采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

羅茂羲, 鐘祖勛, 羅 奕

(重慶大學(xué) 建筑城規(guī)學(xué)院, 重慶 400044)

天然光是取之不盡、用之不竭的綠色能源，被廣泛引入人類的活動(dòng)場所，用于發(fā)電、取暖，也為人類創(chuàng)造生活、學(xué)習(xí)、工作的光環(huán)境。長期以來，世界各國為了更好地利用天然光，根據(jù)各地域的光氣候特點(diǎn)，結(jié)合國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展及民族的生活習(xí)慣，研究制訂了適合國情的天然采光設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范或指南）。例如，國際照明委員會(huì)（CIE）1967年根據(jù)澳大利亞“采光計(jì)算國際建議”修訂的計(jì)算方法，中國的《工業(yè)企業(yè)建筑采光設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》（TJ 33—79），前蘇聯(lián)的達(dá)尼留克圖表法，美國的光能量法（利用系數(shù)法）等。這些不同的采光設(shè)計(jì)計(jì)算方法，體現(xiàn)了天然采光設(shè)計(jì)和計(jì)算的多樣性。科學(xué)家根據(jù)自己的研究成果，為天然光的利用作出了巨大貢獻(xiàn)，但卻不易比較，計(jì)算難度較大。

縱觀各種方法，人工照明的利用系數(shù)法相對比較容易實(shí)施。如果把采光口視為在“臨界照度”時(shí)的一個(gè)燈具，就可以尋求一種同樣的計(jì)算方法完成設(shè)計(jì)計(jì)算工作。為人類創(chuàng)造的都是同一個(gè)光環(huán)境，在滿足人眼需求的感覺量前提下，僅僅是光能量的多少和光譜組成的差異。

人工光源在一天中很穩(wěn)定，但天然光不同。早上和中午，室外照度相差極大，陰天和晴天的同一時(shí)刻室外照度亦相差很大。天然光，在一天中是一個(gè)不穩(wěn)定的光源，故設(shè)定采光場的光環(huán)境剛好滿足人的視覺工作需要，則稱此時(shí)無遮擋天穹散射光水平照度為“臨界照度”。“臨界照度”的設(shè)定因各國國情和地域的光氣候不同而異，為研究方便，設(shè)定“臨界照度”為1×104lx。

“臨界照度”下，在不同結(jié)構(gòu)、不同材料、不同外界光源的作用下，同一個(gè)采光口會(huì)有多個(gè)光強(qiáng)體形態(tài)存在，都可以用數(shù)學(xué)公式表述。人工燈具的光強(qiáng)度（光強(qiáng)體）也可以用數(shù)學(xué)模型表示，因此，可以用同樣的方法（區(qū)域光效法）計(jì)算照度。

1 采光口

根據(jù)功能的要求，以及地域和緯度的差異，可設(shè)置不同形狀的采光口。由于建筑物圍護(hù)結(jié)構(gòu)的限制和采光的特殊要求，常用的采光口分為三大類：1）豎向采光口。矩形采光口、等邊三角形采光口、圓形采光口；2）水平采光口（屋頂頃角小的采光口）。矩形采光口、圓形采光口；3）復(fù)合型采光口?？v向和橫向天窗、鋸齒形天窗、井式天窗。

2 采光口外亮度源

采光口是采光空間收集天然光的通道，其收集的光能來自窗外的發(fā)光體和反光體。凡是給采光口輸送光能的有光物體都是采光口的光源。對采光口而言，被天然光照亮的大地、近物和遠(yuǎn)山，都是采光口的光源。采光口外不同的區(qū)域和亮度的不同，造成采光口內(nèi)側(cè)光分布的差異和采光效果的差異。

2.1 天穹亮度分布

地球大氣層被太陽光照射，就變成了一個(gè)有光的球殼。對地球上處于白天的所有區(qū)域而言，這個(gè)亮殼是隨太陽位置不同而變化的。只有在全云天時(shí)，即天空被10級云覆蓋時(shí)，天空亮度分布才是相對穩(wěn)定的，近似于蒙·斯本塞（Moon·Spencer）提出的全云天天空亮度分布式，即：

也可用式（1）表示。

式中，Lγ為高度角γ的天空亮度值，亮度單位cd/cm2或cd/m2。

因此，在全云天時(shí)，根據(jù)立體角投影定律，在“臨界照度”為10 000 lx時(shí)，天頂亮度LZ為

設(shè)定“臨界照度”E0=10 000 lx時(shí)，全云天天空亮度分布見式（2）。

若是等亮度天空，則天穹亮度Lc= 3 183.1 cd/m2。

2.2 地穹亮度分布

水平采光口，絕大部分的入射光來自天空。對于豎向采光口，除了天空的入射光外，還有窗外的地穹反射光。地穹反射光的強(qiáng)弱有兩個(gè)主要因素：一是天穹的亮度；二是地物的反光能力，草地、黃土、綠地大不相同。地物亮度場是由眾多物體表面反射光構(gòu)成的綜合效果，將部分反射光通過采光口投入采光空間內(nèi)，對采光有貢獻(xiàn)，類似于一個(gè)天穹，這里簡稱地穹，與天穹對應(yīng)，是高度角γ=0°的水平面，即分界面。

2.2.1 地穹反光系數(shù)

2.2.2 地面照度計(jì)算式

采光口外地面上各點(diǎn)，受設(shè)窗建筑物自身的遮擋，在同一時(shí)刻所接收的天然光各不相同，即各點(diǎn)的照度不同，如圖1所示。沿采光口的x軸垂直面方向，在地面上設(shè)點(diǎn)1～n，n點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。從采光口坐標(biāo)原點(diǎn)o，至各點(diǎn)的俯角γ，依次為

在亮度為Lγ的天空中，在天穹球面取一微元dS，見圖1（ b），則有在xoy坐標(biāo)面上的投影

因此，微元dS以球心o點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的立體角

根據(jù)天然采光的立體角投影定律，天穹亮度Lγ、微元dS對地面xoy上建立的水平照度

式（3）的積分域

2.2.3 采光口外地面照度

見圖1（a），窗外地面各點(diǎn)的照度，受設(shè)窗建筑物自身的擋光所影響，在同一時(shí)刻，都比無遮擋的水平照度低。窗外各點(diǎn)的俯角γ，也是各點(diǎn)至坐標(biāo)原點(diǎn)o的仰角，則各點(diǎn)的垂直遮擋γ和水平遮擋α如表1所示。

將式（1）Lγ代入式（3）則有各點(diǎn)照度值Ei

2.2.4 地穹亮度分布

室外地穹表面按均勻擴(kuò)散面處理，則地面照度和亮度關(guān)系為

表1 各點(diǎn)的垂直遮擋和水平遮擋

式（4）中的地面綜合反射系數(shù)ρd，根據(jù)地域室雪外的具體狀態(tài)取相應(yīng)值。將上面1～n點(diǎn)的窗外各點(diǎn)照度值代入式（4），則有室外地面各點(diǎn)的亮度：

圖2為一近似橢圓曲線段，在離采光口較遠(yuǎn)的扇形地穹亮度分布可用式（5）表示。

式（5）中Ld適用范圍是窗前地穹扇形區(qū)域。

ρd是地穹的綜合反射系數(shù)，根據(jù)地域環(huán)境設(shè)定和代入。還有衍生亮度源：遠(yuǎn)山亮度Lh和近物亮度Lh。

Lh在全云天天空下的垂直面照度見圖3，有式（7）存在。

式中： “－”號(hào)表示照度矢量指向y軸負(fù)向，4 092.6 lx是無遮擋的垂直面照度值。

3 結(jié)構(gòu)厚度對采光口采光影響

建筑物護(hù)圍結(jié)構(gòu)的厚度d對任何采光口的采光都有影響，尤其是窗面小的采光口。d所影響的區(qū)域，是計(jì)算點(diǎn)M在窗平面上的投影，落在窗面外時(shí)，特別是M點(diǎn)接近窗平面區(qū)域時(shí)，尤為嚴(yán)重，照度（光強(qiáng)度）值為0。

3.1 墻的厚度對豎向采光口的采光影響

墻的厚度就是豎向采光口的厚度d。采光口的d尺寸對采光影響大，特別是當(dāng)計(jì)算點(diǎn)M的正投影點(diǎn)落在窗洞外的區(qū)域時(shí)，從M點(diǎn)見到的窗洞面積，由于窗框的遮擋而縮小，則M點(diǎn)的照度值（光強(qiáng)值）比理論值小。在豎向窗中，OM靠近yoz坐標(biāo)平面時(shí)，當(dāng)M點(diǎn)處不能直視窗外光源時(shí)，則M方向的照度為零，當(dāng)然光強(qiáng)度也為零，見圖4。當(dāng)M點(diǎn)在yoz坐標(biāo)平面上的投影點(diǎn)在窗框外時(shí)，由于d的存在，采光面會(huì)出現(xiàn) Δy和Δz陰影區(qū)。對測點(diǎn)M而言，這是被窗框遮擋的采光面積。在計(jì)算M點(diǎn)的照度時(shí)，應(yīng)減掉陰影區(qū)的面積，實(shí)際上是減光源投射到M點(diǎn)的光能，這個(gè)陰影區(qū)因M點(diǎn)位置改變而變。故需要尋找陰影區(qū)與α0、β0、γ0的關(guān)系，即尋求M點(diǎn)與陰影間的數(shù)學(xué)表述式。

M點(diǎn)是采光口內(nèi)側(cè)半球面上的測點(diǎn)，M在yoz坐標(biāo)面上的投影O'，r是坐標(biāo)原點(diǎn)o至M測點(diǎn)的距離，取r=10～100 m。

被d遮擋的面積

采光口的有效面積

r＞＞b、c、d（窗口尺寸），當(dāng)r＞4b，r＞4c時(shí)，采光口可按點(diǎn)光源對待?；蛘?，采光口的有效面積用下式表示：

上式S有雙重含意：1）隨測定M的位置不同而變化；2）轉(zhuǎn)換為采光口光強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型的修正系數(shù)K。

豎向矩形采光口：

豎向三角形采光口：

豎向圓形采光口：

三式中，α0、β0、γ0是計(jì)算（測試）點(diǎn)M的OM至x、y、z坐標(biāo)正向間的夾角，（ °）；

r是OM的長度，m；

b、c、d、h、R是采光口的結(jié)構(gòu)尺寸，m。

3.2 屋頂厚度對水平采光口的采光影響

屋頂厚度設(shè)定為d。與豎向采光口類似，d的存在，對窗的采光同樣有很大的影響。當(dāng)測點(diǎn)M的投影點(diǎn)落到水平采光口平面外的區(qū)域時(shí)，從M點(diǎn)見到的窗洞面積，因窗框遮擋而縮小，即M測點(diǎn)靠近水平采光口坐標(biāo)平面時(shí)，球面上的M點(diǎn)受光為零。見圖5，陰影區(qū)是M點(diǎn)在坐標(biāo)位置時(shí)，窗面被窗框遮擋的區(qū)域。在計(jì)算水平采光口光強(qiáng)度時(shí)，消去陰影對M點(diǎn)形成的立體角，即抹掉陰影區(qū)被遮擋的入射光，使采光口在OM方向有更精準(zhǔn)的光強(qiáng)度。

陰影的面積，與M點(diǎn)的位置密切相關(guān)，設(shè)定r為10～100 m。

被窗框遮擋的陰影面積

水平采光口的有效面積

同理，有水平采光口光強(qiáng)度修正系數(shù)K。

矩形水平采光口光強(qiáng)度修正系數(shù)

水平圓形采光口光強(qiáng)度修正系數(shù)

修正系數(shù)K的作用是削去采光口內(nèi)半球面上各點(diǎn)M因采光口結(jié)構(gòu)厚度d的存在而減少的光能。

3.3 采光口透光結(jié)構(gòu)對采光的影響

采光口透光材料可以有多種選擇，各種不同的透光材料，透光系數(shù)各不相同，而且透光材料的光線分布范圍也不同。如圖6所示，(a)、(b)、(c)、(d)分別為無色透明平板玻璃、磨砂玻璃、半透明玻璃、乳白玻璃（均勻擴(kuò)散透光材料）。入射角相同的幾束光，照射不同的透光材料，在透光側(cè)不但I(xiàn)0不等值，而且I0與法線的夾角也不等，夾角縮小，光的分布范圍擴(kuò)大，直至均勻擴(kuò)散。因此，用不同的透光材料，室內(nèi)采光效果也不同，通過窗口觀看室外景物亦大不相同。

I0＜Iα，I0與透光材料的擴(kuò)散能力和透光系數(shù)有關(guān)，α≥α｀，材料的擴(kuò)散能越大，α｀越小。從定向透射到均勻擴(kuò)散，α≥α｀之間構(gòu)成有序的規(guī)律。

定向透射：

若光束Iα投射到O點(diǎn)的光能為F，則在均勻擴(kuò)散透光材料的透光面（透過的光τF在半球面均勻分布）有I0存在：

按“朗伯余弦定律”，可以表述透光面的光分布

采用均勻擴(kuò)散透光材料的采光口，只需要應(yīng)用式（3）立體角定律求水平采光口照度，應(yīng)用式（7）立體角投影定律求豎向采光口窗面的照度，然后再用式（13）繪制采光口內(nèi)側(cè)的光強(qiáng)體圖，式（13）中：

S為采光口的有效面積，m2。

主要研究無色透明的平板玻璃結(jié)構(gòu)的采光窗，采光口的透光結(jié)構(gòu)對窗的采光效果影響很大，木格結(jié)構(gòu)、金屬結(jié)構(gòu)的透光效果不同。根據(jù)相關(guān)資料估算，窗結(jié)構(gòu)透光系數(shù)，豎向窗τw=0.4～0.6，水平窗τw=0.25～0.4。大致可以表示窗的采光能力。

研究窗內(nèi)側(cè)的光分布數(shù)學(xué)模型，τw待定。數(shù)學(xué)式所描述的光強(qiáng)體模型，是指室外“臨界照度”為1×104lx時(shí)的特定條件下，窗內(nèi)側(cè)的光分布狀態(tài)。無色透明的平板玻璃反光系數(shù)很低，ρw=0.10。

只研究采光口光源為天穹光和地穹光的情況，不計(jì)Ln、Lh衍生光源的作用。

4 采光口外光源作用區(qū)

窗外有地面和天空，以xoy坐標(biāo)面為界面，分別稱為地穹和天穹，如圖7 所示。地穹因天穹發(fā)光而有光，是一衍生光源。地穹區(qū)、天穹區(qū)的亮度分布，見式（5）Ld和式（1）Lγ。

在豎窗中，天穹光作用區(qū)在窗內(nèi)側(cè)的下半球區(qū)域，地穹光作用的是上半球區(qū)域，當(dāng)然I1＞I2。在水平窗中，地穹光的作用不大，主要是天穹光，光的作用區(qū)在天窗的內(nèi)側(cè)半球面。當(dāng)然，斜屋頂上的天窗又當(dāng)別論。

5 光源、采光口、照度、光強(qiáng)度

光源L的光能F，是通過采光口到達(dá)被照點(diǎn)的，所以在觀察點(diǎn)M處可以看到采光口外的光源，而且在窗口內(nèi)側(cè)半球區(qū)域內(nèi)，都可以看到光源的存在。以天穹為例，采光口內(nèi)側(cè)窗洞替代了天穹的位置，把天穹全云天亮度變化印在采光口窗面上，為研究窗洞的光分布提供了方便。地穹亮度的光源，亦可如此處理。

照度因采光口和亮度源L的存在而存在，如圖8所示。

面光源對被照點(diǎn)M處鑄造的照度，依據(jù)立體角投影定律來確定：

點(diǎn)光源在I方向垂面上的M點(diǎn)鑄造的照度值

因此，對被照面而言，入射光能的方向不同，所獲得光源光能的量也有區(qū)別。

為獲得采光口面光源，有如人工照明燈具一樣的光強(qiáng)體，把窗內(nèi)側(cè)半球面計(jì)算（測試）照度E的距離r增大，使r大于采光口尺寸4倍以上。則該窗口可按點(diǎn)光源對待。取r=10～100 m。根據(jù)上兩式，則有采光口坐標(biāo)源點(diǎn)O至測點(diǎn)M方向的光強(qiáng)度，按式（15）計(jì)定

因此，把面光源在OM方向M點(diǎn)的照度值，轉(zhuǎn)變?yōu)镺M方向的光強(qiáng)度值。這樣窗戶的光強(qiáng)體存在和繪制就有了依據(jù)。

6 采光口光強(qiáng)度積分原式

6.1 豎向采光口光強(qiáng)度積分原式

天然光透過豎向采光口投入被照場內(nèi)，在采光口內(nèi)側(cè)半球面方向構(gòu)成一光強(qiáng)體。該光強(qiáng)體的形狀、大小，與天穹亮度和亮度分布，與其他亮度源的分布，與采光口的有效透光系數(shù)及光學(xué)性質(zhì)有關(guān)。

如圖9所示，設(shè)x、y、z坐標(biāo)原點(diǎn)O與采光口的形心重合。采光口的光強(qiáng)度始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，命計(jì)算點(diǎn)M在采光口內(nèi)側(cè)方向，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為球心，r為半徑的球面上。則在采光口外各亮度源的作用下，在采光口透光面OM方向上，有光強(qiáng)度矢量dIM存在。

如圖9，設(shè)OM的光強(qiáng)度dIM矢量與坐標(biāo)x、y、z正向間的夾角依次為α0、β0、γ0，則有

已知O'點(diǎn)是M點(diǎn)（空間點(diǎn)）在yoz坐標(biāo)平面上的投影點(diǎn)，W是O'U與SF的交點(diǎn)，如圖9所示，則有軸MU⊥z，MW⊥SF。把計(jì)算點(diǎn)M設(shè)在以O(shè)為圓心，r為半徑的球面上，OM=r。

則根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)有dS在SM方向的投影參數(shù)，見圖9。

dS在M點(diǎn)的立體角dΩ，在OM方向的投影參數(shù)

天穹亮度源Lγ(dS)的sinγ參數(shù)

地穹亮度源參數(shù)

以上，以α0、β0、γ0標(biāo)定M點(diǎn)（即OM）在窗內(nèi)側(cè)半球面上的空間位置。以α0、βx表示M點(diǎn)的空間位置。βx是yoz坐標(biāo)平面內(nèi)，與oy正向間的夾角，區(qū)間0→2π。因此，用βx和α0表示IM的方向。βx值見圖9。βx值是豎向采光口計(jì)算光能量的必要參數(shù)。

式（16）至（20）中：

γ是亮度源dS的高度角，（ °），天穹地穹

α0、β0、γ0是OM矢量與坐標(biāo)x、y、z正向間的夾角，（ °）；

βx是OO｀矢量在yoz平面，反時(shí)針轉(zhuǎn)與y軸正向間的夾角，（ °）。

矢量SM（即dIs）在OM(即dIM)方向上的投影（分矢量）

為求OM方向M點(diǎn)的照度（光強(qiáng)度），需借用立體角投影定律，見圖9，即把位于采光口上的dS微元，與天穹地穹對M點(diǎn)構(gòu)成的立體角dΩ連成一體，即LdΩ，根據(jù)立體角投影定律，首先使dS斜面（投影）轉(zhuǎn)為垂直于SM的垂面，見（16）式，再比SM2，即獲dS對M為頂點(diǎn)的立體角

SM方向M點(diǎn)的照度dES=LdΩcosθ，此時(shí)cosθ=1，則

代入（21）式，有dES在OM方向的分量

在式（8）至式（10）中，表示M點(diǎn)在該位置時(shí)，因結(jié)構(gòu)厚度d的存在，豎窗采光面被遮擋后剩下的有效采光面積S，轉(zhuǎn)換為修正系數(shù)K，代入上式中，并考慮采光口透光結(jié)構(gòu)的透光效率τW。同時(shí)約定采光口的最大尺寸，小于OM（窗內(nèi)側(cè)半球面半徑）的1/4時(shí)，根據(jù)式（15）和（21）,該窗面光源（采光口）近似點(diǎn)光源。查式（15），則有豎向采光口在OM方向，把上式dE值轉(zhuǎn)換為光強(qiáng)度值。故有豎向采光口光強(qiáng)度積分原式

也可以從另一途徑尋求OM方向的光強(qiáng)度IM。

LdS是一漫射光源，在SM方向的半球面內(nèi)，釋放的光能為

dF在SM方向有矢量

將dI0代入式（21），在OM方向的光強(qiáng)度分量

故有豎向采光口光強(qiáng)度積分原式

在式（22）中：

b、c、d為窗結(jié)構(gòu)尺寸，m；

τW是采光口透光結(jié)構(gòu)透光系數(shù)，τW=0.4～0.6；

IM是OM方向的光強(qiáng)度，cd；

r是采光口內(nèi)側(cè)半球面半徑，m；

E是半球面上M點(diǎn)的照度，lx；

L是高度角為γ處的采光口外亮度源dS的亮度，cd/m2，L可以是常數(shù)或函數(shù)；

α0、β0、γ0依次是OM與坐標(biāo)系O-x、y、z軸正向間的夾角，（ °）；

K是光強(qiáng)度修正系數(shù)，是由M點(diǎn)對應(yīng)的豎向采光口有效窗面積轉(zhuǎn)換而來，是隨M點(diǎn)游動(dòng)的變量。

6.2 水平采光口光強(qiáng)度積分原式

水平采光口的亮度源，主要是天穹L采光口亮度微元dS（dxdy），球面計(jì)算點(diǎn)M。三點(diǎn)在同一直線時(shí)，亮度源L的光能通過dS在SM方向，有一光強(qiáng)度矢量dIS。dIS在OM方向有相對應(yīng)的光強(qiáng)度分量dIm。則采光口在OM的總光強(qiáng)度Im可求。

如圖10所示，OM方向矢量與坐標(biāo)O-x、y、z軸正向間的夾角，依次為α0、β0、γ0，并有下列等式存在。OM在xoy平面上投影OO'。OO'從x軸正向始，在xoy平面內(nèi)，反時(shí)針繞z軸轉(zhuǎn)，有αz角存在，范圍0～2π。γ0和αz表示OM的空間坐標(biāo)。

在圖10中，O｀是M在xoy采光口平面上的投影點(diǎn)，故有SF⊥Ox，SF⊥O'U，SO'⊥O'M，O'M⊥O'U，SW//y，O'U//x ，SW⊥MW。

根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)有dS在SM方向的投影參數(shù)，見圖10。

dS對M點(diǎn)的立體角dΩ，在OM方向的投影參數(shù)

亮度源參數(shù)

地穹亮度源參數(shù)

式（23）～式（26）中：γ為亮度源dS的高度角，（ °）；α0、β0、γ0是OM矢量與坐標(biāo)O-x、y、z軸正向間的夾角，（ °）；αz值見圖10。αz角在x軸正向xoy坐標(biāo)平面內(nèi)，反時(shí)針繞z軸旋轉(zhuǎn)，范圍0～2π。αz值是水平采光口光能量計(jì)算的必要參數(shù)。

矢量dIS（SM）在OM（dIM）方向上的分矢量

與豎向采光口類似，有水平采光口在OM方向的光強(qiáng)度IM積分原式

式中（29）：τW為窗口透光結(jié)構(gòu)透光系數(shù)，τW=0.25～0.4；a、b、d為窗結(jié)構(gòu)尺寸，m；IM為窗口在OM方向的光強(qiáng)度，cd；r為窗內(nèi)側(cè)半球面半徑，m；E為窗內(nèi)側(cè)半球面上M點(diǎn)的照度，lx；L為高度角γ的采光口外亮度源dS的亮度，cd/m2，L可以是常數(shù)或函數(shù)；α0、β0、γ0為光強(qiáng)度IM矢量與坐標(biāo)O-x、y、z系軸正向間的夾角，（ °）；K是光強(qiáng)度修正系數(shù)，由M點(diǎn)對應(yīng)的水平采光口有效窗面積轉(zhuǎn)換而來，是隨M點(diǎn)游動(dòng)的變量。

7 豎向采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

7.1 豎向矩形類采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

在研究采光口的配光時(shí)，設(shè)定測點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離（半球面半徑）r≥10 m。此時(shí)，若窗口尺寸b、c、d小于r的1/4，M點(diǎn)的照度（光強(qiáng)度）誤差較小，窗口面光源可以按點(diǎn)光源對待；若窗口尺寸較大，則根據(jù)窗結(jié)構(gòu)分解為多個(gè)采光口計(jì)算。以下是戶外亮度源作用下，豎向矩形類采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型。

只有天穹光、地穹光作用下的豎向矩形類采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型。將“臨界照度”時(shí)的天穹亮度Lγ、地穹亮度分布Ld、墻厚d的影響，以及采光口的相關(guān)參數(shù)代入（22）原式。見圖11，豎向矩形類采光口內(nèi)側(cè)光分布，由兩部分合成，即天然光Lγ作用曲線I1，地穹光Ld作用曲線I2。

將積分域D、τw、式（8）K值等相關(guān)參數(shù)代入（22）原式，則有豎向矩形采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

完成（30）式積分后，再代入α0，β0，γ0各參數(shù)。

則可計(jì)算和繪制此豎向矩形類采光口光強(qiáng)體圖。

7.2 豎向等腰三角形類采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

三角形采光口大小，可以按點(diǎn)光源處理，見圖12。若只有天穹光和地穹光作用，其內(nèi)側(cè)光分布與圖11類似。豎向等腰三角形類采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型有

將以上豎向等腰三角形積分域及K值等相關(guān)參數(shù)代入式（30），替換矩形參數(shù)，或代入（22）原式，則有豎向等腰三角形類采光口在天穹光Lγ和地穹光Ld作用下的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型。

7.3 豎向圓形類采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

豎向圓形類采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型，與矩形類采光口的模型，僅僅是積分域和K不同，所以把圓形類采光口的相關(guān)參數(shù)代入式（30），替換矩形采光口的參數(shù)即可，并代入式（10）d相關(guān)的光強(qiáng)度修正系數(shù)K，也可將各參數(shù)代入（22）原式。

豎向圓形類采光口見圖13，當(dāng)體量可以按點(diǎn)光源處理時(shí)，在天穹光Lγ和地穹光Ld的作用下，其內(nèi)側(cè)光分布與圖11相似。

豎向圓形類采光口（見圖13），其邊界條件：

將圓形類采光口積分域和式（10）的K，代入式（30），替換豎向矩形類采光口的相關(guān)參數(shù)，則豎向圓形類采光口在天穹光Lγ和地穹光Ld的作用下，則有豎向圓形類采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型，也可將相關(guān)參數(shù)代入式（22）獲得結(jié)果。

8 水平采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

8.1 水平矩形類采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

研究水平采光口的配光見圖14，設(shè)定測點(diǎn)M至坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離r≥10 m，使窗口尺寸a、b、d小于r的1/4，則M點(diǎn)的照度（光強(qiáng)度）誤差較小，窗口可按點(diǎn)光源對待，則有式（15）的關(guān)系存在。當(dāng)采光口的縱向尺寸或橫向尺寸很大時(shí)，可以將其分成多個(gè)窗口計(jì)算。

水平采光口，窗外主要光源是天穹光Lγ，但也可能出現(xiàn)擋光的插入光源。以下研究水平矩形類采光口的光強(qiáng)體模型。只有天穹光作用下的水平矩形類采光口內(nèi)側(cè)光分布，如圖14所示。

對水平窗口而言，Lγ是繞z軸對稱分布的。將式（11）d有關(guān)的光強(qiáng)度修正系數(shù)K，式（25）sinγ代入式（1），窗口的邊界參數(shù)a、b、d全部代入式（29），則有水平矩形類采光口，在10 000 lx“臨界照度”時(shí)的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

完成上式積分后，再代入α0、β0、γ0各參量

則可計(jì)算和繪制此類水平矩形類采光口的光強(qiáng)體圖。

8.2 水平圓形類采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

水平圓形類采光口，這里只記天穹光Lγ的作用，與水平矩形類采光口的不同點(diǎn)是積分區(qū)域有別，當(dāng)然配光也有區(qū)別，與圖15相似。

將式（12）d相關(guān)的光強(qiáng)度修正系數(shù)K、邊界參數(shù)代入式（33），替換矩形類采光口的參數(shù)，則有水平圓形類采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型，也可將相關(guān)參數(shù)代入式（29）獲得結(jié)果。

8.3 水平采光口與屋面傾角

在工業(yè)廠房中，平屋面較少，在單層廠房中，因排雨雪的需求，常常設(shè)置傾斜α角的屋面。在亮度均勻（Lc）的天穹下，對采光口的配光沒有大的影響。如圖16所示，Ia=Ib，采光場的采光量差不多，但在采光口的光強(qiáng)體方位有差異時(shí)，Ia是z坐標(biāo)采光口的光強(qiáng)體，Ib是z'坐標(biāo)采光口的光強(qiáng)體，可能有較大的誤差。

在Lγ全云天天穹下，Ia＞Ib，因?yàn)镮a采光口z坐標(biāo)系正對天頂位置，天頂最亮，為4 092.6 cd/m2，Ib采光口z'坐標(biāo)系正對的是γ－α的天空，此處天穹亮度小于天頂亮度，當(dāng)α=30°、γ=60°時(shí)，天穹亮度為

所以，Ia＞Ib，采光場獲得的采光量要少些，此處光強(qiáng)體的大小和方位也有差異。如改用z｀坐標(biāo)系積分，采光口光強(qiáng)體的大小和方位都可以解決，但對計(jì)算照度（采光系數(shù)）的精準(zhǔn)度有影響。為此，可轉(zhuǎn)動(dòng)天穹來解決問題，如圖17，水平采光口是對準(zhǔn)天頂?shù)?，現(xiàn)在把γ=60°變成水平采光口的天頂，而代替α=30°的斜屋面采光口，如I40和I50是30°的坡屋面，則用Lα代替Lγ后進(jìn)行積分。

9 復(fù)合型采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

9.1 A型復(fù)合采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型（縱向、橫向天窗）

這種采光口，通常在工業(yè)建筑的廠房中使用，窗洞設(shè)在屋頂上，沿車間軸向的縱向或橫向布置，是設(shè)在屋頂上的豎向矩形類采光口。高度為2.4 m以上，長度不限，與廠房的跨度、高度有關(guān)。

圖18復(fù)合采光口有兩種，圖18(a)是縱向天窗，沿廠房屋頂軸向設(shè)置，常見的是三跨一天窗，若四跨則兩天窗，此時(shí)天窗的采光功能會(huì)相互影響；圖18(b)是橫向天窗，在同一跨廠房屋頂，沿廠房軸向橫向設(shè)置，采光效果必然相互影響。下面分別討論兩種A型復(fù)合采光口的采光效果。

9.1.1 A型縱向復(fù)合采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

三跨一窗是A型縱向復(fù)合采光口最簡單的一種布置，是一設(shè)置在屋頂上的豎向矩形采光口，其特點(diǎn)是高度有限、長度較大，如圖18(a)所示。在計(jì)算這種采光口的采光量時(shí)，為滿足點(diǎn)光源的條件，r＞4b、r＞4c，把其分割為多個(gè)連續(xù)的豎向矩形采光口，或者加大計(jì)算（測試）距離（使M在半徑r更大的球面上），即取r＞10 m，設(shè)法使面光源接近點(diǎn)光源的條件。

設(shè)天窗結(jié)構(gòu)高H=3.0 m，長度不限，把這一長度的豎向矩形窗分成多個(gè)c×b=2.4 m×2.4 m的窗段，取其中一個(gè)窗段進(jìn)行研究。天窗內(nèi)表面對采光的貢獻(xiàn)小，不計(jì)其影響，窗的d尺寸小，不計(jì)其影響，無窗外遮擋，即無Ld、Lh、Ln的光射入，故只計(jì)天穹光Lγ的作用。

將天穹亮度參數(shù)sinγ代入“臨界照度”時(shí)的天穹亮度分布式（2），再將式（1）代入豎向采光口光強(qiáng)度積分原式（22），并不計(jì)d的影響，則有A型縱向復(fù)合采光口光強(qiáng)度數(shù)學(xué)式

縱向天窗有相對的兩排窗面，所以同一個(gè)窗段有兩個(gè)I60一樣的光強(qiáng)體，采光量加倍。

完成式（37）積分后，再代入α0、β0、γ0各參量：

則可計(jì)算和繪制A型縱向復(fù)合采光口一個(gè)窗段的光強(qiáng)體圖。

9.1.2 A型橫向復(fù)合采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

A型橫向復(fù)合采光口，如圖18(b)所示。以窗結(jié)構(gòu)高3.0 m，窗高2.4 m，窗結(jié)構(gòu)長25 m，窗長24 m為例。廠房屋頂設(shè)計(jì)成高低相間的多段結(jié)構(gòu)，在高低兩段的結(jié)合處設(shè)豎向矩形窗。圖19為該復(fù)合采光口的側(cè)視圖和水平投影。采光效果見圖19(a)，天然光來自2條通路：天穹光通過采光口注入；天穹光→屋頂（B區(qū)）反射→天棚（A區(qū)）反射→室內(nèi)。

1）采光口的第一組天然光

采光口通過采光口采集天穹光能，由于采光口的水平方向較長，只能分成多個(gè)窗段計(jì)算，b×c=2.4 m×2.4 m為一個(gè)窗段，和縱向復(fù)合采光口處理方式相同。將sinγ代入“臨界照度”時(shí)的天穹亮度分布式（1），再將式（1）代入式（22），若不計(jì)采光口相互擋光影響，也不計(jì)d的影響，則有A型橫向復(fù)合采光口第一組光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型。

式37（a）與式（36）相同，同是b×c=2.4 m×2.4 m的豎向矩形窗段。橫向窗同樣有兩個(gè)窗面，所以在同一個(gè)窗段有2個(gè)I61光強(qiáng)體，采光量加倍。雙排窗共10個(gè)I61光強(qiáng)體。

在式（36）和（37）中，垂直方向0～γ，水平方向α1～α2區(qū)域內(nèi)的光能，從另一側(cè)的窗洞射出，削弱了室內(nèi)采光量。地面和屋頂?shù)姆垂猓M(jìn)入窗內(nèi)空間的光可以抵消一些損失。

2）采光口的第二組天然光

此組天然光是A區(qū)天棚的反射光，天穹Lγ照明B區(qū)房頂，B區(qū)屋頂亮度再照射A區(qū)天棚，A區(qū)天棚的散射光，再進(jìn)入采光空間，這一組光能不多，但還是對室內(nèi)采光有貢獻(xiàn)，見圖19(a）。

設(shè)定窗尺寸，窗高2.4 m，長24 m，窗結(jié)構(gòu)高3.0 m，屋頂天棚長12 m，寬約24 m。在這些條件下，先求房頂（B區(qū)段）亮度L，再求天棚（A區(qū)段）亮度Lp，得到天棚（A區(qū)段）的散射光光強(qiáng)度I62。屋頂?shù)牧炼群吞炫锏牧炼榷际遣痪鶆虻模捎闷骄炼惹蠼频拇鸢浮?/p>

將Lγ代入E，求B區(qū)屋頂?shù)乃秸斩葹? 170 lx，取屋頂（B區(qū)）反射系數(shù)ρ=0.25，代入式（4），則屋頂?shù)钠骄炼葹?11.3 cd/m2。查式（22），約定豎窗的透光系數(shù)τw=0.5，根據(jù)下式：

A天棚的平均照度為58.5 lx，約定A天棚的反射系數(shù)ρ=0.5，則A天棚的平均亮度

把A區(qū)天棚12 m×24 m，當(dāng)成亮度為9.3 cd/m2的等亮度發(fā)光天棚，或者當(dāng)成等亮度天穹下的水平采光口，此時(shí)d=H，τw=1，Lp=9.3 cd/m2（r=50 m），將矩形水平采光口的積分域代入式（29），則有A區(qū)天棚下的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

9.2 B型復(fù)合采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型（等腰三角形鋸齒形天窗）

B型復(fù)合采光口，是設(shè)在屋頂上的豎向三角形類采光口的變異形。B型三角形類復(fù)合采光口的豎向受光面可以同廠房軸向，也可以橫廠房軸向布置。如圖20(a)所示，采光流程見圖20(b)。Lp難尋，數(shù)學(xué)模型略。

9.3 C型復(fù)合采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型（井式天窗）

這種天窗井口受光，井壁透光（有擋雨板），井底擋光（積水有反光作用），形如柱體、圓形、方形均可，見圖21(a)。其采光效率極差，主要功能是散熱、排煙、排塵。

C型復(fù)合采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型，是由一屋頂厚度為d的水平天窗光強(qiáng)體減去筒長為H的水平天窗光強(qiáng)體之差。當(dāng)然其采光口面積相同，見圖21(b)。

9.3.1 方柱形C型復(fù)合采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

方柱形C型復(fù)合采光口（井式天窗）的光強(qiáng)度，可以用兩個(gè)采光口厚度不同（d、H）的矩形水平采光口光強(qiáng)度的差來表示。d是屋頂厚度，H是窗井的高度?？捎脙蓚€(gè)采光口的光強(qiáng)度修正系數(shù)差值合成一個(gè)光強(qiáng)度修正系數(shù)，對此采光口的光強(qiáng)度修正。根據(jù)式（11），有

將K和D域代入式（33）I40，則有方柱形C型復(fù)合采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

9.3.2 圓柱形C型復(fù)合采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

將K和積分域D代入式（34）I50，則有圓柱形C型復(fù)合采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型：

以上討論了3大類型、9個(gè)采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型。其他造型的采光口，可將相關(guān)參數(shù)代入相應(yīng)的光強(qiáng)體積分原式，即可獲得該 造型采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型。同一個(gè)采光口，因窗外光源的變化，會(huì)有形狀、大小不同的光強(qiáng)體，若窗口尺寸改變時(shí)，又會(huì)有形狀相同、大小不同的光強(qiáng)體。

上述研究只考慮天穹光和地穹光作用時(shí)的采光口配光，若加入插隊(duì)光源Ln、Lh的作用，同一個(gè)采光口，會(huì)衍生出更多的光強(qiáng)體，數(shù)學(xué)模型將變得十分復(fù)雜。

若在采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)式中，采用等亮度Lc=3 183.1 cd/m2，則數(shù)學(xué)式將簡化許多。

10 應(yīng)用（采光計(jì)算）

采光口的配光和燈具配光類似，兩者僅僅是光源有別。采光口的光源是全云天天穹散射光和衍生的地穹光，以及此兩者間的插隊(duì)光源Ln、Lh，而燈具是人工光源。采光口和燈具，同樣有一個(gè)光強(qiáng)體，因此，人工照明和天然采光是可以用同一方法進(jìn)行計(jì)算的。

10.1 光場

以一個(gè)工廠車間為例，根據(jù)需要設(shè)有多個(gè)天窗和側(cè)窗，房間的采光效果與采光口和室內(nèi)環(huán)境有關(guān)，房間內(nèi)表面的反光系數(shù)大，則反射光對工作面的照度貢獻(xiàn)大，室內(nèi)工作面的照度均勻度高，立面照度亦高，則采光效果佳，反之則差。采光空間，如圖22所示，以ABCDA工作面為界，分成采光區(qū)、地板區(qū)。任何一個(gè)采光口內(nèi)側(cè)光能分成兩部分：一部分在O-ABCDA錐角內(nèi)，用f2表示，直接投到工作面上，并在工作面的網(wǎng)點(diǎn)1、2……n處，創(chuàng)造了參差不齊的直射光照度E1；另一部分f1，投到采光區(qū)的垟面和天棚上，進(jìn)入空間漫反射光流程，此時(shí)一部分光能滲入工作面，提高了工作面的照度。直射光f2，除在工作面網(wǎng)點(diǎn)上創(chuàng)建直射光照度E1外，在地板區(qū)經(jīng)漫反射流程，滲出的光能進(jìn)入采光區(qū)，進(jìn)行與f1相同的漫反射光流程，一部分滲出的光能落在工作面上，與f1的滲出光共同創(chuàng)造了工作面散射光平均照度E2。

無論是采光區(qū)，還是地板區(qū)，都存在區(qū)域空腔內(nèi)的漫反射過程，簡稱光流程，才能形成投到工作面上的照度光。兩個(gè)區(qū)域的入射光和輸出光有一相對比例，這一比例用區(qū)域光效率η1、η2表示。η的大小與采光空間內(nèi)表面的反射系數(shù)緊密相關(guān)。

10.2 采光口內(nèi)光能分割

采光口內(nèi)側(cè)光能都表現(xiàn)在采光口的光強(qiáng)體中，光強(qiáng)體由該采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)式表示。光強(qiáng)體積分原式（22）和式（29）IM，是采光口在OM方向與O-x、y、z坐標(biāo)軸正向之間夾角α0、β0、γ0標(biāo)定的光強(qiáng)度。在各個(gè)采光口的實(shí)例中，光強(qiáng)體數(shù)學(xué)式和光強(qiáng)體中光強(qiáng)度I的方位，由I矢量與坐標(biāo)系O-x、y、z坐標(biāo)軸正向之的夾角標(biāo)定。

為計(jì)算采光口光強(qiáng)體包裝的光能量，把I的方位改為兩個(gè)參數(shù)表示。豎向采光口光強(qiáng)度I，如圖23(a)所示，用α0和βx角約定，βx從y軸正向逆時(shí)針0～2π繞x軸旋轉(zhuǎn)。水平采光口的光強(qiáng)度I如圖23(b)所示，用γ0和αz角約定，αz從x軸正向逆時(shí)針0～2π繞`z軸旋轉(zhuǎn)。

采光口光強(qiáng)體圈定的光能量f，可以通過球帶系數(shù)法積分求解，則有豎向采光口

如圖22所示，整個(gè)采光空間以ABCDA工作面分成上下兩個(gè)部分，上部稱采光區(qū)，下部稱地板區(qū)。房間轉(zhuǎn)角數(shù)≥3。一個(gè)采光空間，根據(jù)需要可設(shè)置多個(gè)水平采光口Ⅰ和多個(gè)豎向采光口Ⅱ，或稱天窗和側(cè)窗。這些采光口的坐標(biāo)原點(diǎn)O，都可以與工作面的轉(zhuǎn)角點(diǎn)作一連線，對每個(gè)采光口而言，這些連線圍成了一個(gè)立體角

在圖22中，采光空間設(shè)有兩類采光口Ⅰ、Ⅱ。每個(gè)采光口的光能分成兩個(gè)部分：一部分f2直達(dá)工作面ABCDA，其他部分f1，落在采光區(qū)的垟面和天棚上，再經(jīng)過垟和天棚的散射，才有一部分到達(dá)工作面。

圖24是圖22中水平采光口Ⅰ的f2積分域，是O-ABCDA錐角在以r為半徑，在－z方向半球面上截割的球缺。該區(qū)域?yàn)棣?1→π。這球缺對應(yīng)采光口Ⅰ的光強(qiáng)體有相應(yīng)的區(qū)域。因此，對此區(qū)域，用球帶系數(shù)法積分，即可獲得Ⅰ采光口投向工作面ABCDA的直射光

則有Ⅰ采光口投到采光區(qū)的垟面和天棚面的光能

把采光空間所有采光口的光能f全部收集起來，則有采光口向采光空間提供的光能總量

采光口向工作面提供直接光的光能總量F2，也是采光口投向地板區(qū)域的光能總量

采光口投向采光區(qū)的垟面和天棚的光能總量

10.3 區(qū)域光效率

采光空間所受光能為F（lm），不可能全部落到工作面上。光能F分成兩部分，一部分F1留在采光區(qū)進(jìn)行第一次漫反射，一部分光落在工作面，到達(dá)地板區(qū)的光又在地板區(qū)進(jìn)行一次漫反射，有少量光能返回采光區(qū)，完成一次光流程，F(xiàn)1返回采光區(qū)的光再重復(fù)前一光流程。若F1經(jīng)過兩區(qū)間多次漫射光流程，從采光區(qū)到工作面（地板區(qū)）的光能總流量為F1'，則采光空間對F1有光效率η1存在。散射光流程見圖25。

另一部分光能F2直接投到工作面和地板區(qū)，F(xiàn)2首先在地板區(qū)進(jìn)行F1一樣的光流程，滲出一部分光進(jìn)入采光區(qū)，這一部分光重復(fù)F1的光流程，產(chǎn)生落到工作面的有用光。若F2經(jīng)過多次光流程，產(chǎn)生落到工作面的光能總量為F2｀，則采光空間對F2有光效率η2存在。

在采光空間存在下列光環(huán)境時(shí)：采光區(qū)——門、窗、垟面、天棚的平均反光系數(shù)為ρ1，面積為S1；地板區(qū)——門、垟面、地板的平均反光系數(shù)為ρ2，面積為S2；工作面（ABCDA）面積為S，透光系數(shù)為τ=1，則正向（采光區(qū)→地板區(qū)）工作面平均透光系數(shù)

負(fù)向（地板區(qū)→采光區(qū)）工作面平均透光系數(shù)

F1、F2在工作面兩邊的區(qū)域（采光區(qū)、地板區(qū)）來回游動(dòng)時(shí)受區(qū)域平均反射系數(shù)的驅(qū)使，完成n次散射光流程。由此可計(jì)算出正向穿越工作面的光通量，則采光空間促成F1、F2的工作面照度光能的光效率η1、η2可求。

1）流程：F1→采光區(qū)→工作面（地板區(qū)）。

第一輪回：F1在采光區(qū)進(jìn)行n次漫射光流程，溢出正向光能（采光區(qū)→地板區(qū)）。

則在采光空間中的F1，在采光區(qū)的第一輪回中溢出的正向光能為或F1η（1），所以有

2）F1n次輪回光流程溢出的正向光能總量。

首次2次 3次n次F1τρ12F ρ τ)Fτ ??ρ1 1 1 2 1 1 1( τ)Fτ ?1 3 1 1 1 ρ(1 τ)11 1 τn 1(1? n1 1

所以采光區(qū)F1溢出的光能總量約為

則采光空間對F1的光效率近似值

3）F2→地板區(qū)→采光區(qū)，在第一輪回漫反射光流程中，溢出的負(fù)向光能（n次）。

4）F2在地板區(qū)漫射，溢出的光投入采光區(qū)，重復(fù)F1的光流程。F2經(jīng)過n次輪回溢出的正向光能總量約為F2η(2)η1。

第1回 第2回 第3回 第n回F1η η（ η F n1 F?1 2 2 1 1 ）（）（1） η（η1 ）（）η（ η2 2 3 1 Fn 11）（2）

故采光空間促成F2的光效率近似值為

10.4 工作面照度

10.4.1 直射光照度

在工作面的坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)上，1～n，見圖22(b)，所有的點(diǎn)位，如第m點(diǎn)，所有的采光口Ⅰ、Ⅱ的坐標(biāo)原點(diǎn)O，都可以與點(diǎn)位m作一連線，則采光口在連線方向，對網(wǎng)點(diǎn)m有一光強(qiáng)度I存在。故此采光口對網(wǎng)點(diǎn)m有直射光照度

所有的采光口對網(wǎng)點(diǎn)1～n，有直射光照度

10.4.2 散射光能和工作面照度

采光口投入采光空間的總光能量F見式（42），F(xiàn)投到工件面的是直接光。投到采光區(qū)垟面和天棚的光能F1。F1和F2，經(jīng)過采光空間反復(fù)光煉后，光效率η1、η2見式（43）和（44），提供給工作面的光能為

因此，有工作面的散射光平均照度

式中，S為工作面面積，m2。

則有工作面的平均照度Ev，代表整個(gè)工作面的照度水平：

在工作面網(wǎng)點(diǎn)上的直射光照度，存在最大值和最小值emax、emin，則工作面上有最大照度和最小照度：

用區(qū)域光效法計(jì)算工作面的平均照度

Ev簡化式

式（47）中：Ev為工作面平均照度，lx；S為工作面面積，m2；F為采光空間的采光量，lm；F1為采光區(qū)的墻面、門、窗、天棚第一次接收到的采光量，lm ；F2為工作面接收的直接光，lm；ρ1τ1為采光區(qū)的門、窗、墻和天棚的平均反光系數(shù)ρ1，工作面正向平均透光系數(shù)τ1；ρ2τ2為地板區(qū)門、墻、地板的平均反光系數(shù)ρ2，工作面負(fù)向平均透光系數(shù)τ2。

10.5 采光系數(shù)和均勻度

工作面的照度與室外無遮擋水平照度的百分比，稱為采光系數(shù)。

在“臨界照度”為10 000 lx的環(huán)境下，采光系數(shù)可表示為

用工作面的最低照度比工作面的最高照度，表示工作面的采光均勻度（又是照度均勻度）。

均勻度V，表示在工作面上的照度或采光系數(shù)達(dá)到的質(zhì)量。V在0～1的區(qū)間，V值接近1為最佳。

采光口的配光和燈具的配光相似，每個(gè)燈具都有自身的光強(qiáng)體。人工照明的照度計(jì)算，也可以用上述采光計(jì)算方法計(jì)算，只要把燈具的配光曲線（光強(qiáng)體）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型表示即可。如此方法，不用查表，就可以完成人工照明的計(jì)算，采光、照明計(jì)算合二為一。

11 探索

11.1 其他亮度天空的采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型

選用蒙·斯本塞提出的全云天天空亮度分布的天空作為采光口的天然光源，且在“臨界照度”為104lx時(shí)，研究各種典型采光口的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)式。

天空亮度是不穩(wěn)定的，因時(shí)間、季節(jié)和云量的變化而不同，國際照明學(xué)會(huì)（CIE）認(rèn)可的有代表性的天空亮度為15種。

無論何種天空亮度分布，在E0=104lx時(shí)，只要這種天空亮度分布是連續(xù)函數(shù)，將相對應(yīng)的地穹亮度分布代入原式（22）和（29），就有該采光口在此天空下的光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型。

若用E0=104lx的等亮度天穹為亮度源，數(shù)學(xué)模型會(huì)簡化許多。

采光口光強(qiáng)體數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)式比較繁瑣，但可以用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)解決。如果繞過數(shù)學(xué)式求光強(qiáng)體，也是有可能的。例如，為了獲得某一形狀采光口，在某種天穹亮度分布和相應(yīng)的地穹亮度分布下的光強(qiáng)體，則模擬這種天穹在“臨界照度”時(shí)的天穹亮度分布和相應(yīng)的地穹亮度分布。將采光口置于該環(huán)境里，測試采光口內(nèi)側(cè)各個(gè)OM方向的“光強(qiáng)度值”，則獲得此采光口在該天穹下的光強(qiáng)體圖。這無疑是一條捷徑。

11.2 采光口光強(qiáng)體的意義

有了采光口內(nèi)半球面的光強(qiáng)度分布，則可求采光場內(nèi)工作面各網(wǎng)點(diǎn)的直射光照度Ei。Ei加散射光的平均照度則工作面各網(wǎng)點(diǎn)照度Ei有Emax、Emin，可以用計(jì)算機(jī)繪制工作面的照度（采光系數(shù)）波幅圖，這是當(dāng)前所有的采光設(shè)計(jì)都無法實(shí)現(xiàn)的。

采光計(jì)算和人工照明可用同一種計(jì)算方法，因?yàn)椴晒饪诤蜔艟叨加蓄愃频墓鈴?qiáng)度、光強(qiáng)體。

11.3 采光口的厚度d（圍護(hù)結(jié)構(gòu)）

在采光口內(nèi)半球面上，測點(diǎn)M的位置不同，所見到的采光口面積各異，是因采光口圍護(hù)結(jié)構(gòu)厚度d遮擋的影響，所以每個(gè)采光口每個(gè)M點(diǎn)都有一個(gè)修正系數(shù)K。K代表M點(diǎn)見到的有效窗面（天空），K是一個(gè)變量（因M位置不同而不同）。

12 結(jié)論

數(shù)學(xué)是人類文明的基石之一，用數(shù)學(xué)模型塑造采光口的光強(qiáng)體（光強(qiáng)度），是新的采光計(jì)算方法。以立體角投影定律為依托，探索了從亮度源L光能經(jīng)采光口至受光點(diǎn)照度E（C）的既簡單（光流程）又復(fù)雜（光強(qiáng)體數(shù)學(xué)式）的過程。