基于線性矩陣不等式的純時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)

翁發(fā)祿， 耿飛躍， 丁元春

(1.江西理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院， 贛州 341000； 2.江西理工大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院， 贛州 341000)

純時(shí)滯系統(tǒng)普遍存在于化工過程、金屬冶煉等場(chǎng)所[1-5]。例如，冶金加熱爐的傳熱、蒸汽鍋爐的加熱、化學(xué)反應(yīng)過程等均可描述成純時(shí)滯系統(tǒng)的形式。此外在燃煤鍋爐中對(duì)風(fēng)煤水的控制也存在純時(shí)滯現(xiàn)象。由于純時(shí)滯的作用，系統(tǒng)狀態(tài)無法第一時(shí)間響應(yīng)控制信號(hào)的改變，而是經(jīng)過一段時(shí)間后產(chǎn)生響應(yīng)。在系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)中，如果未恰當(dāng)考慮時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響，有可能造成控制性能下降，甚至閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。在過去的幾十年內(nèi)，已有學(xué)者對(duì)純時(shí)滯系統(tǒng)做了大量的研究。例如，夏百花等[6]對(duì)一階純時(shí)滯系統(tǒng)的PID(比例、積分、微分)控制和Smith預(yù)估補(bǔ)償控制進(jìn)行了分析與設(shè)計(jì)。劉尚標(biāo)[7]設(shè)計(jì)了一種倒數(shù)模型用于純時(shí)滯系統(tǒng)的控制。杜星瀚等[8]利用干擾觀測(cè)器對(duì)Smith補(bǔ)償控制的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)。Khusainov等[9]考慮了線性純時(shí)滯系統(tǒng)的相對(duì)可控性及鎮(zhèn)定問題，獲得了柯西問題的積分形式解。He等[10]研究了一種純時(shí)滯脈沖競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的衰減和穩(wěn)定性，并獲得了改進(jìn)的穩(wěn)定性條件。Liang等[11]介紹了多項(xiàng)式的分?jǐn)?shù)延遲矩陣余弦和正弦，給出了純時(shí)滯分?jǐn)?shù)線性系統(tǒng)柯西問題解的表示形式。雖然純時(shí)滯系統(tǒng)提出較早，但是大部分已有成果是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論，基于狀態(tài)空間的相關(guān)成果較少。由于狀態(tài)空間能夠清晰描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，方便處理多輸入多輸出系統(tǒng)，因此，進(jìn)一步獲得基于狀態(tài)空間描述的純時(shí)滯系統(tǒng)相關(guān)成果是必要的。

線性矩陣不等式(LMI)解決系統(tǒng)控制問題最早可追溯到一百多年以前[12]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展及內(nèi)點(diǎn)法求解的提出，LMI受到廣大科研人員的關(guān)注，同時(shí)，采用LMI解決系統(tǒng)控制問題也已成為研究熱點(diǎn)。例如，文獻(xiàn)[13]基于LMI討論了2D奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合問題。文獻(xiàn)[14]基于LMI研究了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主動(dòng)控制問題。毛凱等[15]在LMI中引入自由權(quán)矩陣實(shí)現(xiàn)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性分析。孫宜標(biāo)等[16]基于LMI實(shí)現(xiàn)了直線伺服系統(tǒng)跟蹤控制?；谠鰪VLMI，Ge等[17]討論了非線性柴油機(jī)系統(tǒng)的擴(kuò)展保成本控制。基于LMI技術(shù)，魏新江等[18]針對(duì)隨機(jī)多源干擾系統(tǒng)進(jìn)行了復(fù)合容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)。但是，純時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述缺乏無時(shí)滯項(xiàng)，進(jìn)而造成其基于LMI的相關(guān)理論成果極少。據(jù)所掌握文獻(xiàn)可知，基于LMI的純時(shí)滯系統(tǒng)控制問題研究仍舊不足。故此將主要基于LMI方法分析純時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并得到其穩(wěn)定性分析與控制器綜合的充分條件。考慮到參數(shù)不確定是實(shí)際系統(tǒng)必然遇到的問題[19-21]，相關(guān)研究成果將進(jìn)一步擴(kuò)展至不確定參數(shù)系統(tǒng)。

1 模型描述

考慮如下純時(shí)滯系統(tǒng):

(1)

式(1)中：x(t)∈Rn、A∈Rn×n和B∈Rn×m分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量、系統(tǒng)狀態(tài)矩陣及系統(tǒng)輸入矩陣；τ1為系統(tǒng)純時(shí)滯量；u(t)為系統(tǒng)控制輸入?？紤]到控制輸入量的計(jì)算與傳輸需要消耗一定的時(shí)間，在此，假定控制輸入信號(hào)的時(shí)滯量為τ2，可得狀態(tài)反饋控制器：

u(t)=Kx(t-τ2)

(2)

式(2)中：K為狀態(tài)反饋控制器增益。將控制器[式(2)]代入系統(tǒng)狀態(tài)[式(1)]可得其閉環(huán)系統(tǒng)：

(3)

考慮到有：

(4)

(5)

則閉環(huán)系統(tǒng)[式(3)]可進(jìn)一步描述為

(6)

引理1[22]對(duì)于任意對(duì)稱正定矩陣Π∈Rn×n，標(biāo)量r1及r2滿足r1

(7)

引理2[14]對(duì)于給定適當(dāng)維數(shù)矩陣Ω=ΩT、Υ及Λ，有Ω+ΥF(t)Λ+ΛTFT(t)ΥT<0，其中FT(t)F(t)≤I，當(dāng)且僅當(dāng)存在任意σ>0，使得Ω+σΥΥT+σ-1ΛTΛ<0。

2 穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)首先基于LMI推導(dǎo)出定理1用于純時(shí)滯系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)，然后在定理1的基礎(chǔ)上得到定理2用于純時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

(8)

式(8)中：

證明：選擇正能量函數(shù)：

V(t)=xT(t)Px(t)+

(9)

式(9)中：

對(duì)函數(shù)V(t)求導(dǎo)，可得：

(10)

由引理1，有

(11)

(12)

基于系統(tǒng)描述[式(6)]，可知

(13)

式(13)中：S為適當(dāng)維數(shù)的任意非奇異矩陣；β1、β2、β3為任意常數(shù)。綜合式(10)～式(13)，有

(14)

定理1給出了純時(shí)滯系統(tǒng)[式(1)]鎮(zhèn)定控制器存在的充分條件。在未找到線性矩陣不等式(8)可行解的情況下，可適當(dāng)調(diào)整參數(shù)β1、β2及β3的值實(shí)現(xiàn)在更大范圍內(nèi)搜尋不等式(8)的可行解，也就是說β1、β2及β3增加了不等式(8)可行解的取值范圍，降低了定理1的保守性。同時(shí)，如果令式(9)中的Q2=0，式(13)中的β3=0，K=0可以得到如下定理2用于判斷純時(shí)滯系統(tǒng)開環(huán)狀態(tài)下的穩(wěn)定性。

(15)

在參數(shù)β1、β2及β3給定的情況下，LMI[式(8)]及[式(15)]均為嚴(yán)格LMI，可以通過MATLAB的LMI工具箱直接求解，極大提高了定理應(yīng)用的便利性。

3 魯棒性分析

考慮如下不確定純時(shí)滯系統(tǒng):

(16)

式(16)中：x(t)、A、B及τ1的定義與系統(tǒng)(1)相同。ΔA、ΔB為不確定矩陣，且滿足：

[ΔAΔB]=MF(t)[N1N2]

(17)

式(17)中：M、N1及N2為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；F(t)∈Rk×s是未知時(shí)變參數(shù)矩陣，且滿足：

FT(t)F(t)≤I

(18)

基于定理1及定理2可得定理3及定理4保證系統(tǒng)[式(16)]的魯棒穩(wěn)定性。

(19)

式(19)中：

證明：將矩陣A替換成A+ΔA，不等式(8)可描述為

(20)

由引理2可知，不等式(20)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在σ>0，使得不等式(21)成立。

(21)

基于舒爾補(bǔ)引理可知，不等式(21)成立等價(jià)于不等式(19)成立。

定理4對(duì)于任意給定時(shí)滯τ1，存在適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣非奇異矩陣及任意常數(shù)β1、β2及σ>0使得線性矩陣不等式(22)成立，則純時(shí)滯系統(tǒng)[式(16)]開環(huán)狀態(tài)下是魯棒穩(wěn)定的。

(22)

定理4的證明與定理3的證明類似，在此省略。

4 實(shí)例仿真

例1考慮如下純時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

(23)

令β1=β2=1，求解定理2可知線性矩陣不等式(15)有解，且有

也就是說，該系統(tǒng)[式(23)]穩(wěn)定。現(xiàn)令初始條件滿足x(t)=[0.1 0.2]T,t∈[-1, 0]，經(jīng)計(jì)算機(jī)仿真可得系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線，如圖1所示，從圖1可知該系統(tǒng)狀態(tài)收斂，即定理2是有效的。

圖1 純時(shí)滯系統(tǒng)[式(23)]開環(huán)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 Open-loop state responses of the pure time-delay system (23)

例2考慮如下純時(shí)滯系統(tǒng)：

(24)

經(jīng)求解定理2可知線性矩陣不等式(15)無可行解，即該系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定(開環(huán)狀態(tài)響應(yīng)如圖2所示，初始條件同例題1)?，F(xiàn)令β1=β2=β3=1，求解定理1可知線性矩陣不等式(8)有解，且有

進(jìn)而可得純時(shí)滯系統(tǒng)[式(24)]鎮(zhèn)定控制器為

(25)

經(jīng)計(jì)算機(jī)仿真可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線(如圖3所示，初始條件同例題1)，從圖3可知純時(shí)滯系統(tǒng)[式(24)]在控制器[式(25)]的作用下穩(wěn)定，即定理1用于純時(shí)滯系統(tǒng)控制器的求解是有效的。

圖2 純時(shí)滯系統(tǒng)[式(24)]開環(huán)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 Open-loop state responses curves of the pure time-delay system (24)

圖3 控制器K1作用下，純時(shí)滯系統(tǒng)[式(24)]閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 State responses curves of the nominal pure time-delay system (24) controlled by K1

例3考慮純時(shí)滯系統(tǒng)[式(24)]存在如下不確定性M=[0.1 0]T，N1=[0.2 0.1]T，N2=[0.2]，F(xiàn)(t)=sin(2t)。令β1=β2=β3=1，求解定理3可知線性矩陣不等式(18)有解，且有

進(jìn)而可得純時(shí)滯系統(tǒng)[式(24)]存在參數(shù)不確定情況下的鎮(zhèn)定控制器

(26)

經(jīng)計(jì)算機(jī)仿真可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線(如圖4所示，初始條件同例題1)，從圖4可知不確定純時(shí)滯系統(tǒng)在控制器[式(26)]的作用下穩(wěn)定，即定理3用于不確定純時(shí)滯系統(tǒng)魯棒控制器的求解是有效的。

圖4 控制器K2作用下，參數(shù)不確定純時(shí)滯系統(tǒng)[式(24)]的狀態(tài)響應(yīng)Fig.4 State responses curves of the uncertain pure time-delay system [formula(24)] controlled by K2

例4考慮圖5所示水箱水位控制。h及S分別為水位的高度及水箱的橫截面積；進(jìn)水控制器及出水流量傳感器安裝在進(jìn)出水管的兩端[Qin(t)及Qout(t)分別為進(jìn)出水流量]；進(jìn)出水管的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1及L2，L1及L2分別對(duì)進(jìn)出水造成τ2及τ1的時(shí)滯量。出水口處于自由出水狀態(tài)，有Qout(t)=εh(t-τ1)，其中ε為常數(shù)。系統(tǒng)被控參數(shù)為水箱水位h，控制輸入為進(jìn)水流量Qin(t)=K3h(t)，K3為狀態(tài)反饋控制器增益。基于以上分析可得系統(tǒng)描述為

(27)

圖5 一階水箱水位控制系統(tǒng)Fig.5 Single-tank water control system

圖6 水箱系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.6 State responses curve of the single-tank water control system

在此，假定該系統(tǒng)有ε=0.1，S=1，τ1=0.1，τ2=0.15?，F(xiàn)令β1=β2=β3=1，求解定理1可知線性矩陣不等式(8)有解，且有K3=[-0.286 5]。經(jīng)計(jì)算機(jī)仿真可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線{如圖6 所示，初始條件：h(t)=1,t∈[-0.12, 0]}，從圖6可知水箱系統(tǒng)在控制器K3的作用下穩(wěn)定。

5 結(jié)論

基于LMI實(shí)現(xiàn)了純時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)。首先，考慮到控制信號(hào)計(jì)算與傳輸需要消耗時(shí)間，在系統(tǒng)控制通道中引入了時(shí)滯。然后，基于矩陣變換將系統(tǒng)模型描述成含分布時(shí)滯的形式。其次，基于Lyapunov系統(tǒng)穩(wěn)定理論及線性矩陣不等式技術(shù)，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。同時(shí)，相關(guān)成果擴(kuò)展至系統(tǒng)參數(shù)不確定性情形。最后，通過實(shí)例分析驗(yàn)證了相關(guān)定理的有效性。