承壓水層降水引起的成層軟土一維固結(jié)解析解

羅智勇 歐子文 陳 緣 夏長(zhǎng)青

（1.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，成都610031；2.浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，杭州310058）

0 引 言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，城市建設(shè)對(duì)地下水資源的需求日益增大。過(guò)量抽取地下水會(huì)引起水位下降，對(duì)于低滲透性的軟土而言，水位下降后內(nèi)部超靜孔隙水壓力隨滲流而逐漸減小，有效應(yīng)力增加，導(dǎo)致土體的長(zhǎng)期固結(jié)沉降。

國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者［1-5］利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)或數(shù)值模擬研究了水位下降引起的地面沉降危害。駱冠勇等［6］從太沙基一維固結(jié)方程出發(fā)，推導(dǎo)了承壓水層抽水引起的固結(jié)解析解。Conte 等［7］推導(dǎo)了潛水層水位變化時(shí)弱透水層的一維固結(jié)解析解。謝康和等［8］推導(dǎo)了越流系統(tǒng)中弱透水層的一維固結(jié)解答，表明滲透力引起的有效應(yīng)力增加是其沉降變形的根本原因。黃大中［9］分別推導(dǎo)了潛水層和承壓水層水位下降引起的一維線性與非線性固結(jié)解析解。謝海瀾等［10］在含水層水位下降的一維固結(jié)中考慮了土層的非達(dá)西滲流，并得到了半解析解。吳浩等［11］利用簡(jiǎn)化的分段模型考慮了軟土的結(jié)構(gòu)性，得到了越流系統(tǒng)中雙層軟土地基的一維固結(jié)解析解。張瑋鵬等［12］利用分離變量法得到了有起始比降的飽和軟土大面積抽水引起的一維固結(jié)解析解。此外陶立為等［13］、Tseng CM［14］和劉加才等［15］還分別推導(dǎo)了考慮初始孔壓分布、土體自重應(yīng)力和黏彈性模型的水位下降引起的一維固結(jié)解析解。

以上對(duì)于水位下降引起的一維固結(jié)研究均在單層土或雙層土計(jì)算模型下，實(shí)際地基中軟土一般存在成層性，其多層土層間相對(duì)滲透性和壓縮性差異會(huì)對(duì)固結(jié)過(guò)程產(chǎn)生很大影響。

本文在成層軟土計(jì)算模型下，通過(guò)對(duì)一維固結(jié)控制方程進(jìn)行變量代換，由Duhamel 原理并與變荷載下成層軟土固結(jié)解析解［16］進(jìn)行類比，推導(dǎo)了承壓水層水位下降引起的一維固結(jié)解析解?；谒媒獯?，對(duì)三層軟土地基進(jìn)行計(jì)算分析，討論了不同水位下降速率、弱透水層和高壓縮性土層相對(duì)位置對(duì)固結(jié)過(guò)程中孔壓消散速率和地表沉降發(fā)展速率的影響。此外在與加載條件下的解析解對(duì)比中分析了水位下降與施加荷載的固結(jié)特性異同。

1 問(wèn)題描述

如圖1 所示，成層軟土底面透水，總厚度為H，第i層土的厚度、底面距離潛水層底的距離、豎向滲透系數(shù)和體積壓縮系數(shù)分別表示為hi，zi，kvi和mvi（i=1，2，…，n）。上部潛水層水位保持不變，當(dāng) 0＜t≤tc時(shí)下部承壓層水位線性下降，當(dāng)t＞tc后水位下降值恒定為hc，孔壓下降值為pc=γwhc。

圖1 承壓水層抽水Fig.1 Pumping from confined aquifer

2 控制方程與求解

由于成層軟土層上部潛水層水位保持不變，承壓水水位下降過(guò)程中軟土層總應(yīng)力不變，則控制方程為：

邊界條件：

初始條件：

層間連續(xù)條件：

由Duhamel原理知，方程（1）的解可表示為

邊界條件：

初始條件：

層間連續(xù)條件：

則方程（8）滿足一切求解條件的解為：

式中：

gmi（z）中的系數(shù)Ami和Bmi由下列遞推公式計(jì)算：

式中，Si為下列矩陣：

式中：

λm由如下超越方程確定，為其正根：

其中S1=[1 0]T，Sn+1為1×2階矩陣：

式中：

則方程（8）的解為

將式（23）代入方程（6）中可得超靜孔隙水壓力為

則任意時(shí)刻沉降的表達(dá)式為

土層頂面最終沉降量和平均固結(jié)度的表達(dá)式為

3 退化驗(yàn)證

將成層軟土中每層土的體積壓縮系數(shù)和滲透系數(shù)均取相同，進(jìn)行退化驗(yàn)證。在不同抽水速率（時(shí)間因子Tvc=cvtc/H2不同）下其固結(jié)度計(jì)算結(jié)果如圖2 所示，可以看出承壓水層抽水引發(fā)的成層軟土一維固結(jié)解析解可完全退化為相同抽水條件下單層軟土固結(jié)解析解［9］。

圖2 退化后的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of degraded calculation result

4 成層軟土固結(jié)性狀分析

以圖3 所示三層軟土為例分析承壓水層抽水速率和成層軟土的滲透性、壓縮性對(duì)固結(jié)性狀的影響。本算例取各土層厚度為h1=h2=h3=5 m。

4.1 水位下降速率對(duì)固結(jié)性狀的影響

如圖4 所示為水位下降速率對(duì)地表沉降速率的影響。隨著承壓水位的下降，沉降速率先快速增長(zhǎng)，tc時(shí)刻后承壓水水位恒定，地表沉降速率達(dá)到峰值轉(zhuǎn)而下降。當(dāng)tc從30 d 增長(zhǎng)到300 d，相應(yīng)的最大地表沉降速率由0.33 mm/d下降至0.13 mm/d。

圖3 三層軟土地基示意圖Fig.3 Three-layer aquitard diagram

圖4 tc對(duì)地表沉降速率的影響Fig.4 Effect of tc on ground settlement rate

圖5 為不同水位下降速率下分層沉降的增長(zhǎng)過(guò)程。主要壓縮層為底部的土層3，相比與上部土層其壓縮量大，沉降速率大。圖4 與圖5 中tc對(duì)固結(jié)度和沉降速率的影響主要由下部土層3 的沉降差異產(chǎn)生，水位下降速率對(duì)上部土層1和土層2的影響較小。

4.2 層間滲透性差異對(duì)固結(jié)性狀的影響

承壓水水位下降3 m，成層軟土內(nèi)部產(chǎn)生的超靜孔壓成線性分布，頂部為0 kPa，底部為30 kPa且隨滲流完全消散。如圖6所示為固結(jié)過(guò)程中100 d和1 000 d 兩個(gè)時(shí)刻軟土層內(nèi)部殘余超靜孔壓沿深度的分布，相對(duì)低滲透性的弱透水層內(nèi)部殘余超靜孔壓大。相對(duì)弱透水層位于成層軟土底部時(shí)（kv1=kv2=10kv3=10-6cm/s），總體孔壓消散相比其位于上、中部土層時(shí)稍為緩慢。

圖5 tc對(duì)分層沉降的影響Fig.5 Effect of tc on stratified settlement rate

圖6 殘余超靜孔壓沿深度分布Fig.6 Distribution of residual excess pore pressure with the depth

圖7 層間滲透性差異對(duì)分層沉降的影響Fig.7 Effect of interlayer permeability difference on stratified settlement

如圖8 所示為地表沉降發(fā)展規(guī)律。與圖6 孔壓消散規(guī)律相應(yīng)，在整體滲透性不變的情況下，固結(jié)接近同時(shí)完成。低滲透性的相對(duì)弱透水層位于底部土層3 時(shí)前期沉降發(fā)展速率慢，中后期沉降速率有所增長(zhǎng)；弱透水層位于頂部土層1對(duì)前期沉降增長(zhǎng)速率影響小，但減緩中期沉降發(fā)展速率顯著；相對(duì)弱透水層位于中部土層2 影響最小，其沉降發(fā)展速率較大，固結(jié)較早完成。

圖8 層間滲透性差異對(duì)地表沉降的影響Fig.8 Effect of interlayer permeability difference on ground settlement

4.3 層間壓縮性差異對(duì)固結(jié)性狀的影響

如圖9 所示為超靜孔壓沿土層深度分布，相對(duì)高壓縮性土層位于底部土層3 時(shí)（2mv1=2mv2=mv3）其總體孔壓消散速率較慢，殘余超靜孔壓大。頂部土層1 或中部土層2 為相對(duì)高壓縮性土層時(shí)其固結(jié)前期孔壓消散速率相近；其中頂部土層1壓縮性更高時(shí)，固結(jié)中后期的孔壓消散速率較快，固結(jié)較早完成。

圖9 殘余超靜孔壓沿深度分布Fig.9 Distribution of residual excess pore pressure with the depth

如圖10 所示，層間壓縮性差異對(duì)底部土層的影響較大。雖然圖9 中土層3 的相對(duì)高壓縮性會(huì)降低超靜孔壓消散速率，延長(zhǎng)固結(jié)完成時(shí)間，但是由于該層的總壓縮量大導(dǎo)致其沉降發(fā)展仍快于其余兩種條件。

圖10 層間壓縮性差異對(duì)分層沉降的影響Fig.10 Effect of interlayer compressibility difference on stratified settlement

如圖11 所示為層間壓縮性差異對(duì)地表沉降的影響。與圖10 中分層沉降規(guī)律相應(yīng)，當(dāng)相對(duì)高壓縮性土層位于底部時(shí)其地表沉降增長(zhǎng)速率大；根據(jù)孔壓分布規(guī)律，底部產(chǎn)生的超靜孔壓大，有效應(yīng)力增量大，底部土層3 的高壓縮性引起的最終沉降量大；其高壓縮性位于頂部與中部時(shí)前中期沉降發(fā)展相近，層間壓縮性差異體現(xiàn)在固結(jié)后期沉降發(fā)展趨勢(shì)中，頂部土層1 的壓縮性影響小于中部土層2。

圖11 層間壓縮性差異對(duì)地表沉降的影響Fig.11 Effect of interlayer compressibility difference on ground settlement

4.4 與加載條件對(duì)比分析

在相同的土層條件下對(duì)本文解與文獻(xiàn)［16］中的變荷載條件下的解析解進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖12所示。通過(guò)對(duì)比分析，承壓水層水位下降1 m 引起的最終壓縮量約為等同條件下地表施加5 kPa荷載，這一規(guī)律與文獻(xiàn)［13］中的單層弱透水層結(jié)論接近，但根據(jù)上述分析，當(dāng)?shù)撞客翆拥南鄬?duì)壓縮性更大時(shí)水位下降1 m 仍可能產(chǎn)生大于5 kPa 荷載引起的壓縮量。此外，水位下降引起的固結(jié)速率明顯小于直接施加上部荷載，固結(jié)完成時(shí)間更長(zhǎng)。

圖12 與加載條件下的沉降對(duì)比Fig.12 Comparison of settlement with loading conditions

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了承壓水層水位下降引起的上部飽和成層軟土一維固結(jié)解析解，并將其退化解與已有的單層軟土固結(jié)解析解的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了該解答的正確性。

通過(guò)對(duì)三層軟土地基算例進(jìn)行計(jì)算分析，分別討論了水位下降速率、層間滲透性和層間壓縮性差異對(duì)超靜孔壓、分層沉降和地表沉降隨時(shí)間發(fā)展的影響，此外與變荷載下成層地基的固結(jié)解析解作了對(duì)比，主要結(jié)論如下：

（1）承壓水的水位下降速率對(duì)前期固結(jié)沉降速率影響大，水位下降越快，最大地表沉降速率越大。

（2）相對(duì)低滲透性土層在成層軟土中的位置不同其固結(jié)性狀也不同。相對(duì)低滲透性土層位于成層土底部時(shí)孔壓消散速率降低；低滲透性土層位于頂部時(shí)降低中后期沉降發(fā)展速率；相對(duì)低滲透性土層位于中部時(shí)影響較小，沉降發(fā)展速率較大，固結(jié)較早完成。

（3）相對(duì)高壓縮性土層在成層軟土中的位置影響最終沉降量大小。分層沉降中底部土層為主要壓縮層，相對(duì)高壓縮性土層位于底部導(dǎo)致孔壓消散速率慢，固結(jié)時(shí)間長(zhǎng)，但其總壓縮量大，因此沉降增長(zhǎng)速率仍較快。相對(duì)高壓縮性土層位于成層土頂部時(shí)固結(jié)后期超靜孔壓消散速率快，固結(jié)較早完成。

（4）承壓水層水位下降1 m 引起的最終壓縮量約為等同條件下地表施加5 kPa荷載，在這一類比條件下承壓水水位下降引起的固結(jié)速率明顯小于直接施加上部荷載，固結(jié)完成時(shí)間更長(zhǎng)。