粗粒土的級配方程及應(yīng)用

王啟云， 項玉龍， 張丙強(qiáng)， 魏心星， 林華明

(1.福建工程學(xué)院土木工程學(xué)院， 福州 350118； 2.地下工程福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗室， 福州 350118)

土體是由大小不同的土粒組成的，土粒的大小及組成稱為顆粒級配。顆粒級配對土體的強(qiáng)度、變形及滲透特性有非常重要的影響[1-2]，尤其對粗粒土，級配是最基本、最重要的物理性質(zhì)指標(biāo)之一[3]。土的顆粒級配主要是通過顆粒分析試驗測定的，常采用篩分法、密度計法、移液管法[4]，也有部分學(xué)者采用數(shù)字成像處理技術(shù)[5]。根據(jù)試驗結(jié)果，土的級配一般采用粒徑累計曲線來表示，粒徑累計曲線也稱為級配曲線，橫坐標(biāo)為粒徑d，縱坐標(biāo)為小于某粒徑的土重累計百分比含量P，采用對數(shù)坐標(biāo)表示。根據(jù)土的粒徑累計曲線可以確定不均勻系數(shù)Cu及曲率系數(shù)Cc兩個定量指標(biāo)。有學(xué)者試圖建立土體工程特性與Cu、Cc之間的關(guān)系，例如，齊俊修等[6]根據(jù)統(tǒng)計建立了土體滲透破壞標(biāo)準(zhǔn)與Cu之間的關(guān)系；朱晟等[7]建立了Cu、Cc與粒度分形維數(shù)的關(guān)系，并明確指出粒度分形維數(shù)比Cu、Cc能更全面反映堆石料級配的整體平均特性。雖然Cu、Cc能在一定程度上反映顆粒級配和土的某些性質(zhì)，但不能準(zhǔn)確描述級配與土的物理力學(xué)特性的定量關(guān)系。

現(xiàn)有研究之所以不能有效分析級配對土體物理力學(xué)特性的影響，主要問題在于目前土體級配的表示方法很少。典型連續(xù)級配粗粒土的級配曲線通常表現(xiàn)為雙曲線形、反S形、直線形等3種[3]，有學(xué)者對土體的連續(xù)級配的表示方法進(jìn)行了一些初步探討。例如，F(xiàn)uller等[8]根據(jù)試驗提出的一種理想級配即最大密度曲線，認(rèn)為顆粒級配曲線滿足拋物線時，其密度最大，提出級配方程表達(dá)式

P=(d/dmax)0.5

(1)

式(1)中：P為粒徑小于d的顆粒質(zhì)量百分比；dmax為最大粒徑。

基于分形理論，Talbot等[9]提出一種級配方程表達(dá)式：

P=(d/dmax)3-D×100%

(2)

式(2)中：D為分形維數(shù)。

Talbot在研究最大密度時，允許級配波動，對Fuller的方程進(jìn)行推廣，將級配方程[式(1)]修改為

P=(d/dmax)α×100%

(3)

上述級配方程表明，在雙對數(shù)坐標(biāo)系中P與d為線性關(guān)系，只能描述雙曲線形態(tài)的級配曲線，對反S形、直線形級配曲線適用性較低。

Swamee等[10]提出了天然泥砂的級配曲線方程表達(dá)式：

P=[(d*/d)m/n+1]-n×100%

(4)

式(4)中：n為擬合系數(shù)；m為雙對數(shù)坐標(biāo)系中級配曲線中間直線段斜率；d*為雙對數(shù)坐標(biāo)系中級配曲線中間直線段的延長線與P=100%的交點(diǎn)對應(yīng)的粒徑。

Swamee等[10]提出的級配方程比Fuller等[8]和Talbot等[9]提出的級配方程寬，但該方程要求在雙對數(shù)坐標(biāo)系中級配曲線中間段為直線，且在P=100%不能得到最大粒徑dmax，導(dǎo)致該方程存在明顯偏差，適用性受到一定限制。

陳曉斌等[11]引入存活概率與破碎概率比值，采用對數(shù)概率回歸方法，建立土體級配曲線對數(shù)概率函數(shù)表達(dá)式：

P=eα+βx/(1+eα+βx)

(5)

式(5)中：α、β為參數(shù)；x為相對粒徑，x=d/dmax。

該方程只能反應(yīng)S形級配曲線，對其他類型的級配曲線適應(yīng)性不強(qiáng)。

朱俊高等[3]提出了一個描述連續(xù)級配土的級配方程：

(6)

式(6)中：b、m為參數(shù)。

式(6)能較好地描述雙曲線形、直線形、反S形等連續(xù)級配的土體級配，與之前的級配方程相比適用范圍更廣，但該方程只能表示光滑、連續(xù)的曲線，對于波浪形或間斷的非連續(xù)級配曲線適用性較差，與粒徑累計分布曲線相比，靈活性仍有欠缺[12]。

上述分析表明，現(xiàn)有的級配方程大多適用的某些特定情況或特定的土類，尤其是無法對非連續(xù)級配的土體進(jìn)行準(zhǔn)確的描述。為此，本文提出了一個描述連續(xù)級配粗粒土的級配方程，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建能描述波浪形或間斷級配曲線的級配方程，對該方程的適用性進(jìn)行論證分析。

1 連續(xù)級配粗粒土級配方程的提出

分形幾何是用來描述自然界不規(guī)則及雜亂無章的現(xiàn)象和行為，目前應(yīng)用較多的是線性分形[2]。Talbot等[9]提出的級配方程中的參數(shù)就是分形維數(shù)。為方便分析，做歸一化處理，定義相對粒徑變量x，建立P-x相對坐標(biāo)系：

(7)

則式(2)可轉(zhuǎn)化為

P=x3-D

(8)

對式(8)兩邊取對數(shù)：

lgP=(3-D)lgx=klgx

(9)

式(9)中：k為線性回歸求得直線部分的斜率。

文獻(xiàn)[3]中典型連續(xù)級配粗粒土的級配曲線形態(tài)如圖1所示，采用式(9)獲得相應(yīng)的粒度分形曲線及分形維數(shù)如圖2和表1所示。

圖1 典型連續(xù)級配粗粒土級配曲線Fig.1 Typical continuous grading coarse-grain soil grading curves

圖2 連續(xù)級配粗粒土級配粒度分形曲線線性擬合Fig.2 Granularity fractal and distribution curves of continuous graded coarse-grained soils and its linear fitting curves

從表1中可以看出，部分曲線采用線性函數(shù)擬合的相關(guān)系數(shù)R2<0.9，說明基于線性分形理論的Talbot級配曲線具有明顯的局限。

通過對典型連續(xù)級配粗粒土的級配粒度分形曲線形態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)在雙對數(shù)坐標(biāo)中P與x間的關(guān)系近似通過原點(diǎn)的拋物線。為方便計算與表達(dá)，級配粒度分形曲線縱橫坐標(biāo)采用自然對數(shù)表示，lnP-lnx間關(guān)系可采用二次函數(shù)表達(dá)：

lnP=aln2x+blnx

(10)

式(10)中，a、b為擬合參數(shù)。

采用式(10)對圖2中數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，擬合曲線如圖3所示，具體參數(shù)如表1所示?？梢钥闯觯魏瘮?shù)對lnP-lnx曲線具有良好的適應(yīng)性。

求解式(10)可得到連續(xù)級配粗粒土的級配方程表達(dá)式：

(11)

圖3 連續(xù)級配粗粒土粒度分形曲線非線性擬合Fig.3 Granularity fractal and distribution curves of continuous graded coarse-grained soils and its nonlinear fitting curves

表1 擬合參數(shù)Table 1 Fitting parameters

利用表1中數(shù)據(jù)和式(11)，獲得級配曲線如圖4所示?？梢钥闯?，級配方程[式(11)]可以反映各種形態(tài)的級配曲線。

圖4 連續(xù)級配方程適應(yīng)性分析Fig.4 Adaptability of continuous gradation equation

由式(11)所確定的參數(shù)a、b控制級配曲線形態(tài)變化。對于某一級配曲線，最大粒徑dmax為已知參數(shù)，確定a、b后就能獲得級配曲線。參數(shù)a、b可采用最小二乘法，可利用式(10)對顆粒含量與相對粒徑的雙對數(shù)坐標(biāo)的數(shù)據(jù)lnP-lnx進(jìn)行擬合確定，也可利用式(11)對顆粒含量與相對粒徑坐標(biāo)系中的級配曲線進(jìn)行擬合確定。

2 非連續(xù)級配土級配方程的構(gòu)建

前述分析表明，對于連續(xù)級配土體的級配曲線可采用本文提出的級配方程或文獻(xiàn)[6]中的級配方程來描述。但工程實(shí)踐中級配曲線更多呈現(xiàn)出波浪形和部分間斷的，典型鐵路或公路路基填料級配曲線如圖5所示。

圖5 工程實(shí)踐中采用的粗粒土典型級配Fig.5 Typical grading curves of coarse-grained soil in engineering practice

可以看出，圖5所示的級配曲線形態(tài)基本是由雙曲形、反S形和直線形組合而成。為準(zhǔn)確描述曲線級配，可將非連續(xù)的級配曲線離散為連續(xù)級配曲線，離散后的級配曲線可用式(11)表示，然后再將離散后的級配曲線進(jìn)行組合，級配方程采用分段函數(shù)表示。

為保證在離散點(diǎn)級配曲線的連續(xù)性，利用式(10)進(jìn)行分析。令P′=lnP，x′=lnx，將式(10)轉(zhuǎn)化為

P′=ax′2+bx′

(12)

在x′-P′坐標(biāo)中級配曲線坐標(biāo)數(shù)值為(xi′，Pi′)，采用最小二乘法對數(shù)據(jù)擬合如下：

(1)采用式(12)對x-P坐標(biāo)中數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，利用相關(guān)系數(shù)R2判斷擬合精度，R2滿足設(shè)定要求擬合結(jié)束，將參數(shù)a、b代入級配方程[式(11)]，可繪出級配曲線。若R2不能滿足，按以下步驟分段擬合。

(2)自動拾取數(shù)據(jù)前2點(diǎn)，開始進(jìn)行擬合，R2滿足要求，往下拾取數(shù)據(jù)點(diǎn)繼續(xù)擬合，直至第n點(diǎn)R2不滿足要求，本次擬合結(jié)束，退回至第n-1點(diǎn)，確定第1點(diǎn)至第n-1點(diǎn)曲線方程P′(0)=a0x′2+b0x′，其對應(yīng)橫坐標(biāo)范圍為[0,x′n-1]。

(3)開展坐標(biāo)變換，定義x′1=x′-x′n-1，P′1=P′-P′n-1，獲得新坐標(biāo)系x′1-P′1中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，循環(huán)第1、2步，獲得第n-1點(diǎn)至第n+k點(diǎn)在x′1-P′1坐標(biāo)中的曲線方程P′1=a1x′12+b1x′1，其對應(yīng)x′-P′坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)范圍為[xn-1,xn+k]。

(4)循環(huán)第3步，獲得x′m-P′m坐標(biāo)系中曲線方程P′m=amx′m2+bmx′m，m表示級配曲線分段數(shù)。

(5)完成所有數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合后，開展坐標(biāo)變換，將其他坐標(biāo)系中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為x′-P′坐標(biāo)系中的數(shù)值，縱橫坐標(biāo)分別按式(13)進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

(13)

式(13)中:x′m、P′m分別表示級配曲線第m段范圍內(nèi)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)數(shù)值。

將式(13)代入式(11)中，可獲得波浪形、部分間斷的級配曲線的方程為

(14)

上述過程可以利用MATLAB等工具軟件自編程序?qū)崿F(xiàn)。

3 級配方程適用性驗證

為說明非連續(xù)級配方程的適用性及其優(yōu)越性，分別采用式(6)、式(11)和式(14)對文獻(xiàn)[13]中粗粒土級配曲線進(jìn)行分析。

圖6 級配方程對比分析Fig.6 Comparative analysis of grading equations

從圖6中可以看出，對于連續(xù)級配的雙曲線型級配，由式(6)、式(11)擬合反推的級配曲線與原級配曲線比較接近，但對于存在平臺的非連續(xù)級配曲線則無法準(zhǔn)確描述，且誤差較大，部分點(diǎn)差值達(dá)到了15% 以上。

設(shè)定R2≥0.99，利用MATLAB軟件編寫計算程序，計算結(jié)果表明圖6中級配曲線可用2段函數(shù)表示，各分段參數(shù)見表2。

表2 分段擬合參數(shù)Table 2 Segmentation fitting parameters

根據(jù)表2中數(shù)據(jù)，利用式(14)繪制的級配曲線如圖6所示?？梢钥闯觯梅侄渭壟浞匠虜M合得到的曲線與原始級配曲線基本重合，具有適用性好、靈活性大、誤差小等特性。

4 級配方程的應(yīng)用

粗粒土是由大小顆粒彼此充填而呈粒狀結(jié)構(gòu)的散粒體，在荷載作用下容易發(fā)生顆粒破碎。掌握顆粒破碎變化規(guī)律有助于理解粗粒土物理力學(xué)特性的變化過程[11]。目前顆粒破碎量測方法比較多，其中由Hardin定義相對破碎率Br使用最為廣泛，它是以顆粒破碎前后級配曲線所圍成的面積作為總破碎量Bt，再除以各自所定義的破碎潛能Bp[15]，即

(15)

式(15)中：Br為土體的相對破碎率；Bt為破碎量；Bp為破碎勢。

Hardin將初始曲線與粒徑dmin=0.074 mm所圍成的面積作為破碎潛能Bp。當(dāng)最小粒徑大于0.074 mm時，dmin取最小粒徑。Bt、Bp采用相對坐標(biāo)系分別表示為

(16)

(17)

式中：Pm(x)P′m(x)分別表示試驗前后土體的級配曲線方程，根據(jù)級配采用MATLAB求解，dx為P對應(yīng)的相對粒徑的篩分通過率微分形式，m、m′為分別為實(shí)驗前后級配曲線分段數(shù)。

將式(16)和式(17)代入式(15)中，可得到在土體的相對破碎率：

(18)

由于式(18)無法獲得精確數(shù)值解，可采用自適應(yīng)Lobatto數(shù)值積分方法求解。

文獻(xiàn)[14]給出了紅砂巖制備的粗粒土壓縮試驗前后的顆粒含量變化，如圖7所示。

圖7 壓縮試驗后粗粒土顆粒破碎分析結(jié)果Fig.7 Particle breakage analytical results of coarse-grained soils after compression test

設(shè)定R2≥0.995，根據(jù)自編程序計算分析得到圖7中級配曲線方程參數(shù)見表3。

根據(jù)表3中數(shù)據(jù)和式(17)，可求得的飽和土、干土的相對破碎率如表4所示。為了進(jìn)行對比分析，采用式(6)、式(11)對文獻(xiàn)[13]試樣的級配曲線進(jìn)行擬合，采用積分獲得級配曲線、d=0.05 mm豎向線、P=1所圍成的區(qū)域面積，由式(18)獲得相對破碎率也列入表4中。此外，采用矩形面積法計算得到相對破碎率實(shí)測值。

表3 級配方程參數(shù)Table 3 Parameters of gradation equation

表4 相對顆粒破碎率Table 4 Particle breakage index

可以看出，采用式(14)計算得到的相對破碎率與試驗實(shí)測值較為接近，采用式(6)、式(11)獲得的相對破碎率與試驗實(shí)測值相差較大，說明利用式(14)計算破碎率更為合理，非連續(xù)級配方程比連續(xù)級配方程計算更準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

(1)定義顆粒含量P與相對粒徑x的雙自然對數(shù)坐標(biāo)系，在分形理論基礎(chǔ)上采用二次函數(shù)建立了P與x的非線性關(guān)系，進(jìn)而提出了一種可以描述連續(xù)級配粗粒土的級配方程，采用數(shù)據(jù)論證了該方程的適用性，表明級配方程適用于各種形態(tài)的連續(xù)級配粗粒土的級配曲線。

(2)將非連續(xù)級配粗粒土級配曲線離散為局部連續(xù)的級配曲線，通過坐標(biāo)變換，在連續(xù)級配方程基礎(chǔ)上構(gòu)建了非連續(xù)級配粗粒土的級配方程，采用數(shù)據(jù)論證了該方程的適用性、優(yōu)越性，表明該方程可以很好地描述波浪型、間斷型等復(fù)雜形態(tài)的級配曲線。

(3)利用本文提出的粗粒土級配方程，獲得了Hardin相對破碎率計算表達(dá)式，采用試驗數(shù)據(jù)比較分析了連續(xù)級配方程與非連續(xù)級配方程計算相對破碎率的合理性，結(jié)果表明根據(jù)非連續(xù)級配粗粒土的級配方程計算的相對破碎率結(jié)果更為準(zhǔn)確。