèn)知過(guò)程中的例子

另一方面原因在于，不明確各認(rèn)知過(guò)程在概念學(xué)習(xí)中的區(qū)別?！敖忉尅薄芭e例”與“分類(lèi)”有利于多感官辨別大量事實(shí)的屬性，是形成概念的基礎(chǔ)?！翱偨Y(jié)”與“推斷”更適合具體概念的形成，是指概括、歸納出某一類(lèi)事實(shí)的本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)構(gòu)成某一類(lèi)事實(shí)的基本要素之間的關(guān)系?！氨容^”與“說(shuō)明”更適合定義性概念的形成，是指發(fā)現(xiàn)兩個(gè)對(duì)象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建構(gòu)某一概念體系中的因果關(guān)系。根據(jù)加涅的智慧技能層級(jí)論，形成定義性概念的前提是形成具體概念，形成具體概念的前提是辨別。因此，“比較”與“說(shuō)明”是相對(duì)于“總結(jié)”與“推斷”來(lái)說(shuō)，更高層次的認(rèn)知過(guò)程，而“解釋”“舉例”與“分類(lèi)”是理解類(lèi)別中最為基礎(chǔ)的認(rèn)知過(guò)程。實(shí)際教學(xué)中，僅用“解釋”“舉例”“分類(lèi)”來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)和測(cè)評(píng)活動(dòng)的做法都不能保證“理解”的深度。

根據(jù)廣義知識(shí)學(xué)習(xí)階段和分類(lèi)模型，除語(yǔ)文、外語(yǔ)等學(xué)科的概念之外，其他學(xué)術(shù)性學(xué)科中的概念學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷陳述性學(xué)習(xí)階段和程序性學(xué)習(xí)階段。[18]相應(yīng)地，數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的教學(xué)需要遵循概念性知識(shí)學(xué)習(xí)的基本規(guī)律。核心素養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的教學(xué)啟示也應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)概念性知識(shí)教學(xué)的不同階段發(fā)揮相應(yīng)的作用。如在陳述性階段實(shí)現(xiàn)概念的多次建構(gòu)，通過(guò)概念與智慧技能的雙向作用促進(jìn)概念轉(zhuǎn)化為對(duì)外辦事的能力。此外，為了保證評(píng)價(jià)針對(duì)的是概念理解而不是概念記憶，基于“理解”類(lèi)別中的不同認(rèn)知過(guò)程實(shí)施數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的測(cè)評(píng)也是十分必要的。

本文系北京教育學(xué)院2019年重點(diǎn)關(guān)注課題 “評(píng)價(jià)”行為對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決圖式水平進(jìn)階的實(shí)驗(yàn)研究(ZDGZ2019-04)的研究成果。