規(guī)律源自探索
——蘇教版數(shù)學(xué)“探索規(guī)律”教學(xué)策略例談

江蘇蘇州市吳中區(qū)東湖小學(xué) 蔣 欣

在蘇教版數(shù)學(xué)教材中，自三年級(jí)起每學(xué)期安排了一課時(shí)的“探索規(guī)律”，主要分布于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等領(lǐng)域。這樣的“分散滲透”與“專題編排”正是蘇教版數(shù)學(xué)教材的特色與亮點(diǎn)。這些內(nèi)容既很好地反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，同時(shí)也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

筆者以蘇教版數(shù)學(xué)教材中的“探索規(guī)律”為例，結(jié)合目前在教學(xué)中存在的一些問題，試圖從課堂實(shí)施的層面談幾點(diǎn)自己的思考及做法。

一、尚存問題

在實(shí)際教學(xué)中，不少教師在教學(xué)“探索實(shí)踐”這一專題內(nèi)容時(shí)，對(duì)教學(xué)目標(biāo)的定位不夠準(zhǔn)確。主要表現(xiàn)在：組織教學(xué)活動(dòng)時(shí)，過于注重幫助學(xué)生掌握、理解“規(guī)律”的內(nèi)容，而忽視了引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”的探索過程；或者過于注重組織學(xué)生進(jìn)行規(guī)范地表達(dá)“規(guī)律”，而忽視了引領(lǐng)學(xué)生個(gè)性化感悟發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”；或者過于注重通過演繹推理運(yùn)用“規(guī)律”進(jìn)行問題解決，而忽視了引領(lǐng)學(xué)生在合情推理基礎(chǔ)上對(duì)“規(guī)律”的大膽猜想。

二、原因淺析

有些教師將“探索規(guī)律”中的“規(guī)律”僅看作是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而衡量學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，顯然要關(guān)注其對(duì)知識(shí)的理解與掌握程度；也可能是為了片面追求課堂教學(xué)的效率，故而縮減了學(xué)生的探究過程；還可能是多年來受應(yīng)試教育的影響，于是將是否掌握規(guī)律并熟練運(yùn)用規(guī)律解決問題作為一個(gè)重要的考量標(biāo)準(zhǔn)。

三、思考與做法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的、富有個(gè)性的過程。認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理、驗(yàn)證、計(jì)算等活動(dòng)過程。

因此，教師在教學(xué)實(shí)際中應(yīng)該有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生積極參與到探索活動(dòng)之中，著重引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷有序觀察、大膽猜測、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、合情推理、合理驗(yàn)證，以及準(zhǔn)確計(jì)算等探索過程。至于“規(guī)律”的內(nèi)容，重在引導(dǎo)學(xué)生去感悟，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主表達(dá)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)運(yùn)用獲得的“規(guī)律”解決相關(guān)的實(shí)際問題。

1.探索規(guī)律需要有序觀察

“探索規(guī)律”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，首先要從學(xué)生學(xué)會(huì)有序觀察開始。觀察，是有目的、有計(jì)劃的知覺活動(dòng)，是以視覺為主，融其他感覺為一體的綜合感知，而且觀察包含著積極的思維活動(dòng)，因此稱之為知覺的高級(jí)形式。在“探索規(guī)律”等數(shù)學(xué)活動(dòng)的觀察中，還應(yīng)做到歸類、有序，才有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

例如，在教學(xué)六年級(jí)上冊的“表面涂色的正方體”這一內(nèi)容時(shí)，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生有序觀察、合理分類、展開想象，教師在此基礎(chǔ)上組織以下幾個(gè)層次的探索活動(dòng)：

第一層次，組織學(xué)生通過觀察一個(gè)表面涂上紅色的正方體積木（課件演示“每條棱都被平均分成2份”），引導(dǎo)學(xué)生思考：如果沿線切開，能得到多少個(gè)小正方體？這些小正方體分別有幾個(gè)面被涂到紅色？學(xué)生通過觀察，容易想到：在“切成”的小正方體中，只有原來露在表面的那些面才會(huì)被涂到紅色。

第二層次，通過組織學(xué)生觀察“每條棱被平均分成3份、4份、5份……的正方體”，探索“表面涂色的正方體”的規(guī)律。這一層次的教學(xué)活動(dòng)極為關(guān)鍵，因?yàn)榈谝粚哟翁剿骰顒?dòng)中的正方體是個(gè)特例：棱長二等分后得到的8個(gè)小正方體都在原來的頂點(diǎn)處，均有3面被涂到紅色。因此探索“每條棱被三等分的正方體”的情況將是關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生通過有序觀察發(fā)現(xiàn)：若按規(guī)定切開，切成的小正方體中有3面涂色（在頂點(diǎn)處）、2面涂色（在棱中間）、1面涂色（在面中間），并且數(shù)量不同。在此基礎(chǔ)上，再有序觀察“每條棱被平均分成4份、5份……的正方體”，并通過觀察、比較3面涂色、2面涂色、1面涂色小正方體的個(gè)數(shù)，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

第三層次，嘗試歸納總結(jié)規(guī)律，并用字母、符號(hào)進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)。

數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律、公理都來源于觀察。這一專題中的“規(guī)律”帶有一定的隱蔽性，在探索活動(dòng)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理分類、有序觀察。這里的“有序”主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一，通過觀察要將一個(gè)正方體中“切割”得到的小正方體按涂色的面數(shù)進(jìn)行分類；其二，要有序地觀察將正方體每條棱二等分、三等分、四等分、五等分的情況，并由此展開想象。因此，有序觀察在探索數(shù)學(xué)規(guī)律的過程中具有普遍價(jià)值。

2. 探索規(guī)律需要大膽猜想

法國數(shù)學(xué)家龐加萊曾說：“邏輯用于論證，直覺可用于發(fā)明?！痹谖覀償?shù)學(xué)“探索規(guī)律”的教學(xué)中，也需要我們的學(xué)生擁有這種直覺思維。因?yàn)橹庇X思維有著：直接性、經(jīng)驗(yàn)性、迅速性、跳躍性、或然性等特征，而這些正是小學(xué)生思維的特點(diǎn)。

例如，教師在教學(xué)五年級(jí)下冊“和與積的奇偶性”這一探索活動(dòng)時(shí)，就要充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想。

這一專題活動(dòng)的探索，學(xué)生會(huì)有兩次直覺猜想：第一次是關(guān)于“和的奇偶性”，從探究“兩個(gè)數(shù)相加”開始并逐步拓展，學(xué)生憑直覺——幾個(gè)偶數(shù)相加，和一定是偶數(shù)，因此“和的奇偶性”關(guān)鍵看加數(shù)中奇數(shù)的情況。第二次是關(guān)于“積的奇偶性”，學(xué)生憑經(jīng)驗(yàn)——幾個(gè)奇數(shù)相乘，積一定是奇數(shù)，因此“積的奇偶性”關(guān)鍵看乘數(shù)中的偶數(shù)的情況。學(xué)生僅憑直覺或數(shù)感得出這樣的猜想，沒有邏輯推理，但是這種猜想極其重要，因?yàn)獒槍?duì)這一規(guī)律的探索正是從這樣的猜想開始的。學(xué)生有了這樣的直覺猜想，接下來的舉例驗(yàn)證才有方向與目標(biāo)。

因此，教師在組織“探索規(guī)律”專題活動(dòng)時(shí)，要充分利用學(xué)生的直覺思維，積極鼓勵(lì)他們大膽地猜測與假設(shè)。在探索過程中允許學(xué)生“即興回答”，允許學(xué)生根據(jù)線索片段做出直覺判斷。教師在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生展開合理想象、動(dòng)手操作，從而習(xí)得規(guī)律。

3. 探索規(guī)律需要合理驗(yàn)證

探索規(guī)律不僅是去探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，更主要的是引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從一般到特殊的探索規(guī)律和驗(yàn)證規(guī)律的過程，了解從特殊到一般、從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法。

例如，四年級(jí)下冊“多邊形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容，在探索過程中教師就要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的驗(yàn)證過程。第一次驗(yàn)證，是關(guān)于四邊形的內(nèi)角和，學(xué)生容易想到兩個(gè)特殊的四邊形——長方形和正方形，它們的內(nèi)角和是360°，因?yàn)樗鼈兠總€(gè)內(nèi)角都是90°。需要驗(yàn)證的是，是不是每一個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？從而，結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)——把四邊形分成兩個(gè)三角形，進(jìn)行探索一般四邊形的內(nèi)角和。第二次需要驗(yàn)證的是：是不是任意多邊形都能像四邊形那樣分成若干個(gè)三角形呢？通過操作與想象，答案顯然是肯定的。第三次要驗(yàn)證的是：是不是分成的三角形的個(gè)數(shù)總比多邊形的邊數(shù)少2呢？通過對(duì)劃分成三角形的多邊形的分析發(fā)現(xiàn)：分成的所有三角形中，只有兩個(gè)三角形中的兩條邊是多邊形的邊，其余三角形都只有一條邊是多邊形的邊，所以三角形的個(gè)數(shù)總比多邊形的邊數(shù)少2。從而歸納出：多邊形的內(nèi)角和＝（多邊形的邊數(shù)-2）×180°。

一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，如果僅停留在猜想的階段，那么它永遠(yuǎn)是一個(gè)猜想，而不會(huì)真正成為“規(guī)律”，要使其成為真正的數(shù)學(xué)規(guī)律，就得經(jīng)歷合理的驗(yàn)證。因此，合理驗(yàn)證是探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律過程中極為重要的環(huán)節(jié)。

4. 探索規(guī)律需要科學(xué)實(shí)驗(yàn)

探索規(guī)律的教學(xué)貴在探索，而探索有可能找不到規(guī)律，也有可能找不對(duì)規(guī)律，還可能找不全規(guī)律，這才是真實(shí)的探索過程。于是，探索規(guī)律需要不斷地實(shí)驗(yàn)，只有科學(xué)地進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)才能對(duì)發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”進(jìn)行調(diào)整、糾偏。

例如，五年級(jí)上冊“釘子板上的多邊形”，乍一看“釘子板上的多邊形”學(xué)生很難立即想到這些多邊形與“釘子數(shù)”有關(guān)，甚至不會(huì)想到與多邊形邊上還是內(nèi)部的釘子數(shù)量之間的關(guān)系。如果教師完全按照教材提供的問題線索組織學(xué)生進(jìn)行探索研究，那么這樣的“探索”只是按圖索驥，并沒有問題思路的整理和實(shí)驗(yàn)步驟的確定。因此，筆者覺得針對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探索活動(dòng)有必要引領(lǐng)學(xué)生以科學(xué)的態(tài)度進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。在實(shí)際的教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行以下幾個(gè)層次的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：

第一次實(shí)驗(yàn)：多邊形的面積與釘子的數(shù)量有關(guān)。教學(xué)時(shí)，教師提供各種情況的多邊形——多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)不統(tǒng)一，同時(shí)學(xué)生在點(diǎn)子圖上任意畫幾個(gè)多邊形，此時(shí)學(xué)生只是“有所察覺”而不成“規(guī)律”，但能激發(fā)學(xué)生探究的興趣。第二次實(shí)驗(yàn)：這次實(shí)驗(yàn)是基于第一次實(shí)驗(yàn)的困惑，學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部只有1枚釘子時(shí)，多邊形的面積數(shù)正好是邊上釘子數(shù)的一半。于是再次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)——在點(diǎn)子圖上任意畫“內(nèi)部有1枚釘子的多邊形”。學(xué)生通過這次實(shí)驗(yàn)，對(duì)“規(guī)律”已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)，只是不夠完整，但激發(fā)學(xué)生欲罷不能的探索欲望——是不是只有當(dāng)“多邊形內(nèi)部只有1枚釘子”時(shí)才有這樣的規(guī)律呢？第三次實(shí)驗(yàn)：多邊形的面積數(shù)與其邊上和內(nèi)部的釘子數(shù)都有關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生組織畫圖實(shí)驗(yàn)——依次探索多邊形內(nèi)部有1枚、2枚、3枚……以及內(nèi)部沒有釘子的圖形進(jìn)行探索，從而獲得完整的規(guī)律。

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這種建立在對(duì)物質(zhì)世界的直接經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的真正的學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)成為一門有趣的、受學(xué)生歡迎并使學(xué)生都能理解的學(xué)科?！币虼?，在“探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師除了組織學(xué)生根據(jù)問題的引領(lǐng)去關(guān)注“探索什么”，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過科學(xué)實(shí)驗(yàn)去經(jīng)歷“如何探索”的過程，這才是學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的真諦所在。

5. 探索規(guī)律需要合情推理

教師引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)“探索規(guī)律”這一專題內(nèi)容，實(shí)際上就是引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，進(jìn)行合理地推理與有效地演繹。對(duì)于學(xué)生來說，合情推理具有可操作性，因?yàn)閷W(xué)生可以通過歸納與類比得到自己推理的結(jié)果。

例如，教師在組織教學(xué)六年級(jí)下冊“面積的變化”這一專題活動(dòng)時(shí)，就要充分利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)——圖形的放大與縮小，引領(lǐng)學(xué)生通過聯(lián)想、歸納與類比進(jìn)行合情推理。具體的探索活動(dòng)如下：

首先，組織學(xué)生測量一大一小兩個(gè)長方形的長和寬，明確大長方形與小長方形對(duì)應(yīng)邊的比是3∶1，即大長方形是小長方形按3∶1的比放大的。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)長方形面積的比是9∶1，并產(chǎn)生聯(lián)想：這里的“9”會(huì)不會(huì)是“3×3”得到的呢？第二，引導(dǎo)學(xué)生自主探索。從簡單、熟悉的圖形開始，如大小兩個(gè)正方形之間的面積關(guān)系，更容易發(fā)現(xiàn)：如果正方形按3∶1放大，面積是32∶1；如果正方形按2∶1放大，面積就是22∶1……再推廣到三角形、圓等圖形。第三，幫助學(xué)生從特殊走向一般，逐漸歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律：一個(gè)平面圖形如果按n∶1放大，那么放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

歸納推理與類比推理是兩種用途最廣的合情推理，正如數(shù)學(xué)家拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。”當(dāng)然，從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬇袛鄟碇v，合情推理得到的結(jié)果不一定全部準(zhǔn)確，但學(xué)生的思維是在合情推理中得到鍛煉的，推理能力也是在這樣的合情推理中逐步形成的，同時(shí)也有利于增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)。

6. 探索規(guī)律需要準(zhǔn)確計(jì)算

“探索規(guī)律”主要分布于“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”等領(lǐng)域，不少規(guī)律的探索過程都是在準(zhǔn)確計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而準(zhǔn)確計(jì)算也為順利進(jìn)行探索活動(dòng)提供了保障。

例如，在三年級(jí)下冊“有趣的乘法計(jì)算”這一探索活動(dòng)中，“準(zhǔn)確計(jì)算”既是基礎(chǔ)和前提，也是教學(xué)目標(biāo)。首先，教師組織學(xué)生計(jì)算一組“兩位數(shù)與11相乘”的計(jì)算題，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生觀察乘積與這個(gè)兩位數(shù)之間的關(guān)系。第二，學(xué)生各自舉例再次計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證，并通過觀察豎式中的計(jì)算過程以理解這一計(jì)算規(guī)律的算理，有利于促進(jìn)學(xué)生真正掌握“兩位數(shù)與11相乘”的計(jì)算規(guī)律。否則學(xué)生掌握的可能只是關(guān)于乘積表象的一句口訣：“兩端一拉，中間相加，滿十進(jìn)一。”至于探索“十位相同且個(gè)位上的數(shù)相加等于10的兩個(gè)數(shù)相乘”和“形如（n-1）×（n+1）乘法”的計(jì)算規(guī)律，同樣是在學(xué)生準(zhǔn)確計(jì)算的基礎(chǔ)上通過觀察發(fā)現(xiàn)。

再如，四年級(jí)上冊“簡單的周期”這一探索活動(dòng)，也需要學(xué)生進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，當(dāng)然更重要的是對(duì)“余數(shù)”的理解。

學(xué)生通過準(zhǔn)確計(jì)算探索發(fā)現(xiàn)這些運(yùn)算規(guī)律之后，反過來又再次促進(jìn)了運(yùn)算能力。這樣的探索過程使學(xué)生既明確算理，又掌握計(jì)算技巧，對(duì)發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)非常有益。

另外，獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律之后，我們就需要對(duì)規(guī)律進(jìn)行概括與表達(dá)，這也是規(guī)律的精華所在。筆者認(rèn)為，對(duì)于學(xué)生而言，對(duì)有些規(guī)律的表達(dá)可以個(gè)性化呈現(xiàn)，例如關(guān)于“間隔排列”的規(guī)律，它屬于簡單情境下的變化規(guī)律，又比較貼近生活實(shí)際，在表達(dá)時(shí)允許學(xué)生運(yùn)用文字、符號(hào)或字母，只要能感悟其本質(zhì)就行。當(dāng)然，對(duì)有些規(guī)律的表達(dá)則需要“公式化”，例如“多邊形的內(nèi)角和”屬于數(shù)學(xué)本身的規(guī)律，它具有一定的隱蔽性，用公式表達(dá)更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡約性和符號(hào)化，也有利于幫助學(xué)生建模。

關(guān)于應(yīng)用規(guī)律解決實(shí)際問題，是規(guī)律的價(jià)值所在，也是“探索規(guī)律”的教學(xué)目標(biāo)之一。但在小學(xué)階段，教師不宜將“探索規(guī)律”的教學(xué)重點(diǎn)落在解決問題上，學(xué)生能體會(huì)規(guī)律的應(yīng)用價(jià)值就行，更不應(yīng)該將應(yīng)用規(guī)律解決實(shí)際問題的水平作為評(píng)價(jià)的主要標(biāo)準(zhǔn)。

基于以上思考，筆者認(rèn)為關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)中“探索規(guī)律”的教學(xué)，教師應(yīng)該跳出傳統(tǒng)教學(xué)中“應(yīng)試”的思維去思考與實(shí)踐。在教學(xué)中我們除了關(guān)注這些“規(guī)律”的內(nèi)容或承載的知識(shí)之外，更應(yīng)該重視學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，感悟相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的科學(xué)態(tài)度。

“探索規(guī)律”的教學(xué)，主要目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)的方法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加開放、多元，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。蘇教版數(shù)學(xué)教材中8個(gè)“探索規(guī)律”的專題活動(dòng)，盡管以獨(dú)立的課時(shí)截取了數(shù)學(xué)中某一片段的內(nèi)容予以呈現(xiàn)，但與很多內(nèi)容有著直接的、緊密的聯(lián)系；它們就像一顆顆“種子”植入學(xué)生的大腦，這些“種子”蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。因此，需要教師積極探索，在組織教學(xué)時(shí)為學(xué)生提供充分的自主學(xué)習(xí)空間，并引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維去思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的方法去分析和解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。