“設(shè)而不求”解題技巧在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略探究

摘 要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“先設(shè)后求”是較常使用的解題思路。但有時(shí)候按照先設(shè)后求的解題思路會(huì)使得題目解題過(guò)程變得復(fù)雜起來(lái)。因此，初中數(shù)學(xué)教師需要引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑，運(yùn)用“設(shè)而不求”的解題思路與方法簡(jiǎn)化解題的步驟，準(zhǔn)確求解題目。所以，文章將從“分?jǐn)?shù)比大小”“幾何問(wèn)題代數(shù)化”“方程代數(shù)求解”三個(gè)角度談一談“設(shè)而不求”解題技巧在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：設(shè)而不求;分?jǐn)?shù);幾何;解方程

一、 分?jǐn)?shù)比大小時(shí)“設(shè)而不求”

解題技巧需要教師在教學(xué)的過(guò)程中幫助學(xué)生不斷歸納、提煉，促使他們能夠在學(xué)習(xí)的過(guò)程中掌握解題技巧，提升一定的解題能力。在復(fù)雜分?jǐn)?shù)比大小的問(wèn)題中，學(xué)生往往會(huì)運(yùn)用正向思維，求解每個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，從而實(shí)現(xiàn)解答問(wèn)題的目的。這樣不僅會(huì)消耗學(xué)生大量的計(jì)算時(shí)間，還有計(jì)算出錯(cuò)的可能。因此，教師必須引導(dǎo)學(xué)生在題目中探究解題的技巧，運(yùn)用“設(shè)而不求”的解題方法對(duì)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較。

【例1】 比較368972764797與368975764804的大小。

解析：在這類復(fù)雜分?jǐn)?shù)比大小問(wèn)題的求解中，兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子及分母相差不大，如果運(yùn)用“先設(shè)后求”的解題思路，就會(huì)使得整個(gè)計(jì)算過(guò)程變得十分復(fù)雜。因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“設(shè)而不求”的解題技巧，先將其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母設(shè)為a與b，自然另一個(gè)分?jǐn)?shù)就會(huì)變?yōu)閍+常量b+常量的形式，這不僅簡(jiǎn)化了復(fù)雜的分?jǐn)?shù)，還建立了兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，從而為比較分?jǐn)?shù)之間的大小提供了實(shí)質(zhì)性的突破。在本例題的求解中，首先應(yīng)當(dāng)將分?jǐn)?shù)368972764797設(shè)為ab，因此368975764804=a+3b+7。通過(guò)計(jì)算可以得到：ab-（a+3）（b+7）=7a-3bb（b+7）。又因?yàn)?a-3b>0，b（b+7）>0。所以7a-3bb（b+7）>0，即ab-（a+3）（b+7）>0。因此可以得到結(jié)果：368972764797>368975764804。通過(guò)對(duì)例1的解析，能夠發(fā)現(xiàn)設(shè)而不求的解題技巧形成于特殊的解法中，如果運(yùn)用一般常用的解題方法無(wú)法將問(wèn)題的答案求解得出時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生想一想是否有特殊的解答方法能夠求解題目。這樣不僅能夠幫助學(xué)生培養(yǎng)發(fā)散的解題思維，還能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用解題技巧解題的能力。

二、 幾何問(wèn)題代數(shù)化時(shí)“設(shè)而不求”

幾何問(wèn)題代數(shù)化的意思就是將幾何問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)換的方式轉(zhuǎn)為代數(shù)問(wèn)題。其實(shí)質(zhì)就是將證明題目變成計(jì)算題目進(jìn)行求解。在一些復(fù)雜的幾何證明題中，如果僅僅依靠點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系很有可能會(huì)使證明過(guò)程變得煩瑣復(fù)雜。因此，初中數(shù)學(xué)教師需要將“設(shè)而不求”的解題思路運(yùn)用到幾何問(wèn)題的求解中，促使學(xué)生能夠知曉其解題原理，并學(xué)習(xí)掌握其運(yùn)用方法。

【例2】 假如在一條直線上依次存在四個(gè)點(diǎn)：A、B、C、D（如圖1所示）。請(qǐng)證明A、B、C、D之間存在關(guān)系：AD·BC+AB·CD=AC·BD。

解析：在該幾何問(wèn)題中，并沒(méi)有說(shuō)明A、B、C、D之間的關(guān)系，也沒(méi)有說(shuō)明線段與線段之間的關(guān)系。因此，如果學(xué)生依舊使用幾何證明的方法對(duì)該關(guān)系式進(jìn)行證明，就會(huì)無(wú)從下手。因此，教師需要培養(yǎng)學(xué)生“設(shè)而不求”的解題思想，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，如：先設(shè)線段AB=a，BC=b，CD=c。因此，點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系可以為：AD=a+b+c，AC=a+b，BD=b+c。所以，可以對(duì)AD·BC+AB·CD可以進(jìn)行算式計(jì)算，得到：AD·BC+AB·CD=（a+b+c）·b+a·c=ab+b2+bc+ac=b（a+b）+c（a+b）。又因?yàn)锳C·BD=（a+b）·（b+c）=ab+ac+b2+bc=b（a+b）+c（a+b），所以AD·BC+AB·CD=AC·BD得證。

【例3】 直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為1，周長(zhǎng)為6，求該三角形的面積？

解析：因?yàn)樾边吷系闹芯€長(zhǎng)為1，由直角三角形斜邊等于斜邊中線的2倍這一定理，可以知道所求直角三角形的斜邊為2，又因?yàn)樗笾苯侨切蔚闹荛L(zhǎng)為6，所以兩個(gè)直角邊的和為周長(zhǎng)減去斜邊的長(zhǎng)。設(shè)直角三角形的兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，則有a+b=4，a2+b2=4，聯(lián)立兩方程式：前者平方后減去后者，可以得到2ab=12，ab=6。再根據(jù)直角三角形的面積公式：S=12ab=12×6=3，可以求出所求直角三角形面積：3。學(xué)生在解決該類數(shù)學(xué)題型時(shí)，教師需要讓學(xué)生重視題目中兩直角邊之間的聯(lián)系，理清楚a+b，a2+b以及ab之間的關(guān)系，掌握它們之間的聯(lián)系規(guī)則，學(xué)生不必求出直角邊的實(shí)際值，利用“設(shè)而不求”的方式利于學(xué)生更好地掌握這一類題型的解題方式，提高解題效率。

通過(guò)例2，例3的解析可以明確在一些復(fù)雜的幾何證明題中，可以運(yùn)用設(shè)而不求的解題方法為幾何與代數(shù)之間搭建橋梁，從而降低問(wèn)題的思考坡度，使得計(jì)算成立從而證明關(guān)系成立。因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過(guò)反復(fù)練習(xí)鞏固“設(shè)而不求”解題技巧的運(yùn)用。

三、 方程或代數(shù)求解時(shí)“設(shè)而不求”

方程和代數(shù)式都是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占比較大的內(nèi)容，也是中考的重要考點(diǎn)。方程求解一般是相對(duì)簡(jiǎn)單的題型，但是也有一些較為特殊的方程需要采用特殊的方法才能夠解決。同樣的，代數(shù)式求值中包括整式、分式與根式，在一般情況下只需要按照代數(shù)式的運(yùn)算法則對(duì)其進(jìn)行直接運(yùn)算即可。但是，在特殊情況下，也需要運(yùn)用“設(shè)而不求”的方式進(jìn)行求解。

【例4】 請(qǐng)?jiān)囍蠼夥匠蘹-12+x+23=2x-1+3x+2。

解析：如果采用常規(guī)的方法，對(duì)方程進(jìn)行去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、化系數(shù)為1等過(guò)程，不僅需要進(jìn)行大量的計(jì)算，還有可能在某一步驟的計(jì)算時(shí)出現(xiàn)差錯(cuò)。所以，需要將這一具有特殊性的題目特殊化，運(yùn)用設(shè)而不求的方法對(duì)進(jìn)行求解：設(shè)x-12=a，x+23=b，即原方程=a+b=1a+1b。接著，再進(jìn)行去分母得：a2b+ab2=a+b，移項(xiàng)因式分解可以得到：（a+b）（ab-1）=0，a+b=0，ab=1。即x-12+x+23=0，x-12·x+23=1。通過(guò)設(shè)而不求的方法，將方程化繁為簡(jiǎn)從而將最終答案計(jì)算得出：x1=-15，x2=-1+332，x3=-1+332。

【例5】 已知a3=b5=c7，試著求解代數(shù)式3a-2b3c+2a的值。

解析：例4的求解中，運(yùn)用常規(guī)轉(zhuǎn)化的方法也能起到解決問(wèn)題的目的，但是其過(guò)程較為煩瑣復(fù)雜，并且，極其容易在計(jì)算的過(guò)程中出錯(cuò)。因此，可以采用設(shè)而不求的方法達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，使得題目能夠輕松解決。在本題的求解中，首先需要將已知的條件等于一個(gè)參數(shù)，即a3=b5=c7=k，接著，在對(duì)其進(jìn)行變形可得：a=3k，b=5k，c=7k，將這三部分分別代入代數(shù)式即可得到答案：3·3k-2·5k3·7k+2·3k=-k27k=127。

綜上所述，在解題技巧的探索過(guò)程中，初中數(shù)學(xué)教師不應(yīng)當(dāng)一味追求學(xué)生將問(wèn)題的正確答案求解出來(lái)。而是要讓學(xué)生在反復(fù)的題型練習(xí)的過(guò)程中，找到解題的方法，促使學(xué)生能夠在下一次遇見(jiàn)相同題型時(shí)，快速找到解題的思路并運(yùn)用相應(yīng)的解題技巧進(jìn)行解答。因此，在“分?jǐn)?shù)比大小”“幾何問(wèn)題代數(shù)化”“解方程換元”等題型中，教師必須深入貫徹“設(shè)而不求”解題技巧的運(yùn)用，幫助學(xué)生形成發(fā)散思維。

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作者簡(jiǎn)介：

曹志芳，廣東省深圳市，廣東省深圳市寶安區(qū)福永中學(xué)。