基于Adomian分解法的分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析

雷騰飛， 賀金滿， 付海燕， 代文鵬

(1.齊魯理工學(xué)院機(jī)電工程工程學(xué)院， 濟(jì)南 250200； 2.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院， 南京 210016)

1695年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲給法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的信中提出了分?jǐn)?shù)階的相關(guān)概念[1]。1983年，美籍法國數(shù)學(xué)Mandelbrt[2]在研究海岸線復(fù)雜邊界時發(fā)現(xiàn)大自然中普遍存在分形的特點，分形理論的發(fā)展為分?jǐn)?shù)階得快速發(fā)展提供了支撐。從第一個混沌模型提出以后，混沌理論從動力學(xué)與時序兩個方向迅速發(fā)展。近幾年，根據(jù)整數(shù)階混沌系統(tǒng)提了大量的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)如分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[3-4]、分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)[5]、分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)[6]等[7-11]。

對于分?jǐn)?shù)階混沌動力學(xué)系統(tǒng)的研究主要集中于基本動力學(xué)分析與同步控制研究，如文獻(xiàn)[10]采用復(fù)頻域法(FDM)即采用拉氏變換的基本原理，將分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)近似轉(zhuǎn)化為高維(高階)整數(shù)階混沌系統(tǒng)，此類方法因拉式變化在轉(zhuǎn)化時，考慮誤差以及頻率的范圍，從而使得誤差較大，文獻(xiàn)[10]對分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了非線性動力學(xué)的基本分析，得出分?jǐn)?shù)階不同下系統(tǒng)的分叉圖與Lyapunov指數(shù)譜，并采用鏈?zhǔn)椒謹(jǐn)?shù)階模塊電路實現(xiàn)模系統(tǒng)的相圖，電路實現(xiàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果基本一致；Adomian(ADM)分解法，對非線性項進(jìn)行分解，同時通過MATLAB仿真對分解項進(jìn)行迭代仿真，文獻(xiàn)[11-12]分別采用ADM對分?jǐn)?shù)階Lü以及簡化的分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的動力學(xué)進(jìn)行了分析，也采用數(shù)字處理器(DSP)實現(xiàn)了ADM算法，為分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)應(yīng)用于圖像、語音或信號加密提供了新的思路；文獻(xiàn)[4]采用經(jīng)典的預(yù)估-矯正法對分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)進(jìn)行求解與同步控制，同時設(shè)計分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制電路，電路仿真結(jié)果驗證同步控制算的可實現(xiàn)性；上述文獻(xiàn)均是針對無時滯的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析與控制的相關(guān)研究，而未考慮實際工程系統(tǒng)中的時滯因素。如文獻(xiàn)[13]分析了時滯對于懸架系統(tǒng)的影響，并采用LQG-Pade逼近合拍對時滯因素進(jìn)行了改善；文獻(xiàn)[14]針對不確定非線性時滯大系統(tǒng)，提出了基于時滯代換的自適應(yīng)分散容錯控制。對于非線性系統(tǒng)，時滯項的加入，都增加系統(tǒng)復(fù)雜度，時滯系統(tǒng)可作為高維系統(tǒng)處理，而對于分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)系統(tǒng)的研究較少，特別是動力學(xué)行為的分析。如文獻(xiàn)[15]對分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)進(jìn)行了同步研究,并對分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)的混沌特性分析；文獻(xiàn)[16]分析了具有無窮平衡點分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制問題；文獻(xiàn)[11-12]實現(xiàn)了ADM算法，該方法因運(yùn)行速度快，使用資源少被廣泛應(yīng)用。

現(xiàn)以分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)為研究對象，采用ADM分解法對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計算與仿真，得出系統(tǒng)相圖，為了研究系統(tǒng)特性隨參數(shù)變化的規(guī)律，運(yùn)用MATLAB軟件繪制0.9階時滯Lü混沌系統(tǒng)的分岔圖、復(fù)雜度圖，以期該數(shù)值仿真結(jié)果為該系統(tǒng)應(yīng)用于多媒體加密中的參數(shù)調(diào)節(jié)奠定基礎(chǔ)[17]。

1 分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)

現(xiàn)在Lü混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)：

(1)

式(1)中：x、y、z為狀態(tài)變量；a、b、c為系統(tǒng)參數(shù)。

令系統(tǒng)的初始值為

(2)

則

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

當(dāng)ti≤mh時,

(9)

當(dāng)ti>mh時,

(10)

式中：t為時間；τ為延遲時間；[]為取整數(shù)。

從而，得出系統(tǒng)的解析解為

(11)

當(dāng)a=30,b=2.93,c=22.2，q=0.9,τ=0.01時，根據(jù)式(11)可得出系統(tǒng)的近似解，運(yùn)用MATLAB對其進(jìn)行數(shù)值仿真，得出式(1)的混沌吸引子如圖1所示。

2 分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)分岔圖與復(fù)雜度

為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)參數(shù)對分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)的影響，采用分岔圖與系統(tǒng)譜熵(SE)復(fù)雜度工具，對系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行研究。

2.1 參數(shù)q的變化

選取參數(shù)a=30,b=2.93,c=22.2，τ=0.01，改變q(q∈[0.65,1])，分?jǐn)?shù)階時滯Lü系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度如圖2所示。由圖2可知q∈[0.65,0.66]分?jǐn)?shù)階時滯Lü系統(tǒng)處于發(fā)散狀態(tài)，此時由于發(fā)散的原因，分岔圖無法取到最高點，故分岔圖在此區(qū)間出現(xiàn)了空白，此區(qū)域?qū)?yīng)的復(fù)雜度也對應(yīng)為最高點，無法獲得；q=0.81出現(xiàn)了周期窗口，此區(qū)間復(fù)雜度較低，數(shù)值為0.2，復(fù)雜度于分岔圖具有一致性；其他區(qū)域系統(tǒng)處于混沌態(tài)，系統(tǒng)復(fù)雜度對應(yīng)的數(shù)值較高，同時，還可以看出隨著系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階的增大，系統(tǒng)復(fù)雜度減少。特別在圖像加密或通信加密中，復(fù)雜度高的系統(tǒng)加密效果更好，故選擇分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)為最佳選擇。

圖1 系統(tǒng)的吸引子相圖Fig.1 Phase diagram of the system

圖2 q變化時系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度Fig.2 Bifurcation diagram and complexity of system with q changes

2.2 參數(shù)a的變化

圖3 a變化時系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度Fig.3 Bifurcation diagram and complexity of system with a changes

選取參數(shù)b=2.93,c=22.2，q=0.9，τ=0.01，改變參數(shù)a(a∈[20,50])，系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度如圖3(a)和圖3(b)所示。由圖3(a)和圖3(b)可知分?jǐn)?shù)階時滯Lü系統(tǒng)是標(biāo)準(zhǔn)下的倍周期(PDB)分岔的方式進(jìn)入混沌區(qū)域的。從分岔圖圖3(a)可以看出參數(shù)a∈[20,27.83]屬于周期狀態(tài)，此區(qū)間SE復(fù)雜度也較小，如圖3(b)所示。系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度句具有高度的一致性；a∈[27.84,47]系統(tǒng)屬于混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)的SE復(fù)雜度都處于0.7左右，相對較高。當(dāng)a∈(38,39]，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。

其他參數(shù)不變，改變參數(shù)τ=0.02，a∈[20,50]系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度如圖3(c)和圖3(d)所示。由圖3(c)和圖3(d)可知時滯下分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)是同樣是倍周期(PDB)分岔的方式走向混沌態(tài)的。a∈[20,29.3]屬于周期，從分岔圖中可以看到，當(dāng)然系統(tǒng)此時的SE復(fù)雜度比較??；a∈(29.3,42]系統(tǒng)屬于混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)的SE復(fù)雜度都處于0.7左右；a∈(38,39]時系統(tǒng)同樣屬于非混沌態(tài)，系統(tǒng)復(fù)雜度基本很低。

為了驗證以上的結(jié)論，給出τ=0.01下參數(shù)a變化下系統(tǒng)的相圖(如圖4所示)，和τ=0.02下參數(shù)a變化下系統(tǒng)的相圖(如圖5所示)。

圖4τ=0.01下a變化時系統(tǒng)的相圖Fig.4 Phase diagram of the system with τ=0.01when a changing

圖5 τ=0.02下a變化時系統(tǒng)的相圖Fig.5 Phase diagram of the system with τ=0.02 when a changing

2.3 參數(shù)b的變化

固定參數(shù)a=30,c=22.2，q=0.9，τ=0.01，b∈[0,4]系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度如圖6所示。b=0.1～0.2時屬于周期狀態(tài)，從分岔圖中可以看到，系統(tǒng)此時的SE復(fù)雜度接近0.4左右,在此點為鞍結(jié)點分岔；b∈[0.3,4]系統(tǒng)屬于混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)的SE復(fù)雜度都處于0.6～0.7，可以看出系統(tǒng)分岔圖與系統(tǒng)復(fù)雜度基本一致。對于參數(shù)b某些具體值下的系統(tǒng)的相圖如圖7所示。

圖6 b變化時系統(tǒng)的分岔圖復(fù)雜度Fig.6 Bifurcation diagram and complexity of system with b changes

圖7 b變化時系統(tǒng)的相圖Fig.7 Phase diagram of the system when b changing

圖8 c變化時系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度Fig.8 Bifurcation diagram and complexity of system with c changes

2.4 參數(shù)c的變化

固定參數(shù)a=30,b=2.93，q=0.9，τ=0.01，c∈[5,30]系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度如圖8所示。從c減小的方向看系統(tǒng)是通過倍周期分岔的方式進(jìn)入混沌的。c∈[24,30]屬于周期狀態(tài)，從分岔圖中可以看到，系統(tǒng)此時的SE復(fù)雜度處于0.1左右；c∈[10,23]系統(tǒng)屬于混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)的SE復(fù)雜度都處于0.6左右，可以看出系統(tǒng)分岔圖與系統(tǒng)復(fù)雜度基本一致。c∈[5,10)系統(tǒng)周期狀態(tài)，此時系統(tǒng)的SE復(fù)雜度只是表現(xiàn)出下降態(tài)，并不是特別小，可以看出復(fù)雜度具有一定局限性，更對于參數(shù)c某些具體值下系統(tǒng)的相圖，且與參數(shù)a變換時有相似之處。

3 結(jié)論

基于Adomian分解法,研究了分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)基于動力學(xué)特性。以Adomian分解法分析研究了系統(tǒng)吸引子、分岔圖、復(fù)雜度等數(shù)值仿真分析0.9階次時滯Lü系統(tǒng)的混振蕩特性。同時得出分?jǐn)?shù)階時滯系統(tǒng)，在一定范圍內(nèi)隨著分?jǐn)?shù)階的增大復(fù)雜度減少，從而進(jìn)一步驗證了研究分?jǐn)?shù)階復(fù)雜度的意義所在，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的概率大于整數(shù)階系統(tǒng)。本結(jié)論為分?jǐn)?shù)階時滯Lü混沌系統(tǒng)的控制及其在混沌密碼、數(shù)字電路等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。