順“理”而為，感悟概念本質(zhì)
——以“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”為例

江蘇省宜興市陶城實(shí)驗(yàn)小學(xué) 陳 濤

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分。“理”，既是指學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)概念的理解，還包括數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，即數(shù)學(xué)概念本身的原理。教學(xué)中，我們要對(duì)概念追本溯源，在合理把握概念本質(zhì)、精準(zhǔn)研讀教材的基礎(chǔ)上，本著為學(xué)生理解而教的原則，有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的掌握。下面就以三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”為例，談?wù)勎业淖龇ê拖敕ā?/p>

一、生“理”：依托豐富的表象初步揭示含義

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：教師教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)。教師教的過(guò)程既要從數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)出發(fā)，又要尊重學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。學(xué)生學(xué)習(xí)新知的過(guò)程要從已有的經(jīng)驗(yàn)處萌芽，要解決好“從哪里來(lái)”的問(wèn)題。

“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”是在三年級(jí)第一學(xué)期學(xué)生認(rèn)識(shí)了一個(gè)物體的幾分之一和幾分之幾的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。從一個(gè)物體的幾分之一到一個(gè)整體的幾分之一，這是分?jǐn)?shù)含義的一次主要拓展。在課始，就要抓住學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)從“一個(gè)物體的”開(kāi)始復(fù)習(xí)舊知，然后把6個(gè)桃裝進(jìn)一個(gè)盒子，打通“一個(gè)物體”和“一些物體”，把它們聯(lián)結(jié)起來(lái)，使學(xué)生初步感受“一些桃”可以看成“一個(gè)整體”。學(xué)生建立起這樣的認(rèn)識(shí)后，勢(shì)必解決了認(rèn)知障礙，學(xué)習(xí)例1 就水到渠成了。

通過(guò)創(chuàng)設(shè)有趣的童話情境，運(yùn)用觀察圖形、動(dòng)手操作等直觀教學(xué)，一方面激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣，另一方面通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的分析、概括和抽象，使學(xué)生初步對(duì)分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵有一定的認(rèn)識(shí)。

二、道“理”：依托規(guī)范的語(yǔ)言描述進(jìn)一步明晰思維

眾所周知，語(yǔ)言是思維的載體。理不說(shuō)不透，話不講不明。分?jǐn)?shù)意義模式化的表達(dá)方式便于教師在交流中發(fā)現(xiàn)學(xué)生是否關(guān)注到了平均分，是把什么看成了一個(gè)整體。通過(guò)學(xué)生發(fā)言完成糾錯(cuò)、補(bǔ)充、肯定的表達(dá)過(guò)程，實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)不斷完善個(gè)體思維的過(guò)程。

例如，在復(fù)習(xí)舊知環(huán)節(jié)，由于時(shí)間過(guò)得太久，很多學(xué)生對(duì)1/2的含義已經(jīng)不能夠準(zhǔn)確表達(dá)，從“把一個(gè)蛋糕平均分成2份”說(shuō)起，到總結(jié)歸納它們都是“把一個(gè)物體或者圖形平均分成2份，每份就是這個(gè)物體或者圖形的1/2”，至此，學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)的知識(shí)儲(chǔ)備已經(jīng)準(zhǔn)確釋放。

在教學(xué)例題時(shí)，教師明確指出：為了便于研究，在數(shù)學(xué)上，我們通常把一盒桃、一盤(pán)6個(gè)桃，像這樣的“一些桃”就看成是“一個(gè)整體”。例題學(xué)習(xí)之后，教師要注意留給學(xué)生充分的說(shuō)理時(shí)間和空間，有意識(shí)地規(guī)范學(xué)生表達(dá)：把6個(gè)桃看成一個(gè)整體，把一個(gè)整體平均分成2份，每份是這盤(pán)桃的1/2。隨后，教學(xué)“把4個(gè)桃平均分成2份”“把8個(gè)桃平均分成2份”，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的效果均可從動(dòng)口表達(dá)的過(guò)程中體現(xiàn)，便于教師調(diào)整教學(xué)思路，引導(dǎo)學(xué)生明細(xì)思維，從而讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

三、清“理”：依托反復(fù)比較分層感悟本質(zhì)

學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)是一個(gè)逐步完善、逐步明晰的過(guò)程。著名教育家烏申斯基曾說(shuō)過(guò)：比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，巧妙運(yùn)用對(duì)比的策略，可以讓沉潛的本質(zhì)浮出水面，利于弄清知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系，促進(jìn)理解、內(nèi)化。

比如，把4個(gè)桃、6個(gè)桃、8個(gè)桃平均分成2份的結(jié)果放在一起比較，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)到：1/2和要分的桃的總數(shù)沒(méi)有關(guān)系，只要把一個(gè)整體平均分成2份，每份就可以用1/2 來(lái)表示；比如通過(guò)1/2、1/3、1/6的比較，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到這三個(gè)分?jǐn)?shù)和桃的總數(shù)沒(méi)有關(guān)系，和每份桃的個(gè)數(shù)也沒(méi)有關(guān)系，只和要分的份數(shù)有關(guān)系。它們都表示其中的一份和總份數(shù)之間的關(guān)系；比如把12個(gè)桃平均分成2份、3份、4份、6份、12份，分的結(jié)果放在一起比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這里的幾分之一只和平均分的份數(shù)有關(guān)，強(qiáng)化了對(duì)分?jǐn)?shù)意義本質(zhì)的理解。在課堂中，通過(guò)數(shù)次不同角度的對(duì)比，層層遞進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生思維不斷進(jìn)階，思維走向深度。

四、推“理”：依托核心問(wèn)題，引發(fā)深度思考

按照史寧中教授的觀點(diǎn)，分?jǐn)?shù)有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)背景：一個(gè)是表達(dá)整體與等分的關(guān)系，一個(gè)是表達(dá)兩個(gè)數(shù)量之間整數(shù)的比例關(guān)系，也就是整比例關(guān)系。這節(jié)課涉及的實(shí)例都是表達(dá)整體與等分的關(guān)系，都是把學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)從以往的“部分—整體”關(guān)系引向如今的“子集—集合”關(guān)系。

“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”核心問(wèn)題就是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：把一個(gè)整體平均分成幾份，每份就是這個(gè)整體的幾分之一，這個(gè)幾分之一只和平均分的份數(shù)有關(guān)系，和要分的總數(shù)，每份的個(gè)數(shù)沒(méi)有關(guān)系。通過(guò)教學(xué)，要注重學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，著重引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的提升，即從以往的“部分—整體”模式向“子集—集合”模式過(guò)渡，這個(gè)過(guò)程也是激發(fā)學(xué)生深度思考，提升思維能力的過(guò)程。為此，教師精心安排了兩次推“理”活動(dòng)。通過(guò)第1個(gè)層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)（平均分6個(gè)桃、4個(gè)桃、8個(gè)桃、一筐桃），學(xué)生要能回答：為什么要分的桃的總數(shù)不同，分的結(jié)果卻都可以用來(lái)1/2表示？并且追問(wèn)：每一份的個(gè)數(shù)相同嗎？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這里的1/2 是表示其中的一份和整體總份數(shù)的關(guān)系。再通過(guò)第2個(gè)層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)（同樣是6個(gè)桃，平均分成2份、3份、6份的情況），學(xué)生要能夠回答：為什么要分的桃的總數(shù)相同，分的結(jié)果卻可以用不同的分?jǐn)?shù)來(lái)表示？并且追問(wèn)：每一份的個(gè)數(shù)相同嗎？這樣學(xué)生在富有挑戰(zhàn)的問(wèn)題中積極思考，有利于對(duì)分?jǐn)?shù)的含義，建立起更深層次的理解。

五、梳“理”：依托知識(shí)聯(lián)系，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)有很強(qiáng)的系統(tǒng)性和邏輯關(guān)聯(lián)。課標(biāo)明確指出：要注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系。教師有責(zé)任將數(shù)學(xué)概念進(jìn)行整理、歸類(lèi)，并厘清概念之間的關(guān)系，從而使概念縱橫貫通，助力學(xué)生理解。

從“一個(gè)物體”到“一個(gè)整體”再到五年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義認(rèn)識(shí)單位“1”，可以說(shuō)，這節(jié)課的內(nèi)容在教材體系中處于承上啟下的位置，這和分?jǐn)?shù)的概念本質(zhì)與兒童對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的規(guī)律相符，這就是教材在編排上的“理”?；谶@個(gè)特點(diǎn)，教師可采取這樣的設(shè)計(jì)進(jìn)行梳理討論：在進(jìn)行全課小結(jié)的時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，屏幕呈現(xiàn)幾種把一個(gè)物體平均分的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同之處是把“一個(gè)物體”平均分；再出現(xiàn)幾種把一些物體平均分的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同之處。從“一個(gè)物體”到“一些物體（即一個(gè)整體）”，發(fā)現(xiàn)兩種平均分的共性都和“1”有關(guān)系，提出問(wèn)題：關(guān)于1又有什么數(shù)學(xué)秘密呢？提前為五年級(jí)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，同時(shí)使學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)意義”的編排有一個(gè)初步的感知。

綜上所述，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”時(shí)，我們要深刻、準(zhǔn)確讀懂教學(xué)內(nèi)容，既要“順”教材編排的“理”，也要“順”兒童認(rèn)知的“理”，通過(guò)充分調(diào)動(dòng)多種感官進(jìn)行抽象和概括，使學(xué)生深刻感悟概念本質(zhì)。