建立模型，培養(yǎng)數(shù)學抽象思維

江蘇省淮安經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)啟明中學 邵 君

數(shù)學模型建構(gòu)的教學理念是對傳統(tǒng)數(shù)學課堂的案例進行聯(lián)系和類比，分散難點，通過多元合作和分享，幫助同學們形成抽象的理性思考模式。雖然數(shù)學模型的概念在數(shù)學知識體系中比較常見，但目前大部分數(shù)學課堂忽略了數(shù)學模型的重要性，許多教師沒有認識到數(shù)學模型對于培養(yǎng)學生抽象思維的重要性。下面本文將從幾個經(jīng)典案例入手，談一談如何在數(shù)學教學過程中利用模型構(gòu)建發(fā)展學生的抽象思維。

一、發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想

構(gòu)建數(shù)學模型不需要同學們具備十分全面的知識體系。每一個數(shù)學模型都具備一個典型的突破點，因此，教師要注重培養(yǎng)同學們發(fā)現(xiàn)問題、理解抽象性問題的能力。階段性問答的方式會給同學們一定的啟發(fā)性，幫助同學們提出想法。教師在教學數(shù)學模型時要考慮同學們的心理，從低難度的問題入手打消同學們對于未知領(lǐng)域的陌生感和恐懼感，增強學生學習數(shù)學的自信。

例如在教學“二元一次方程”時，我認為函數(shù)意識的培養(yǎng)最好的基點就是實際問題，所以我針對函數(shù)問題展開了實際問題的探討。比如題目：“同一款式的衣服L 碼，衣長為56cm，袖長為40cm，M碼衣長為44.5cm，袖長為35cm，已知S 碼衣長33.2cm，求問S 碼袖長為多少？”同學們看到衣服的尺碼問題，無法把這個抽象的生活概念同函數(shù)聯(lián)系起來。我向同學們拋出第一個問題：衣長和袖長之間存在一定的數(shù)量關(guān)系嗎？通過閱讀題干，同學們發(fā)現(xiàn)衣服的袖長和衣長之間存在一定的比例關(guān)系。我又接著提問：如果存在一個方程可以把這聯(lián)系起來，需要設(shè)定幾個未知數(shù)？同學們發(fā)現(xiàn)通過引入一次函數(shù)y=kx+b，就可以從方程組的計算中得出衣長和袖長的關(guān)系。

把設(shè)置階段性問答作為同學們開展數(shù)學建模的突破口，可以很大程度地減輕同學的心理壓力，幫助學生高效解決問題，實現(xiàn)數(shù)學思維的提升和優(yōu)化。階段性問答從淺入深的教學設(shè)計可以給同學們提供合理的推理思路，并且從實際問題出發(fā)的典型題目可以讓同學們更全面地理解生活中的抽象關(guān)系，從而更好地理解數(shù)學模型的現(xiàn)實意義，為學生更好地運用數(shù)學模型奠定良好的基礎(chǔ)。

二、多元發(fā)散，分別驗證

多元化的模型構(gòu)建途徑不僅可以拓寬同學們的思維廣度，還可以加深同學們的思維深度。數(shù)學模型的建立往往需要涉及多個方面的知識體系，在逐層解析的時候，教師可以鼓勵同學們進行多方面的假設(shè)和推理，把復(fù)雜抽象的問題拆分成小節(jié)。這樣做既降低了模型構(gòu)建的難度，還可以幫助同學們更為全面地思考問題。

例如在進行“銳角三角函數(shù)”的教學過程中，我認為掌握三角函數(shù)的關(guān)系和推定原理要比熟記特定的三角函數(shù)值更有幫助。比如例題：“AC是樓梯的垂直高度，BC是地面的水平線，BA與CA的夾角為a。現(xiàn)要在樓梯上鋪廣告，已知BC=4 米，樓梯寬度1 米，則廣告的面積至少需要多少平方米？”在進行這個問題的建模過程中，我要求同學們先繪制一個簡圖，針對簡圖進行思考。在繪制圖像的時候，有細心的同學發(fā)現(xiàn)，廣告紙的長度并不是樓梯斜面的長度，而是BA與CA的長度之和。在明白了這個關(guān)鍵點之后，同學們可以根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系逐步進行建模、計算、解題。

數(shù)學模型構(gòu)建的通路有很多條，依靠簡單的數(shù)學模型構(gòu)建方法，同學們可以獲得模型構(gòu)建的部分思路。從全面發(fā)展的角度來說，讓同學們進行多元思考，從更為深入的方面考慮數(shù)學模型的格局，會幫助同學們更好地建立抽象思維，更多地考慮脫離數(shù)學情境，回歸到順序的概念和本質(zhì)。

三、梳理歸納，形成體系

初中階段的抽象思維主要體現(xiàn)在幾何關(guān)系上。傳統(tǒng)平面的抽象關(guān)系可以通過賦予熟悉含義而具有數(shù)學關(guān)系，并且?guī)缀沃械某橄髥栴}要求同學們具備全面的幾何知識，熟知點線面的關(guān)系和幾何定理。因此，在進行相關(guān)建模時，同學們就需要不斷對幾何知識進行歸納整理，形成自我的知識體系。

例如，我在進行“平行四邊形”的備課過程中，對于平行四邊形的幾條定理進行了思考。同學們對于定理的記憶基本依靠死記硬背，但是我希望在課堂上通過練習平行四邊形相關(guān)的幾個幾何系統(tǒng)幫助同學們理解和記憶定理。例如，在講解平行四邊形和菱形在證明上的不同點時，同學們的思維很活躍，一些同學從二者的對邊關(guān)系出發(fā)，菱形有四條邊全等的特點，而平行四邊形只具備一組對邊相等的特質(zhì)。還有一些同學另辟蹊徑，從角度上考量二者的推定關(guān)系，但結(jié)果證明，角度的關(guān)系理論只有在特殊的圖形之間才有實踐意義。在針對平行四邊形進行的建?；顒又?，我要求同學們把平行四邊形的網(wǎng)絡(luò)繪制在一張圖譜上，并注明這些幾何圖形與平行四邊形之間的平面關(guān)聯(lián)，我認為數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)的建立需要多個系統(tǒng)之間進行聯(lián)系和融合。

數(shù)學知識體系的歸納建立不僅對于同學們記憶知識點和概念具有極大的促進作用，更對學生形成系統(tǒng)、全面的知識體系也具有至關(guān)重要的影響，同樣，教會學生進行數(shù)學知識體系的歸納，還可以幫助同學們回歸到概念和原理，更為深入地理解數(shù)學知識。在幾何問題中，相似幾何圖形之間的交叉聯(lián)系對于抽象思維的建立也有重要意義。

初中階段的模型構(gòu)建可以為同學們的數(shù)學思維建立打下基礎(chǔ)。數(shù)學模型構(gòu)建的目的在于教授同學們一種研習數(shù)學問題、拓展數(shù)學思維的通路，以期同學們可以從數(shù)學建模中獲得抽象思維的啟發(fā)和靈感。教師在選取數(shù)學模型教材的時候也要注意數(shù)學模型的實際性與典型性，以期達到輔助同學們學習數(shù)學方法的目的。