“面積的測量”的教學探索

【摘 要】學習遷移的必要條件是同時具備共同性與差異性。因此，在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中新增“面積的測量”的教學內容。要實現(xiàn)遷移，僅理解面積概念遠遠不夠，還需明確面積測量與長度測量的內在聯(lián)系與本質區(qū)別。然而，當前教學實踐普遍側重兩者基于度量單位累加的共性，而對其差異有所忽視。教師應致力于澄清面積測量與長度測量的差異，剖析忽視此差異導致的學習困難，并通過“知一求二”的課堂實踐，在學習目標、學習任務以及評價方式等方面進行面積測量教學的探索。

【關鍵詞】概念轉變；長度測量；面積測量；度量單位

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）在第二學段課程目標中強調，學生的數(shù)學學習應“經(jīng)歷平面圖形的周長和面積的測量過程”。與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中要求學生“經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程”相比較，在2022年版課標中新增了“面積的測量”的教學內容。這一變化反映了數(shù)學教育對度量本質（即單位累加）的重視，可以促進學習遷移。在討論學習遷移時，瑞典教育家馬飛龍（Ference Marton）在其變異理論中指出：“共同性與差異性同等重要，沒有共同性不會有遷移，但是沒有差異性也不會有遷移?！保?］因此，要實現(xiàn)遷移，僅關注知識間的共性是不夠的，還必須重視其差異性。換言之，“意義源于差異，差異始于比較”［2］。那么，對面積測量和長度測量進行比較，它們之間究竟存在哪些差異？如果忽略這些差異，學生在學習中會遇到哪些學習困難？如何通過教學來探索彰顯面積測量與長度測量之間的差異？這樣的教學探索蘊含著怎樣的教育價值？

一、面積測量與長度測量的差異

什么是測量？17世紀，德國著名哲學家、數(shù)學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）指出：“測量是被測物與單位（Unit）的比較（Comparison）?！保?］一旦度量單位得以明確，即確立了“一”的概念，測量過程就是“知一求幾”的過程。這一過程的核心在于對連續(xù)量進行細分。當一個適當?shù)亩攘繂挝槐贿x定后，連續(xù)量被分解為離散狀態(tài)，通過度量單位的選擇、確定及迭代，原本難以計數(shù)的連續(xù)量轉化為可計數(shù)的離散量。通過“知一求幾”，連續(xù)量不僅被賦予了具體的數(shù)值，還在量與數(shù)之間建立了聯(lián)系，從而“實現(xiàn)了數(shù)與量之間一一對應的關系”［4］。在面積測量與長度測量中，盡管它們都遵循度量單位迭代這一基本原則，體現(xiàn)了測量的共性，但兩者之間也存在著明顯的差異。

測量是用數(shù)表達量的過程，其核心在于與度量單位的比較。在長度測量中，具體化為長度單位與被測物的比較。以厘米為單位測量長度為例，首先確立厘米作為度量單位，然后通過該單位的重復累加，直至覆蓋被測長度，從而得出以厘米為單位的測量結果。這一過程可以理解為多個厘米單位的線性排列或累加。例如，測量一條2厘米線段的長度，先確定的是長度單位1厘米，再用它重復2次，就得到2厘米的長度（如圖1）。從直觀上看，2厘米的長度即為兩個1厘米長度的累加。無論這個圖形如何繪制，只要是2厘米長度，其呈現(xiàn)出來的形狀都是一樣的。這體現(xiàn)了長度測量的一個顯著特點“量等形同”。簡而言之，長度測量確保了等長線段在二維空間中的表現(xiàn)形式具有唯一性。

在進行面積測量時，若以平方厘米作為度量單位，有一個顯著的特點：即使兩個圖形的面積相等，它們的形狀亦可呈現(xiàn)多樣性。例如，一個面積為2平方厘米的圖形，可以是長為2厘米、寬為[1]厘米的長方形，也可以是底為2厘米、高為[1]厘米的平行四邊形，還可以是一個底為2厘米、高為2厘米的三角形（如圖2）。這種多樣性揭示了面積測量的一個獨特現(xiàn)象：即便圖形面積等量，其外在形狀也并不唯一?？蓪⑦@種現(xiàn)象稱為“量等形異”。因此，面積測量與長度測量之間的一個明顯差異就是：前者允許在面積相等的情況下體現(xiàn)形狀的不確定性，而后者則嚴格遵守等量必同形的規(guī)則。

在探討長度和面積的測量時，會展現(xiàn)出兩者的本質區(qū)別。長度測量涉及被測物和度量單位之間的線性關系，即單位長度的重復累加，呈現(xiàn)出“同倍增減”的特征。相比之下，面積測量則涉及一維和二維之間的關系，即邊長與面積之間的關系。這種關系超越了簡單的線性“同倍增減”，轉而表現(xiàn)為“此起彼增”的協(xié)變關系，即邊長增加或減少會導致面積以非線性的方式相應增加或減少。顯然，面積為2倍關系的兩個正方形，其邊長之間并非簡單的線性比例關系，而是涉及無理數(shù)的概念，這進一步凸顯了面積測量的獨特性和復雜性。因此，面積測量和長度測量的第二個明顯差異就是：前者涉及面積和邊長之間這種獨特的協(xié)變關系，而后者沒有。在學習過程中，這些明顯差異可能導致學生認知上的困難。

二、忽視差異導致的學習困難

在面積測量教學中，若過分強調其與長度測量的一致性，聚焦于度量單位的累加，可能會產(chǎn)生一個常見的誤解：正方形的邊長擴大2倍時，面積也隨之擴大2倍。為了探究這一問題，筆者對北京一所小學的四、五、六年級學生進行了專項測試，這些學生已經(jīng)學習過“面積”這一概念。測試內容圍繞小學數(shù)學教科書中“關于1平方厘米的定義”（如圖3），旨在通過調查研究了解學生對正方形面積與邊長之間關系的理解情況。測試結果表明，這一誤解在不同年級中普遍存在，盡管隨著年級的升高，誤解的比例有所下降，但仍保持在較高的水平：四年級約有80%的學生、五年級約有60%的學生、六年級約有50%的學生持有此類誤解。

在已有的研究中，此類誤解被稱為“線性誤解”，即學生傾向于認為一個變量的變化直接導致另一變量等比例變化，表現(xiàn)為當一個物體的某個向度擴大n倍或增加n，另一個向度也會被認為擴大n倍或增加n［5］。這樣的誤解普遍存在。例如，在三年級學習了面積單位后，學生被問及邊長為1厘米的正方形面積是1平方厘米，用符號表示為1 cm2，那么邊長為2厘米的正方形面積，用符號應如何表示？約有66%的五年級學生和30%的六年級學生錯誤地寫成2 cm2，這進一步印證了學生在理解面積與邊長的協(xié)變關系上存在線性誤解。

分析線性誤解產(chǎn)生的原因，不難發(fā)現(xiàn)，學生受到已有經(jīng)驗中“同倍增減”線性關系（如“1雙襪子2只，2雙襪子4只”）的影響。瑞士心理學家皮亞杰（Jean Piaget，1896—1980）對兒童面積概念認知規(guī)律的研究也證實了這一觀點，當正方形的邊長擴大為原來的2倍時，兒童會對面積變?yōu)?倍感到驚訝，但無法解釋為什么，原因是他們的認知水平仍停留在“線性測量”上［6］。

綜上所述，面積測量教學不能僅關注其與長度測量基于單位累加的共性，還應重視二者之間的差異。正如變異理論所揭示的，對任何事物的理解都不能脫離其與其他事物的相互聯(lián)系。人們之所以能夠辨識某一事物的特征，是因為這些特征在與其他事物的比較中，凸顯出差異。遷移的發(fā)生正是這種差異性與共同性交織作用、共同推動的結果。也就是說，在面積測量的教學中，不僅要將長度測量作為度量單位累加的核心概念進行遷移，還要對長度測量和面積測量的差異進行區(qū)分，而后者正是本研究強調的重點。已有研究表明，“關注面積測量和長度測量的差異，要對面積測量中‘知一求二’（即使用面積為1平方厘米的正方形構造出2平方厘米的正方形）的探究活動給予足夠的重視”［7］。因此，面積測量教學一個重要的目標是促使學生的認知從線性關系向非線性關系轉變，對長度測量經(jīng)驗進行改變、拓展與提升，實現(xiàn)思維中的“概念轉變”。那么，如何在教學中實現(xiàn)這一目標呢？

三、“從否認到確認”的面積測量教學

在對已有經(jīng)驗進行改變的過程中，先要感知已有經(jīng)驗的不足，并對其加以否認。在學習面積測量之前，學生所積累的長度測量經(jīng)驗包括“度量單位的累加、量等形同以及線性關系”等。如果未能對這些經(jīng)驗進行適當?shù)膮^(qū)分，直接遷移到面積測量學習中，就會產(chǎn)生一些理解上的偏差，從而阻礙新知的學習。因此，學生要正確理解面積測量中邊長與面積的協(xié)變關系，必須對在長度測量中積累的線性經(jīng)驗進行否認，這是概念轉變的第一步。

實現(xiàn)概念轉變，不僅需要掌握“是什么”和“為什么是”的學科邏輯，還應具備“如何知道并相信”的認知邏輯，即一種“從否認到確認”［8］的認知過程，可以分解為“枚舉—否認—承認—確認”的基本認知框架（如圖4）。

首先，基于學生已有經(jīng)驗枚舉出“可能是什么”；其次，通過比較和篩選多種可能性，排除“不可能是什么”，從而產(chǎn)生“不能這樣做，可以怎樣做”的想法；接著，在篩選的基礎上，承認“可以這樣做”并進一步形成“應當是什么”的想法；最后，在承認的基礎上，進一步證實“應當這樣做”，并堅信“一定是什么”。這一認知過程遵循“先識其非，方知其是”的思維路徑，強調了否認作為承認與確認的先決條件，意味著要對“是什么”進行認定，必須先經(jīng)歷對“不是什么”的辨析與排除。

這種“從否認到確認”的認知方式，可以廣泛應用于小學數(shù)學課程教學中，特別是在需要進行概念轉變的教學實踐中。在面積測量中認識“協(xié)變關系”時，學生應在承認和確認面積測量“是協(xié)變關系”的同時，也明確其“不是線性關系”，即予以否認。同理，對“為什么是協(xié)變關系”的解釋和對“為什么不是協(xié)變關系”的解讀也應共存并相互支持。只有在排除了“不是協(xié)變關系”的可能性之后，才能真正相信并確定“是協(xié)變關系”以及“為什么是協(xié)變關系”。以下，將以面積測量中“知一求二”的學習任務設計與實施為例進行說明。

●任務一：已知邊長1分米的正方形面積為1平方分米，畫一個面積為2平方分米的正方形。

實踐研究表明，學生受長度測量經(jīng)驗中線性關系的影響，全班35名學生出現(xiàn)了以下三種嘗試（如圖5）：邊長為2分米的正方形（約占85.71%），邊長為1.5分米的正方形（約占8.57%），長為2分米、寬為1分米的長方形（約占5.72%）。值得注意的是，這些學生在初始階段均未意識到自己的錯誤。如何引導學生對這些想法進行否認呢？

在教學中，教師引導學生圍繞核心問題“這幅作品是否為2平方分米的正方形？請說明理由”展開討論，學生逐漸認識到：邊長為2分米的正方形面積過大，邊長為1.5分米的正方形面積不夠精確，長為2分米、寬為1分米的長方形在形狀上不符合。這一共識的達成，標志著學生開始意識到他們無法直接通過長度測量的方法確定面積。

這一任務不僅是學生概念轉變的起點，還是他們認知升級的關鍵一步。他們開始意識到，在面積測量中，不能簡單地將長度測量的經(jīng)驗套用過來，從而感知“不能這樣做”，進而想到“應當怎樣做”。這樣，下一個任務的出現(xiàn)則水到渠成。

●任務二：從任務一的三種作品中，挑選易于改造的作品進行改造，以得到2平方分米的正方形。

學習材料：如圖6中情況1和情況2的彩紙，一把剪刀。

如何引導學生認識到“應當怎樣做”以達成對面積測量的認同？教師提出核心問題讓學生邊操作邊思考：“我是怎樣改造原圖，使其變成2平方分米的正方形的？我是怎么想到這個方法的？”在全班交流中，用這個核心問題不斷引導學生關注圖形與圖形之間的關系，從而找到解決問題的辦法。

針對情況1，學生展現(xiàn)出非凡的創(chuàng)造力，他們不僅縮小了單位面積，還巧妙地運用了圖形的運動。有的將兩個正方形進行分割，形成4個面積是0.5平方分米的三角形，再將它們重新組合得到正方形；還有的將一個正方形進行分割，形成4個面積是0.25平方分米的三角形，再進行重組得到正方形（如圖7）。

在情況2的處理上，學生同樣運用了多樣化的方法。其中，兩種是先對正方形進行減半，形成面積為2平方分米的三角形或者長方形，隨后通過分割與重組，將其轉化為正方形；另一種更為直觀，通過折疊找到正方形每條邊上的中點依次連接，直接構造出面積為2平方分米的正方形（如圖8）。

學生觀察到圖形與圖形之間的關系，借助以前學習圖形運動的經(jīng)驗，得到了想要的2平方分米的正方形實物，由此體會到“可以這樣做”的合理性。但是，畫一個2平方分米的正方形，除了每次都這樣減半、分割、旋轉，還有沒有別的辦法？由此引出“應當怎樣做”的任務。

●任務三：在1平方分米的正方形中找2平方分米正方形的邊長，可以畫一畫，描一描。

教師為了引導學生理解“應當怎樣做”，提出了核心問題：“在1平方分米的正方形中，2平方分米正方形的邊長如何確定？”實踐證明，盡管該任務具有一定的挑戰(zhàn)性，但仍有部分學生迅速洞察到其中的關系——1平方分米正方形的對角線長度恰好等于2平方分米正方形的邊長（如圖9）。這一發(fā)現(xiàn)激發(fā)了學生“無中生有”的想象力，有助于培養(yǎng)他們數(shù)學的眼光。完成此任務不但幫助學生通過圖形關系確定了2平方分米正方形的邊長，而且為他們后續(xù)重新繪制2平方分米正方形提供了有力支持。

●任務四：請你們畫一畫面積為2平方分米的正方形。

在這個任務中，學生借助前兩個任務中積累的經(jīng)驗，提出了多種解決方案。一些學生選擇在原有作品的基礎上進行改造，通過連接中點等方法得到目標圖形；一些學生則采用分割與重組的方法；更有學生直接應用了任務三中的發(fā)現(xiàn)，利用1平方分米正方形的對角線作為邊長繪制出精確的2平方分米正方形。這一系列操作不僅展示了學生豐富的想象力與創(chuàng)造力，而且彰顯了他們在數(shù)學學習過程中的成長與進步。

學生的學習活動軌跡，從“初嘗失敗，反思為何不能如此”到“勇于創(chuàng)新，探尋可行路徑”，再到“數(shù)學眼光，確定最佳方案”，最終“運用經(jīng)驗，探索更多可能性”。其思維過程也經(jīng)歷了“不能這樣做—可以怎樣做—應當怎樣做—還可以怎樣做”的轉變。學生逐漸從困惑走向清晰，深入思考，并實現(xiàn)了從長度測量的線性關系到面積測量的協(xié)變關系的轉變。

四、面積測量教學新探索的價值

在2022年版課標背景下，盡管面積測量中“知一求二”的學習任務并非現(xiàn)行小學數(shù)學教科書中明確的教學內容，但在課堂實踐中卻有其豐富的教學價值。

學習目標定位，從知識掌握轉變?yōu)樗仞B(yǎng)提升。本次教學探索體現(xiàn)了以素養(yǎng)為導向、以育人為本的教育理念。它超越了傳統(tǒng)面積測量教學中單一關注公式推導、記憶應用的模式，轉而重視培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光和量感。通過引導學生對正方形對角線“無中生有”的想象，將面積為4平方分米的正方形沿對角線分割減半，以圖形運動的方式轉化為2平方分米的正方形。此類活動聚焦于量的本質及其相互關系，淡化了對公式的依賴與計算的強調，可稱之為“量推理”［9］，直指量感的形成。此外，變異理論的運用促使學生從線性水平邁向非線性水平，實現(xiàn)了概念轉變，促進了數(shù)學思維的提升。學生的認知雖然始于已有經(jīng)驗，但不應囿于其中，已有經(jīng)驗的轉變、拓展與提升應成為數(shù)學課程教學的目標。

學習任務設計，從教師直接告知轉變?yōu)閷W生主動探索。本次探索改變了以往教學中將知識直接告知的方式，巧妙設計了富有挑戰(zhàn)性的學習任務，利用反常現(xiàn)象激發(fā)學生的好奇心與求知欲。例如，在繪制2平方分米正方形時，學生無法直接得出邊長，這一困惑成為推動學生深入探索的動力。通過對錯誤作品的比較、分析與改造，學生直觀感知量與量之間的關系，深化對面積測量意義的理解。此外，基于對已有經(jīng)驗差異的理解，讓學生從“意義源于差異”的視角，把握長度測量和面積測量的不同，經(jīng)歷從否認到確認的學習過程。在這樣的框架下設計學習任務系列，讓學生在獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流中觸及新知本質，發(fā)生真實的學習，發(fā)展核心素養(yǎng)。

評價方式轉型，從否定錯誤到激勵成長。在面積測量教學中，摒棄了以往簡單否定學生錯誤的做法，轉而將其視為寶貴的教學資源與成長契機。任務一中引導學生通過正視錯誤、分析錯誤、反思錯誤，理解了“不是什么”和“為什么不是”，并轉換角度尋找新的解決之道，幫助學生建立正確的錯誤觀與成長觀。這種評價方式的轉型不僅減輕了學生的心理負擔，更激發(fā)了他們的探索欲望與創(chuàng)新精神。這種關注過程、激勵成長的評價方式正是2022年版課標所倡導的，也是未來教學評價改革的重要方向。

參考文獻：

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［7］ 郜舒竹，呂港麗. 面積測量中值得重視的“知一求二”［J］. 教學月刊·小學版（數(shù)學），2022（10）：4-8.

［8］ 郜舒竹，李娟. 平行四邊形的面積：從否認到確認［J］. 教學月刊·小學版（數(shù)學），2022（12）：4-8，17.

［9］郜舒竹，羅玉曉. 面積測量與計算中的“眼光”［J］. 教學月刊·小學版（數(shù)學），2022（11）：4-8，62.

（1.北京市北京小學豐臺萬年花城分校

2.首都師范大學初等教育學院）